Układy równań i nierówności (

Układy równań i nierówności
Zad. 1:
Dla jakich wartości parametru m rozwiązaniem układu równań:
2x + y − m = 0

x + 2y − 1 = 0
y
jest para liczb x, y spełniająca warunek: 2 = 3 ?
x
Odp.: m = − 41 lub m = 1 .
Zad. 2:
Dla jakich wartości parametru k rozwiązaniem układu równań
x − ky = 1

kx − y = 1
jest taka para liczb x, y, Ŝe x + 4 y ≤ 1?
Odp.: k ∈ (−∞;−4 ) ∪ (−1;1) ∪ (1;+∞ ) . Dla k = 1 układ ma nieskończenie wiele rozwiązań
postaci x = t, y = t – 1, gdzie t∈R. Wśród nich są takie, które spełniają podany warunek.
Zad. 3:
Dla jakich wartości parametru m rozwiązaniem układu równań:
mx + (2 m − 1)y = 3m

x + my = m
jest dokładnie jedna para liczb dodatnich?
Odp.: m ∈ (−∞;−1) ∪ (3;+∞ ) .
Zad. 4:
Dla jakich wartości parametru k liczby x, y, z spełniające układ równań:
2x − y + z = 2k + 2

3x + 2 y − z = k − 3
x + y − z = − k − 2

tworzą (w podanej kolejności) ciąg geometryczny, a dla jakich ciąg arytmetyczny?
Odp.: x = 13 k , y = 43 k − 1, z = 83 k + 1 ; ciąg geometryczny dla k = 3 oraz k = 83 , ciąg arytmetyczny dla k = –9.
Zad. 5: (profil matematyczno-fizyczny)
Dla jakich wartości parametru m rozwiązanie układu równań:
mx − 4 y = m + 1

2 x + 2 my = −1
x
spełnia warunek ≥ 0 ?
y
Odp.: m ∈ (−∞;−2 ∪ ( − 23 ;1 .
14
Zad. 6: (profil matematyczno-fizyczny)
Dla jakich wartości parametru m rozwiązaniem układu równań:
(2m + 3)x + (1 − m 2 )y = 4m 2 − 9

x + (1 − m)y = 4m − 10
jest dokładnie jedna para liczb o róŜnych znakach?
Odp.: m ∈ (−∞;−2) ∪ ( − 2;− 23 ) ∪ ( − 16 ;1) ∪ ( 72 ;+∞) .
Zad. 7:
Dla jakich wartości parametru m rozwiązanie układu równań:
2 x − y = m + 2

x + 2 y = 2 m − 1
spełnia warunek 4 x − 7 y ≤ 1 ?
Odp.: m ∈ 7;+∞) .
Zad. 8:
Dla jakich wartości parametru m rozwiązanie układu równań:
mx + y = 2

x − my = 1
spełnia warunek x > 0 i y > 0 ?
Odp.: m ∈( − 21 ;2) .
Zad. 9:
Dla jakich wartości parametru m rozwiązanie układu równań:
x + 2y = −2m 2 − 3m + 6

2
2 x − y = −4 m + 9 m + 2
jest parą liczb o jednakowych znakach? Podaj ilustrację graficzną tego układu dla najmniejszej całkowitej wartości m spełniającej warunki zadania.
Odp.: m ∈( − 21 ; 23 ) ∪ ( 2;+∞) .
Zad. 10:
Dla jakich wartości parametru a rozwiązaniem układu równań:
x − ay = a

ax − y = a
jest para liczb, z których jedna jest sinusem, a druga cosinusem tego samego kąta?
Odp.: a = 1 − 2 lub a = 1 + 2 . Dla a = 1 układ ma nieskończenie wiele rozwiązań postaci
x = t, y = t – 1, gdzie t∈R. Wśród nich są takie, które spełniają warunki zadania.
Zad. 11:
Proste o równaniach (m – 1)x – y = – m i (m – 1)x + m2y = 1 przecinają się w punkcie
P = (x, y). Znajdź wszystkie wartości parametru m, dla których współrzędne punktu P spełniają nierówność y > x + 1.
Odp.: m ∈( − 21 ;1) ∪ (1;+∞ ) . Dla m = 1 proste pokrywają się.
15
Zad. 12:
Dla jakich wartości parametru k wykresy funkcji y = x – k + 1 i y = 2x + k + 3 przecinają
się w punkcie, którego współrzędne są parą liczb o przeciwnych znakach?
Odp.: k = − 53 .
Zad. 13:
Znajdź te wartości parametru m, dla których punkt przecięcia prostych o równaniach
2x – 3y = 4m – 1 i x – 2y = 3 – m jest współliniowy z punktami A = (2, 5) i B = (–1, – 4).
Odp.: m = 1.
Zad. 14:
Zbadaj liczbę rozwiązań układu równań:
mx + 9 y = 3

