Lista 1 z Matematyki Dyskretnej do wykładu dra Sz. Żeberskiego 1

Lista 1 z Matematyki Dyskretnej
do wykładu dra Sz. Żeberskiego
1. Pokaż za pomocą indukcji matematycznej, że
a)
b)
n
P
k=1
n
P
k=1
k=
c)
n(n+1)
,
2
k 2 = 16 n(n + 1)(2n + 1),
d)
n
P
3
k =
k=1
n
P
n(n+1)
2
2
,
(k · k!) = (n + 1)! − 1.
k=1
2. Pokaż za pomocą indukcji matematycznej, że |P (A)| = 2|A| dla dowolnego zbioru skończonego
A. Pokaż, że (∀n ∈ N)(n < 2n ).
3. Wskaż bijekcję pomiędzy zbiorami P (A) oraz {0, 1}A .
4. Pokaż, za pomocą indukcji matematycznej, że dla dowolnych zbiorów skończonych A i B
mamy |AB | = |A||B| .
5. Pokaż, że dla dowolnych dodatnich liczb naturalnych a oraz n mamy |{k ∈ [n] : a|k}| = na .
Zbiór [n] = {1, 2, . . . , n}.
6. Wyznacz moce następujących zbiorów:
a) {k ∈ [1000] : 2|k ∨ 5|k},
b) {k ∈ [1000] : 2|k ∨ 5|k ∨ 7|k},
c) {k ∈ [1000] : 2|k∨5|k∨7|k∨11|k},
d) {k ∈ [1000] : ¬2|k ∨ ¬3|k ∨ ¬5|k}.
7. Niech n ≥ 3. Ile jest suriekcji ze zbioru [n] na zbiór [3]?
8. Niech n ≥ 3. Ile jest iniekcji ze zbioru [3] w zbiór [n]?
9. Ile jest funkcji częściowych ze zbioru n elementowego w zbiór m elementowy?
10. Niech Sn oznacza zbiór wszystkich ciągów zero-jedynkowych długości ≤ n.
a) Pokaż, że |Sn | = 2n+1 − 1
b) Wskaż bijekcję między zbiorem Sn a zbiorem {0, 1}[n+1] \ {(1, 1, . . . , 1)}.
11. Wyznacz moce następujących zbiorów:
a) {(A, B) ∈ P ([n])2 : A ⊆ B},
b) {(A, B, C) ∈ P ([n])3 : A ⊆ B ⊆ C},
c) {(A, B, C) ∈ P ([n])3 : A = B ∪ C},
d) {(A, B, C) ∈ P ([n]) : A∩B = ∅, A∪B = C}.
12. Niech Ω = P ([n]) × P ([n]).
a) Wyznacz Pr[{(X, Y ) ∈ Ω : X ⊆ Y }].
b) Wyznacz Pr[{(X, Y ) ∈ Ω : X ∪ Y = [n]}].
13. Niech Ω = P ([n]) oraz A = {X ∈ Ω : (∃k)(|X| = 2k)}. Wyznacz Pr[A].
14. Niech Xi = [n] × {i}.
a) Wyznacz moc zbioru Sn = {A ∈ P ([n] × [n]) : (∀i)(A ∩ Xi 6= ∅)}.
b) Oblicz limn→∞
|Sn |
.
2n2