www.zadania.info – NAJWI ˛EKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADA

www.zadania.info – N AJWI EKSZY
˛
I NTERNETOWY Z BIÓR Z ADA Ń Z M ATEMATYKI
Z ADANIE 1
Z miejscowości A i B oddalonych od siebie o 182 km wyjeżdżaja˛ naprzeciw siebie dwaj rowerzyści. Rowerzysta jadacy
˛ z miejscowości B do miejscowości A jedzie ze średnia˛ pr˛edkościa˛ mniejsza˛ od 25 km/h. Rowerzysta
jadacy
˛ z miejscowości A do miejscowości B wyjeżdża o 1 godzin˛e wcześniej i jedzie ze średnia˛ pr˛edkościa˛ o
7 km/h wi˛eksza˛ od średniej pr˛edkości drugiego rowerzysty. Rowerzyści spotkali si˛e w takim miejscu, że rowe9
całej drogi z A do B. Z jakimi średnimi pr˛edkościami
rzysta jadacy
˛ z miejscowości A przebył do tego miejsca 13
jechali obaj rowerzyści?
Z ADANIE 2
Opuszczone z wysokości 705,6 m ciało w ciagu
˛ pierwszej sekundy przebyło drog˛e 4,9 m, a w każdej nast˛epnej
sekundzie przebyło drog˛e o 9,8 m dłuższa˛ niż w poprzedniej sekundzie. Po ilu sekundach ciało spadło na
powierzchni˛e Ziemi?
Z ADANIE 3
Łódź musi płynać
˛ 60km w dół rzeki, a nast˛epnie 10km w gór˛e rzeki. Pr˛edkość pradu
˛ rzeki wynosi 5km/godz.
Jaka powinna być pr˛edkość własna łodzi, aby cała podróż nie trwała dłużej niż 10 godzin?
Z ADANIE 4
Rowerzysta w ciagu
˛ pierwszej godziny przejechał 21 km, a w ciagu
˛ każdej nast˛epnej godziny – odcinek o 0,75
km krótszy od poprzedniego. Jaka˛ drog˛e pokonał rowerzysta i w jakim czasie, jeśli w ciagu
˛ ostatniej godziny
przejechał 18 km?
Z ADANIE 5
Kuba pożyczył od taty samochód, którym wyruszył z domu na spotkanie ze swoja˛ dziewczyna.˛ Przed wyjazdem obliczył, że jadac
˛ ze średnia˛ pr˛edkościa 60km/h przyb˛edzie na spotkanie dokładnie o umówionej godzinie. Po przejechaniu (z zaplanowana˛ pr˛edkościa)
˛ 60% drogi "złapał gum˛e", a zmiana koła zaj˛eła mu 16 minut.
Teraz, aby zda˛żyć na spotkanie, musiałby jechać z pr˛edkościa˛ 120km/h. Oblicz odległość od domu Kuby do
miejsca spotkania z ukochana.˛
Z ADANIE 6
Samochód jadacy
˛ autostrada˛ pali 5,6 litra paliwa na 100km. Napisz wzór funkcji s określajacej
˛ przebyta˛ drog˛e
(w kilometrach) w zależnosci od zużytego paliwa p (w litrach).
Z ADANIE 7
Rowerzysta jedzie ze stała˛ pr˛edkościa˛ 20km/h.
a) Napisz wzór wyrażajacy
˛ drog˛e s rowerzysty w ciagu
˛ t godzin.
b) Sporzadź
˛ tabelk˛e wartości s dla t = 0, 1, 2, 3, 4.
c) Naszkicuj wykres zależności s od t.
Z ADANIE 8
Pomi˛edzy miastami A i B kursuje autobus. Droga mi˛edzy tymi miastami prowadzi przez wzgórze. Autobus
jadac
˛ pod gór˛e rozwija pr˛edkość 25 km/h, a z góry 50 km/h. Podróż z A do B trwa 3,5 h, a z B do A 4 h. Jaka
jest odległość z A do B?
