Wykład 2

WYKLAD 2: PODSTAWOWE STRUKTURY ALGEBRAICZNE,
PIERWIASTKI WIELOMIANÓW, ROZKLAD FUNKCJI WYMIERNEJ
NA ULAMKI PROSTE
Definicja 1 Algebra, abstrakcyjna, nazywamy teorie,
, której przedmiotem sa,
dzialania na elementach pewnego zbioru, przy czym w tej teorii tej nie mówi
sie, czym sa, te elementy i na czym polegaja, dzialania na nich, a tylko zaklada
sie, pewne ogólne wlasności tych dzialań. Zaloźenia te nazywamy aksjomatami
algebry abstrakcyjnej.
Niech A - dowolny zbiór zawierajacy
co najmniej dwa elementy.
,
Definicja 2 Dzialanie ◦ nazywamy wewnetrznym
w zbiorze A, gdy:
,
∀a,b∈A a ◦ b ∈ A.
Definicja 3 Dzialanie ◦ nazywamy przemiennym, gdy:
∀a,b∈A a ◦ b = b ◦ a.
np.
Definicja 4 Dzialanie ◦ nazywamy lacznym,
gdy:
,
∀a,b,c∈A (a ◦ b) ◦ c = a ◦ (b ◦ c).
np.
1
Definicja 5 Elementem neutralnym dzialania ◦ nazywamy element e ∈ A
majćy te, wlasność, że:
∀a∈A a ◦ e = e ◦ a = a.
np.
Definicja 6 Elementem odwrotnym do elementu a ∈ A wzglegem
dzialania
,
−1
◦ nazywamy element a ∈ A taki, że:
a ◦ a−1 = a−1 ◦ a = e,
np.
Definicja 7 Niepusty zbiór G nazywamy grupa,
, jeżeli określone w nim dzialanie
◦ jest:
1. wewnetrzne
czyli:
,
∀a,b∈G a ◦ b ∈ G,
2. laczne,
czyli:
,
∀a,b,c∈G (a ◦ b) ◦ c = a ◦ (b ◦ c),
2
3. ma element neutralny, czyli:
∃e∈G ∀a∈G a ◦ e = e ◦ a = a,
4. ma element odwrotny:
∀a∈G ∃a−1 ∈G a ◦ a−1 = a−1 ◦ a = e,
Definicja 8 Niepusty zbiór G nazywamy grupa, przemienna, (abelowa),
jeżeli
,
jest grupa, oraz dzialanie ◦ jest przemienne.
np.
3
Definicja 9 Pierścieniem (P, ⊕, ) nazywamy niepusty zbiór P wyposażony
w dwa dzialania wewnetrzne
⊕, , przy czym:
,
(i) (P, ⊕) - grupa abelowa,
(ii) - laczne,
,
(iii) rozdzielne wzgledem
⊕, czyli
,
a (b ⊕ c) = (a b) ⊕ (a c).
Jeżeli jest przemienne, to pierścień nazywamy przemiennym. Jeżeli istnieje w P element neutralny wzgledem
mnożenia, to P nazywamy pierścieniem
,
z jedynka.
,
np.
Definicja 10 Cialem (K, ⊕, ) nazywamy co najmniej dwuelementowy pierścień
(P, ⊕, ), w którym (K \ {0}, ) jest grupa,
, a wiec
, :
∀x∈K\{0} ∃x−1 ∈K\{0} x−1 x = x x−1 = 1.
Uwaga. W ciele K równanie a + x = 0 ma dokladnie jedno rozwiazanie:
,
x = −1. Ananlogicznie, równanie bx = 1, b 6= 0 ma rozwiazanie
x
=
1/b.
,
np.
4
PIERWIASTKI WIELOMIANÓW, ROZKLAD FUNKCJI WYMIERNEJ
NA ULAMKI PROSTE
Definicja 11 Niech W (x) = an xn +an−1 xn−1 +...+a1 x+a0 -dany wielomian.
Liczbe, rzeczywista, (zespolona)
, x0 nazywamy pierwiastkiem wielomianu W ,
jeżeli W (x0 ) = 0.
Theorem 12 [Bezout] W (x0 ) = 0
dwumian x − x0 .
⇔
wielomian W jest podzielny przez
Theorem 13 [o pierwiastkach calkowitych wielomianu]
Niech W (x) = an xn + an−1 xn−1 + ... + a1 x + a0 bedzie
wielomianem n-tego
,
stopnia o wspólczynnikach calkowitych i niech p 6= 0 bedzie
pierwiastkiem
,
calkowitym wielomianu W . Wtedy p jest dzielnikiem wyrazu wolnego a0 .
