Drugi zestaw zadań - Katedra Ekonomii Matematycznej
Transkrypt
Drugi zestaw zadań - Katedra Ekonomii Matematycznej
ZESTAWY ZADAŃ Z EKONOMII MATEMATYCZNEJ – TEORIA PRODUKCJI 1. Sformułuj własności przestrzeni c-produkcyjnej odpowiadające różnym założeniom na temat przestrzeni p-produkcyjnej (np. założenie proporcjonalnych przychodów, addytywność, brak rogu obfitości, itd.). Czy wszystkie założenia nt. przestrzeni p-produkcyjnej można wyrazić za pomocą założeń odnośnie przestrzeni c-produkcyjnej? 2. Pokaż, że założenie malejących przychodów przestrzeni p-produkcyjnej i założenie addytywności procesów produkcyjnych wzajemnie się wykluczają. 3. Przestrzeń p-produkcyjna spełnia założenie proporcjonalności nakładów i wyników oraz założenia możliwości marnotrawstwa. Czy wynika stąd, że spełnia założenie addytywności? Czy jeśli przestrzeń jest addytywna i spełnia postulaty marnotrawstwa, to musi spełniać założenie proporcjonalności? 4. Pokaż, że w przypadku n = 1 (tylko jeden towar) jeśli funkcja spełnia założenie proporcjonalności nakładów i wyników, to oba postulaty możliwości marnotrawstwa (tj. po stronie nakładów i po stronie wyników) są sobie równoważne. Czy będzie to prawdą dla n > 1? 5. Czy możliwe jest, że dla danego wektora nakładów x istnieje więcej niż jeden proces technologicznie efektywny? Pokaż, że to nie jest możliwe lub podaj przykład, że jest. 6. Dana jest funkcja produkcji: A). f (k, z) = ak + bz, a, b > 0, B). f (k, z) = ak α z β , a, α, β > 0, θ C). f (k, z) = (ak γ + bz γ ) γ , a, b, θ > 0, γ < 1.γ 6= 0. a). Oblicz produktywności krańcowe i elastyczności produkcji czynników. b). Oblicz krańcową stopę substytucji i elastyczność substytucji kapitału przez pracę. c). Sprawdź stopień jednorodności funkcji i efekty skali. Kiedy funkcja ma stałe efekty skali? Co to oznacza? 7. Pokaż, że niesubstytucyjna funkcja produkcji f (x) = max {λ : λa 6 x}, gdzie a ∈ Rn , a > 0 jest wklęsła. 8. Pokaż, że jeżeli funkcja produkcji jest jednorodna stopnia θ, to jej elastyczność względem skali nakładów też wynosi θ. 9. Czy funkcja jednorodna stopnia θ > 1 może być wklęsła? Czy funkcja jednorodna stopnia θ > 1 może być silnie wklęsła? 10. Istnieją dwa czynniki prodkucji: k (kapitał) i z (praca). Pokaż, że jeżeli efekty skali są stałe, to produkcję na pracownika (jednostkę pracy) można wyrazić jako funkcję kapitału na pracownika (tj. yz = g(u), gdzie u = kz ). Czy jest to możliwe dla innych efektów skali? 11. Pokaż, że funkcję produkcji Koopmansa-Leontiefa f (k, z) = min ak , zb można zapisać w następującej, równoważnej postaci: f (k, z) = max {λ : λ (a, b) 6 (k, z)} . 12. Dla funkcji produkcji Koopmansa-Leontiefa: f (k, z) = min ak , zb , gdzie a, b > 0 a). Narysuj izokwanty produkcji. b). Sprawdź, czy funkcja jest (silnie) wklęsła i jednorodna. c). Wykreśl wydajność pracy i produktywność kapitału w zależności od technicznego uzbrojenia pracy. d). Co można powiedzieć o substytucji czynników produkcji dla tej funkcji? 13. Wykaż, że dla funkcji dodatnio jednorodnych stopnia θ prawdziwe jest następujące równanie: n X ∂f xi θf (x) = (x) (tw. Eulera). ∂x i i=1 Korzystając z tego pokaż, że dla funkcji produkcji jednorodnej stopnia θ suma elastyczności czynników produkcji wynosi θ. 1 1 14. Funkcja CES przy stałych efektach skali ma postać f (k, z) = A(ak γ + bz γ ) γ . Pokaż, że a). dla γ = 1 jest to funkcja liniowa, b). przy γ → 0 oraz a + b = 1 funkcja CES zmiania się w funkcję Cobba-Douglasa f (k, z) = Ak a z b , c). przy γ → −∞ funkcja przyjmuje postać funkcji Koopmansa-Leontiewa, f (k, z) = min{k, z}. Sprawdź, jak zmienia się elastyczność krańcowej stopy substytucji względem technicznego uzbrojenia pracy przy podanych zmianach parametru γ. Zinterpretuj to ekonomicznie. 15. „Jeżeli proporcjonalny wzrost zatrudnienia ziemi i pracy zawsze powoduje proporcjonalny wzrost produkcji pszenicy, a krańcowa produktywność pracy rośnie wraz ze wzrostem jej zatrudnienia, to cała światowa produkcja pszenicy zmieściłaby się w jednej doniczce, o ile doniczka byłaby wystarczająco mała” [G.J. Stigler The Theory of Price]. Czy zgadzasz się z tym twierdzeniem? Spróbuj je uzasadnić lub pokazać, że jest fałszywe. 16. Sprawdź, jakie efekty skali mają następujące funkcje produkcji: 1 1 a). f (k, z) = k 2 + z 3 , b). f (x) = hx, ai + b, gdzie a ∈ Rn , a > 0, b ∈ R. 17. Pokaż, że funkcja popytu produkcyjnego i funkcja podaży produktu są jednorodne stopnia 0. 18. Wyznacz funkcję podaży dla funkcji produkcji typu Cobba-Douglasa. Czy funkcja podaży istnieje dla dowolnych wartości parametrów? 19. Pokaż, że jeżeli funkcja produkcji jest jednorodna stopnia θ, to stopień jednorodności funkcji kosztów względem wielkości produkcji wynosi 1/θ. 20. Wyznacz funkcję kosztów dla funkcji produkcji Cobba-Douglasa. Rozwiąż zadanie maksymalizacji zysku korzystając z funkcji kosztów. 21. Wyznacz funkcję kosztów dla n-czynnikowej funkcji produkcji n Y xai i , f (x) = A i=1 gdzie A, a1 , . . . , an . Wyznacz funkcję podaży korzystając z funkcji kosztów. 22. Wyznacz funkcję kosztów dla niesubstytucyjnej funkcji produkcji f x) = max {λ : λa 6 x}, gdzie a ∈ Rn , a > 0.