x + my = 1
w zaleŜności od wartości parametru m. Podaj interpretację geometryczną tego układu dla
m = –3, m = 0, m = 1 oraz m = 3.
Odp.: Układ ma jedno rozwiązanie dla m ∈ R\{– 3, 3}.Układ nie ma rozwiązań dla m = –3.
Układ ma nieskończenie wiele rozwiązań dla m = 3.
Zad. 15:
Zbadaj liczbę rozwiązań układu równań:
xy = 1

m( x − 2) = 2y + 4
w zaleŜności od wartości parametru m. Podaj interpretację geometryczną tego układu dla
m = 1.
(
)
Odp.: RozwaŜany układ nie ma rozwiązań dla m ∈ − 3 − 5 ;−3 + 5 , ma jedno rozwiązanie
{
}
dla m ∈ − 3 − 5 ,−3 + 5 ,0 , ma dwa rozwiązania dla
(
) (
)
m ∈ − ∞;−3 − 5 ∪ − 3 + 5;0 ∪ ( 0;+∞)
Zad. 16:
Zbadaj liczbę rozwiązań układu równań:
2 x + 3y = 4

4 x + my = 2 m
w zaleŜności od wartości parametru m. Dla jakich całkowitych parametru m rozwiązanie tego
układu jest parą liczb dodatnich?
Odp.: RozwaŜany układ nie ma rozwiązań dla m = 6, układ ma jedno rozwiązanie postaci
−m
2 (m − 4 )
x=
, y=
dla m ≠ 6. Rozwiązanie układu jest parą liczb dodatnich dla
m− 6
m− 6
m∈{1,2,3}
Zad. 17:
Dla jakich wartości parametru m liczby x, y, z spełniające układ równań:
16
x + y + z = 3,5

mx + y + z = 0
x + y − 3 z = 0
4

tworzą, w podanej kolejności, ciąg geometryczny?

3m + 4

−7
, y=
, z = 2 .
Odp.: m = − 29 lub m = 6  x =


2( m − 1)
2( m − 1)
Zad. 18:
Dany jest układ równań:
mx + 9 y = 3

x + my = 1
o niewiadomych x i y.
a) Dla m = 6 rozwiąŜ układ równań.
b) Dla jakich wartości parametru m układ nie ma rozwiązania, a dla jakich ma nieskończenie
wiele rozwiązań?
*c) Sprawdź, czy istnieje taka wartość parametru m, dla której układ równań ma dokładnie
jedno rozwiązanie, będące parą liczb o róŜnych znakach.
Odp.: a) x = 13 , y = 91 ; b) Układ nie ma rozwiązań dla m = –3, ma nieskończenie wiele
rozwiązań dla m = 3; c) Nie istnieje taka wartość parametru m.
Zad.19:
( x − 4 )2 − 3x < x( x − 5) − 8

RozwiąŜ układ nierówności 
(x + 8)( x − 8)
2
1 − (0.25 x − 1) ≤ −
16
w zbiorze liczb naturalnych.
Zad. 20:
 x +1
y −1

RozwiąŜ układ nierówności  2 ≤ 3 .
 x + y > 5
Zad. 21:
Na układzie współrzędnych zaznacz punkty spełniające warunek:
a) x + y ≤ 4
b) y < x + 1
c) x + x = y + y .
Zad. 22:
Dane są zbiory: A = { ( x, y ) : x ∈ R ∧ y ∈ R ∧ x − y < 2} i B = { ( x, y ) : x ∈ R ∧ y ∈ R ∧ x − 2 ≥ 3}.
Wyznacz sumę, iloczyn i obie róŜnice tych zbiorów.
Zad. 23:
RozwiąŜ układy równań:
4
 3
 x + y + x − y = 7
a) 
1
1

+
=2
 x + y x − y
2 x + 3 y = 13
3x − y = 3
b) 
y − 2 x + 3 = 0
c) 
 y + x −3=0
17
2 x + y = y + 2
d) 
x + 1 = y − 2
2 x + y + 3z = 13

f) 3x + y + z = 8 .
x + y + z = 6

 x +1 + y −1 = 5
e) 
 x +1 = 4y − 4
Zad. 24:
(m − 2)x − 3 y = m + 1
w zaleŜności od parametru m.
 x − my = 4
Zbadaj liczbę rozwiązań układu równań 
Zad. 25:
Przeprowadź dyskusję ilości rozwiązań w zaleŜności od parametrów dla układu równań
ax + 2 y = 1
.