Przyklady:
5
Theorem 14 [Twierdzenie zasadnicze algebry]
Każdy wielomian zespolony stopnia n > 0 ma n pierwiastków zespolonych
(różnych lub nie - wtedy sa, to pierwiastki k-krotne).
Theorem 15 Niech W (z) = cn z n + cn−1 z n−1 + ... + c1 z + c0 -dany wielomian
zespolony (cn ∈ C).
Niech wielomian W ma pierwiastki zj o krotności odpowiednio kj , dla 1 ≤
j ≤ m, i k1 + k2 + ... + km = n. Wtedy
W (z) = cn (z − z1 )k1 (z − z2 )k2 · ... · (z − zm )km .
Przyklady:
Theorem 16 Niech W bedzie
wielomianem o wspólczynnikach rzeczywistych.
,
Wówczas liczba zespolona z0 jest k-krotnym pierwiastkiem wielomianu W
wtw, gdy liczba z 0 jest pierwiastkiem k-krotnym tego wielomianu.
6
Przyklady:
Theorem 17 Niech W bedzie
wielomianem stopnia n ∈ N o wspólczynnikach
,
rzeczywistych. Ponadto niech xj dla j = 1, ..., m i m < n − 1 bed
, a, pierwiastkami o krotności ki . Wtedy istnieja, takie liczby p1 , ..., ps , q1 , ..., qs , l1 , ..., ls że:
W (x) = an (x − x1 )k1 · ... · (x − xm )km (x2 + p1 x + g1 )l1 · ... · (x2 + ps x + qs )ls .
Definicja 18 Funkcja, wymierna, rzeczywista, (zespolona)
, nazywamy iloraz
dwóch wielomianów rzeczywistych (zespolonych).
Jeżeli stopień wielomianu w liczniku jest niższy niż wielomianu w mianowniku, to funkcja jest wlaściwa. W przeciwnym wypadku jest niewlaściwa.
Każda, funcje, wymierna, niewlaściwa, możemy zapisać w postaci sumy wielomianu i funkcji wymiernej wlaściwej.
Przyklady:
7
Definicja 19 [Ulamki proste] Zespolonym ulamkiem prostym nazywamy zespolona, funkcje, wymierna, postaci:
A
(z + a)n
gdzie A, a ∈ C oraz n ∈ N .
Rzeczywistym ulamkiem prostym I rodzaju nazywamy rzeczywista, funkcje,
wymierna, postaci:
A
(x + a)n
gdzie A, a ∈ R oraz n ∈ N .
Rzeczywistym ulamkiem prostym II rodzaju nazywamy rzeczywista, funkcje,
wymierna, postaci:
Ax + B
2
(x + px + q)n
gdzie A, B, p, q ∈ R oraz n ∈ N przy czym p2 − 4q < 0.
Theorem 20 [o rozkladzie zespolonej funkcji wymiernej wlaściwej na ulamki
proste]
Niech
f (z) =
cn (z − z1
)k1 (z
P (z)
.
− z2 )k2 · ... · (z − zm )km
Wtedy funkcja rozloży sie, jednoznacznie na:
A11
A12
A1k1
+
+ ... +
+
2
z − z1 (z − z1 )
(z − z1 )k1
A21
A22
A2k2
+
+
+ ... +
+
2
z − z2 (z − z2 )
(z − z2 )k2
...
+
Am1
Am2
Amkm
+
...
+
+
z − zm (z − zm )2
(z − zm )km
8
Przyklady:
9
Theorem 21 [o rozkladzie rzeczywistej funkcji wymiernej wlaściwej na
ulamki proste]
Niech
f (x) =
cn (x − x1
)k1
· ... · (x − xm
P (x)
.
+ p1 x + g1 )l1 · ... · (x2 + ps x + qs )ls
)km (x2
Wtedy funkcja rozloży sie, jednoznacznie na:
A11
A12
A1k1
+
+
+ ... +
2
x − x1 (x − x1 )
(x − x1 )k1
A21
A22
A2k2
+
+
+
+ ... +
2
x − x2 (x − x2 )
(x − x2 )k2
...
Am2
Am1
Amkm
+
+ ... +
+
2
x − xm (x − xm )
(x − xm )km
B11 x + C11
B12 x + C12
B1l x + C1l1
+ 2
+ 2
+ ... + 2 1
+
2
x + p1 x + q1 (x + p1 x + q1 )
(x + p1 x + q1 )l1
B22 x + C22
B2l2 x + C2l2
B21 x + C21
+ 2
+
...
+
+ 2
+
x + p2 x + q2 (x + p2 x + q2 )2
(x2 + p2 x + q2 )l2
+
...
+
Bs2 x + Cs2
Bsl x + Csls
Bs1 x + Cs1
+ 2
+ ... + 2 s
2
2
x + ps x + qs (x + ps x + qs )
(x + ps x + qs )ls
Przyklady:
10