Notatki do wykładu

Funkcje analityczne
Wykład 4. Odwzorowania wiernokątne
Paweł Mleczko
Funkcje analityczne (rok akademicki 2016/2017)
1
Przekształcenia płaszczyzny
Płaszczyzna jako przestrzeń liniowa, odwzorowania liniowe
Rozpatrywać będziemy R2 jako przestrzeń liniową (nad R) z bazą standardową (tzn. bazę tworzą dwa
wektory: (1, 0) oraz (0, 1)).
Odwzorowanie A : R2 → R2 nazwiemy liniowym, gdy spełnia warunek:
A(αs + βt) = αA(t) + βA(s)
dla każdych t, s ∈ R2 oraz α, β ∈ R.
Każde odwzorowanie liniowe można przedstawić jako działanie macierzy A = (aij ), i, j = 1, 2, czyli
a11 a12
s
As =
× 1
dla każdego s = (s1 , s2 ) ∈ R2 .
a21 a22
s2
Prawdziwe jest również zdanie odwrotne, tzn. każda macierz 2 × 2 wyznacza odwzorowanie liniowe z R2 w
R2 .
Przykład: obrót na płaszczyźnie
W przestrzeni R2 obrót o kąt t dany jest za pomocą macierzy
cos t − sin t
O(t) =
.
sin t cos t
Obrót jest przykładem odwzorowania wiernokątnego, tzn. takiego, że kąt między dowolnymi wektorami
v, w ∈ R2 jest taki sam, jak kąt między wektorami Ov, Ow ∈ R2 .
Wiernokątne odwzorowania liniowe
Twierdzenie 1. Odwzorowanie liniowe
a
A=
−b
b
a
a, b ∈ R, a2 + b2 6= 0
jest konforemne.
Dowód 1. Zauważmy, że dla dowolnych v = (x1 , y1 ), w = (x2 , y2 ) ∈ R2 zachodzi równość
hAv, Awi = (ax1 + by1 , −bx1 + ay1 ), (ax2 + by2 , −bx2 + ay2 )
= (a2 + b2 )hv, wi.
Zatem, jeśli v, w ∈ R2 są prostopadłe, to również prostopadłe są wektory Av, Aw. Aby zakończyć dowód
wystarczy przedstawić dowolny wektor jako kombinację liniową wektorów bazowych.
1
2
Funkcje holomorficzne jako wiernokątne przekształcenia płaszczyzny
Równokątność, czyli konforemność
Niech A ⊂ C. Odwzorowanie f : A → C nazywamy równokątnym (konforemnym) w z0 , jeśli zachowuje
kąt między krzywymi.
Im
Im
z 7→ f (z)
z0
Re
Re
Przykład: niekonforemne odwzorowanie
Im
Im
z 7→ z 2
Re
Re
Warunki Cauchy’ego–Riemanna
Niech A ⊂ C będzie zbiorem otwartym, f : A → C, z0 = x0 + iy0 ∈ A. Jakobian odwzorowania f jest
równy
 ∂u

∂u
(x0 , y0 )
(x0 , y0 )
 ∂x

∂y


 ∂v

∂v
(x0 , y0 )
(x0 , y0 )
∂x
∂y
Jeśli f jest holomorficzna w z0 = x0 + iy0 , to spełnione są warunki Cauchy’ego–Riemanna, więc jakobian
jest równy
 ∂u