 8 x + ay = b
Zad. 26:
a) Przeprowadź dyskusję istnienia i liczby rozwiązań układu równań
(sin α − 1) x + y = 1
z niewiadomymi x, y w zaleŜności od wartości

(−2 sin α ) x + (2 sin α + 1) y = sin α
parametru α ∈ (0;2π ) .
*b) Dla jakich wartości α ∈ 0,2π rozwiązaniem układu jest para liczb ujemnych, a dla
jakich α ∈ 0,2π rozwiązaniem układu jest para liczb nieujemnych?
Odp: a) Dla α = π6 lub α = 56 π układ jest sprzeczny, a dla α = 32 π układ jest nieoznaczony.
x < 0
⇔ a ∈ (0; π6 ) ∪ ( 56 π ; π )
y
<
0

*b) 
x ≥ 0
⇔ a ∈ (π6 ; 56 π ) .

y ≥ 0
Zad. 27:
x − y = k − 1
2 x − y = −3 − k
Dla jakich wartości parametru k rozwiązanie układu 
a) jest parą liczb ujemnych
b) jest parą liczb dodatnich
c) jest parą liczb o przeciwnych znakach?
Odp.: a) k > − 13 ; b) k < −1 ; c) k ∈ (− 1;− 13 ) .
Zad. 28:
(a + 1) x + (a − 1) y = a 2 + 1
jest
2
(a − 1) x + ( a + 1) y = a − 1
Dla jakich wartości parametru a rozwiązaniem układu równań 
dokładnie jedna para liczb o jednakowych znakach?
Odp.: a ∈ (−∞;−1) ∪ (1;+∞).
18
Zad. 29:
4 x − 3 y = 7
. Dla jakich wartości parametru m liczby x, y spełniające
mx − y = 2
RozwiąŜ układ równań 
ten układ są ujemne?
Odp.: m > 43 .
Zad. 30:
x + y = m
jest taka para liczb
3x − 2 y = 2m − 1
Dla jakich wartości parametru m rozwiązaniem układu 
(x, y) taka, Ŝe:
a) x ≤ 12 i y ≤ 12 ;
*b) x + y ≤ 1 ?
3 7
; *b) m ∈ − 1,1 .
8 8
Odp.: a) m ∈ − ,
Zad. 31:
x − y = k − 1
spełnia warunek
2 x − y = −3 − k
Dla jakich wartości parametru k rozwiązanie układu równań 
x + y = 2+k ?
Odp.: k = − 12 lub k = − 14 .
Zad. 32:
Dla jakich wartości parametru α , gdzie α ∈ (0; π2 ) , rozwiązaniem układu równań
x − y = 1
jest para liczb (x, y) taka, Ŝe x + y = −2 tg α ctg α ?

2 x − y = cos α
Odp.: α = π3 .
Zad. 33:
mx + (2m − 1) y = 3m
. Dla jakich wartości parametru m punkt
 x + my = m
RozwiąŜ układ równań 
przecięcia się prostych danych równaniami układu naleŜy do prostej o równaniu
x + 2y - 3 = 0?
Odp.: Punkt przecięcia prostych danych równaniami układu naleŜy do prostej x + 2y - 3 = 0
dla m = 3.
Zad. 34:
 2x − 3y + m − 2 = 0

jest para
x + 4 y − 3m + 1 = 0
 2
Dla jakich wartości parametru m rozwiązaniem układu równań  1
liczb x, y, Ŝe punkt (x, y) naleŜy do symetralnej odcinka o końcach A = (2, 2) i B = (-4, 6)?
Zad. 35:
4 x + y − 5 = 0
jest punkt
2 x − y + 3m − 1 = 0
Dla jakich wartości parametru m rozwiązaniem układu równań 
19
naleŜący do wnętrza prostokąta o wierzchołkach A = (1, -2), B = (3, -2), C = (3, 1), D=(1,1)?
Zad. 36:
Prosta l przechodzi przez punkty P = (- 1;9) i S = (2; - 3), prosta k ma równanie 2x - y + 3m 1 = 0. Znajdź takie wartości parametru m aby punkt przecięcia prostych l i k naleŜał do
wnętrza prostokąta o wierzchołkach: A = (1; - 2), B = (3; - 2), C = (3; 1), D = (1; 1).
Odp.: m ∈ (− 1 12 ;0 ) .
Zad. 37:
Dla jakich wartości parametru m prosta o równaniu x - my - m + 2 = 0 przecina prostą o równaniu 2x - y - 1 = 0 między punktami A(-1,-3) i B(1,1)?
Zad. 38:
 x sin α − y cos α = 1
jest
 x cos α + y sin α = 0
Dla jakich wartości parametru α rozwiązaniem układu równań 
punkt (x, y) naleŜący do krzywej o równaniu y = 1 − x 2 ?
Odp.: x = sin α , y = − cos α dla α ∈ R; warunek y = 1 - x 2 jest spełniony dla α = 12 π + kπ lub
α = π + 2kπ , gdzie k ∈ C.
Zad. 39:
Dla jakich wartości parametru a proste: 3x + 2y - a = 0 i 2x + 3y - a + 1 = 0 przecinają się w
punkcie naleŜacym do okręgu o środku w początku układu współrzędnych i promieniu 1?
Odp.: a = -2 lub a = 3.
Zad. 40:
 x − y = −1 − m
. Dla jakich wartości parametru m
2 x − y = 2 m
Para (x, y) jest rozwiązaniem układu równań 
punkt P=(x, y) naleŜy do koła o promieniu r = 5 i środku w początku układu
współrzędnych?
Odp.: m ∈ −
22
,0 .
25
20