Teoria gier semestr zimowy 2007/2008 III lista zadań

Teoria gier
semestr zimowy 2007/2008
III lista zadań
1. Znajdź wszystkie równowagi Nasha w grze na kwadracie jednostkowym
(tzn. X = Y = [0, 1]), w której funkcje wypłaty graczy są następujące:
u1 (x, y) = x(2y 2 − x2 ), u2 (x, y) = y(2x2 − y2 ).
Wskazówka: Znajdź wszystkie równowagi w strategiach niezrandomizowanych,
a następnie pokaż (jak w przykładzie Vieille’a), że najlepszą odpowiedzią
na dowolną strategię gracza 2. jest zawsze strategia czysta.
2. Znajdź wszystkie równowagi w strategiach czystych w grze na kwadracie
jednostkowym z funkcjami wypłaty graczy u1 (x, y) = (x + 12 )3 − xy,
u2 (x, y) = (y − 21 x)2 .
3. Pokaż, że równowagą w grze location game z wykładu jest para strategii
zrandomizowanych µ∗ = 13 δ[0] + 16 δ[ 13 ] + 61 δ[ 23 ] + 13 δ[1], σ ∗ = 12 δ[0] + 12 δ[1].
4. Załóżmy, że w grze o sumie zerowej (X, Y, u), X = Y = [0, 1], a funkcja
u jest ciągła i wklęsła (względem obu zmiennych). Udowodnij, ze gra
posiada równowagę w strategiach mieszanych, w której pierwszy gracz
ma strategię czystą, a drugi – skupioną w co najwyżej dwóch punktach
przestrzeni Y .
5. Rozważ następującą grę dwóch graczy – Przestępcy i Władz: Władze
wybierają poziom wydatków na ściganie przestępstw x ­ 0, a przestępca
swój poziom nielegalnej działalności y ­ 0. Wypłatę władz określa
2
wzór uW (x, y) = −xc − yx , gdzie drugi składnik sumy odpowiada
negatywnemu efektowi społecznemu działania przestępcy, a pierwszy –
kosztowi działalności organów ścigania (c jest umownym jednostkowym
√
y
kosztem takiej działalności). Wypłatą przestępcy jest uP (x, y) = 1+xy ,
której licznik jest wielkością korzyści z działalności przestępczej, a jeden
przez mianownik – prawdopodobieństwem tego, że nie zostanie złapany.
Oblicz, jakie są najlepsze odpowiedzi graczy na strategie przeciwników.
Następnie wskaż równowagę Nasha w tej grze. W jaki sposób zależy ona
od c? Czy tę zależność można jakoś zinterpretować?