Wstęp do metod numerycznych
Transkrypt
Wstęp do metod numerycznych
Kraków, 25.01.2016 Wstęp do metod numerycznych Zestaw 6 na 27.01.2016 1. Całkowanie numeryczne. Wyprowadzić wzór trapezów, Simpsona i regułę 3/8. Jakie są błędy tych metod? 2. Jak zmienia się błąd przy podzieleniu przedziału całkowania na 2 równe podprzedziały? Jak zmienia się błąd przy podzieleniu przedziału całkowania na n równych podprzedziałów? N18 Obliczyć całkę Z 1 −1 ex dx √ 1 − x2 −6 z dokładnością do 10 za pomocą złożonej metody trapezów, Simpsona i reguły 3/8, stosując iteracyjne zagęszczanie podprzedziałów. Uwaga: za liczenie dwukrotnie (lub więcej) wartości funkcji w obrębie jednej metody przy zagęszczaniu będą odejmowane punkty. Wskazówka: zmienić zmienne tak aby pozbyć się nieskończoności na brzegach przedziału. 3. Pokazać, że Z π cos(nx) cos(mx) dx = 0 π δnm (1 − δ0n ) + πδnm δn0 . 2 4. Korzystając z wyniku poprzedniego zadania znaleźć szereg Fouriera opisujący funkcje oresowe z okresem 2π dane wzorami (dla x ∈ (−π, π]): ( 1 dla |x| ≤ π/2 f1 (x) = 0 dla |x| > π/2 x f2 (x) = 1 − , π f3 (x) = < exp eix . 5. Obliczyć Z 0 1 Tn (x)Tm (x) √ dx 1 − x2 gdzie Tn (x) oznacza wielomiany Chebysheva. 1 N19 Korzystając z szybkiej transformaty Fouriera (np. DCT-II z biblioteki FFTW) oblicz współczynniki rozkładu funkcji f (x) = N X 1 = cn T Ln (x) 1 + x2 n=0 w bazie wielomianów Chebysheva dla przedziału x ∈ [0, ∞) oraz N = 200. Wskazówka: wprowadzając zmienną r x t = 2arc cot L zamieniamy T Ln (x) = cos(nt). • Narysować współczynniki w skali logarytmicznej (n, log |cn |). Jak duże N można wziąć? • Obliczyć pochodną g(x) = df /dx w każdym z punktów interpolacyjnych, narysować wykres i porównać z wartościami dokładnymi. • Obliczyć całkę Z h(x) = x dx0 f (x0 ) 0 w każdym z punktów interpolacyjnych, narysować wykres i porównać z wartościami dokładnymi. Jaka jest złożoność obliczeniowa obliczenie pochodnej i całki w punktach interpolacyjnych? Wskazówka: proces obliczania pochodnej i całki można przyspieszyć (za dodatkowe 2ptk.) korzystając z odwrotnych transformacji cosinusowej i sinusowej. dr Tomasz Romańczukiewicz 2