∂u
(x0 , y0 )
(x0 , y0 )
 ∂x

∂y


 ∂u

∂u
− (x0 , y0 )
(x0 , y0 )
∂y
∂x
2
Warunek dostateczny konforemności
Twierdzenie 2. Niech f będzie holomorficzna w otoczeniu z0 oraz f 0 (z0 ) 6= 0. Wtedy f jest równokątna w
z0 .
Dowód 2 (szkic). Uzasadnienie polega na tym, by pokazać, że odwzorowanie f można przedstawić jako
skalowanie oraz obrót, przy czym to drugie obraca styczną do krzywej C w otoczeniu z0 o ustalony kąt
zależny tylko od odwzorowania f (w szczególności nie zależy ten kąt od krzywej).
Przykład: z 7→ ez
Warunek f 0 (z0 ) 6= 0 implikuje, że w otoczeniu z0 funkcja f jest różnowartościowa (tzw. lokalnie różnowartościowa). Poniższy przykład pokazuje, że f nie musi być (globalnie) różnowartościowa.
Im
Im
z 7→ ez
Re
Re
Przykładowo: jeśli z = 1 + it, t ∈ R, to
e1+it = e · eit = e(cos t + i sin t)
t∈R
Twierdzenie Riemanna
Twierdzenie 3 (Riemann). Niech G, D ⊂ C, G, D 6= C, będą dwoma obszarami jednospójnymi. Wówczas
dla dowolnych a ∈ G, b ∈ D istnieje takie odwzorowanie wiernokątne f zbioru G na D, że f (a) = b.
Obszar E nazywamy jednospójnym, gdy zbiór C \ E jest spójny.
Pierścień nie jest jednospójny
Dysk jednostkowy jest jednospójny
r1
1
3
r2
Ważne odwzorowania wiernokątne
Obszary konforemnie równoważne
Obszary D, G ⊂ C nazywamy konforemnie równoważnymi, jeśli istnieje konforemne odwzorowanie f
przekształcające D na G.
Jeśli dodatkowo f jest róznowartościowa, to istnieje f −1 przekształcające konforemnie G na D.
3
Odwzorowanie z 7→ az + b
Funkcja
z 7→ az + b
a, b ∈ C, a 6= 0
jest wiernokątna na C.
Jej działanie można opisac jako skalowanie przez |a|, obrót o arg a oraz przesunięcie o b.
Odwzorowanie z 7→ z α , α ∈ R
Funkcja
z 7→ z α
α∈R
jest wiernokątna poza zerem. Jej działanie można opisac jako skalowanie o potędze α oraz „symetryczne”
rozciągnięcie/zwężenie.
Im
Im
z 7→ z 2
Re
Re
Odwzorowanie z 7→ z α , α ∈ R
Im
Im
1
z 7→ z 2
Re
Re
Odwzorowanie z 7→ az+b
cz+d (przekształcenie Möbiusa)
Jeśli ad − bc 6= 0, to funkcję
az + b
z 7→
:C→C
cz + d
nazywamy funkcją Möbiusa. Pochodna funkcji Möbiusa wynosi
ad − bc
,
(cz + d)2
stąd poza z = −d/c ta funkcja jest wiernokątna.
(Przypadkiem z 7→ az + b już się zajmowaliśmy.)
Twierdzenie 4. Każde przekształcenie Möbiusa przekształca zbiór złożony z kół oraz linii prostych na zbiór
złożony z kół oraz linii prostych.
4
4
Obszary konforemnie równoważne
Górna półpłaszczyzna i dysk jednostkowy
Niech Π+ = {z ∈ C : Im z > 0} oraz D = {z ∈ C : |z| < 1}. Funkcja f : Π+ → D dana wzorem
f (z) =
z−i
1 − iz
z ∈ Π+
odwzorowuje konforemnie Π+ na D.
Im
Im
z 7→
z−i
1−iz
Re
Re
Uniwersalność przekształcenia Möbiusa
Twierdzenie 5. Trzy dowolne parami rózne punkty z1 , z2 , z3 mogą zostać przekształcone na trzy ustalone i
parami różne punkty w1 , w2 , w3 za pomocą jednoznacznie wyznaczonego przekształcenia Möbiusa f . Funkcję
f można wyznaczyć z równania
f (z) − w1 w2 − w3
z − z1 z2 − z3
·
=
·
.
f (z) − w3 w2 − w1
z − z3 z2 − z1
(Jeśli któryś z wybranych punktów to ∞, wówczas iloraz, w którym występuje ten punkt traktuje się jako 1.)
Uniwersalność przekształcenia Möbiusa: przykład
f (z) − w1 w2 − w3
z − z1 z2 − z3
·
=
·
.
f (z) − w3 w2 − w1
z − z3 z2 − z1
Przykład 1. Znajdziemy odwzorowanie Möbiusa przekształcające punkty z1 = −1, z2 = 0, z3 = 1 na
odpowiednio punkty w1 = −1, w2 = −i, w3 = 1.
Na podstawie powyższego wzoru mamy
f (z) + 1 −i − 1
z+1 0−1
·
=
·
.
f (z) − 1 −i + 1
z−1 0+1
Stąd
f (z) =
z−i
.
1 − iz
Jest to konforemne przekształcenie Π+ na D!
Znajdowanie odwzorowań konforemnych: strategia
Zadanie 1. W jaki sposób przekształcić obszar D na G za pomoca funkcji Möbiusa?
5
Dysk jednostkowy i prawa półpłaszczyzna
Niech Π+ = {z ∈ C : Re z > 0} oraz D = {z ∈ C : |z| < 1}. Funkcja f : D → Π+ dana wzorem
f (z) =
z−1
z+1
z∈D
odwzorowuje konforemnie D na Π+ .
Im
Im
z 7→
z−1
z+1
Re
Re
Dysk jednostkowy na dysk jednostkowy
Niech D = {z ∈ C : |z| < 1}. Funkcja f : D → D dana wzorem
f (z) = fz0 (z) =
z − z0
z0z − 1
z∈D
konforemnie przekształca D na D w taki sposób, by f (z0 ) = 0.
Wnętrze kąta na dysk jednostkowy
Niech G = z ∈ C : arg z ∈ − π6 , π6 . Odwzorować konforemnie obszar G na dysk jednostkowy D.
Odwzorowanie z 7→ z 3 przekształca G na prawą półpłaszczyznę, natomiast funkcja z 7→ z−1
z+1 prawą
półpłaszczyznę na dysk jednostkowy. Stąd funkcja
z 7→
z3 − 1
z3 + 1
z∈G
przekształca konforemnie G ma D.
Im
Im
z 7→
z 3 −1
z 3 +1
Re
Re
6