1
www.zadania.info – N AJWI EKSZY
˛
I NTERNETOWY Z BIÓR Z ADA Ń Z M ATEMATYKI
Z ADANIE 9
Droga z miasta A do miasta B ma długość 474 km. Samochód jadacy
˛ z miasta A do miasta B wyrusza godzin˛e
później niż samochód z miasta B do miasta A. Samochody te spotykaja˛ si˛e w odległości 300 km od miasta
B. Średnia pr˛edkość samochodu, który wyjechał z miasta A, liczona od chwili wyjazdu z A do momentu
spotkania, była o 17 km/h mniejsza od średniej pr˛edkości drugiego samochodu liczonej od chwili wyjazdu z
B do chwili spotkania. Oblicz średnia˛ pr˛edkość każdego samochodu do chwili spotkania.
Z ADANIE 10
Dwa pociagi:
˛ towarowy o długości 490 m i osobowy o długości 210 m, jada˛ naprzeciw siebie po dwóch równoległych torach i spotykaja˛ si˛e w miejscu S. Mijanie si˛e pociagów
˛
trwa 20 s, a czas przejazdu pociagu
˛ osobowego
przez miejsce S jest o 25 sekund krótszy od czasu przejazdu pociagu
˛ towarowego. Oblicz pr˛edkości obu pociagów,
˛
zakładajac,
˛ że poruszaja˛ si˛e ruchem jednostajnym.
Z ADANIE 11
Stasiu wybrał si˛e na spacer po lesie. Na wykresie przedstawiono przebyta˛ przez niego drog˛e w zależności od
czasu.
[km]
8
5
4
2
1
10
40
60
80 100
[min]
a) Oblicz z jaka˛ średnia˛ pr˛edkościa˛ poruszał si˛e w trakcie spaceru. Wynik podaj w kilometrach na godzin˛e.
b) W której minucie spaceru przebył dokładnie połow˛e drogi?
c) Z jaka˛ najwi˛eksza,˛ i z jaka˛ najmniejsza˛ pr˛edkościa˛ si˛e poruszał? Wynik podaj w kilometrach na godzin˛e.
Z ADANIE 12
Statek wycieczkowy, płynac
˛ z pradem
˛
rzeki, pokonuje tras˛e z miasta A do miasta B w ciagu
˛ dwóch godzin,
natomiast z powrotem płynie o pół godziny dłużej. Ile czasu b˛edzie płynać
˛ tratwa z miasta A do miasta B?
Z ADANIE 13
Władze Grudziadza
˛
chca˛ wybudować nad Wisła˛ dwa ośrodki wypoczynkowe położone na tym samym brzegu
w takiej odległości od siebie, aby motorówka kursujaca
˛ mi˛edzy nimi płyn˛eła tam i z powrotem nie dłużej niż
pół godziny (nie liczac
˛ postojów). Jaka może być maksymalna odległość mi˛edzy ośrodkami, jeżeli pr˛edkość
pradu
˛ Wisły jest równa 0,2 km/min, a pr˛edkość własna motorówki 1 km/min?
Z ADANIE 14
Motorówka, płynac
˛ z pradem
˛
rzeki, przebyła drog˛e 12 km w czasie 20 minut. Pr˛edkość motorówki wynosi 30
km/h. Oblicz pr˛edkość pradu
˛ rzeki.
2
www.zadania.info – N AJWI EKSZY
˛
I NTERNETOWY Z BIÓR Z ADA Ń Z M ATEMATYKI
Z ADANIE 15
Z murów zamku wystrzelono pocisk armatni, który po 4 sekundach spadł na ziemi˛e. Wysokość (w metrach),
na jaka˛ wzniósł si˛e pocisk (wzgl˛edem poziomu armaty) po upływie t sekund od momentu wystrzelenia opisuje
funkcja h(t) = −5t2 + 15t, gdzie t ∈ h0, 4i.
a) Oblicz po jakim czasie pocisk ponownie znalazł si˛e na wysokości z jakiej został wystrzelony.
b) Oblicz na jaka˛ maksymalna˛ wysokość wzgl˛edem ziemi wzniósł si˛e ten pocisk.
Z ADANIE 16
Samochód przebył w pewnym czasie 210 km. Gdyby jechał ze średnia˛ pr˛edkościa˛ o 10 km/h wi˛eksza,˛ to czas
przejazdu skróciłby si˛e o pół godziny. Oblicz, z jaka˛ średnia˛ pr˛edkościa˛ jechał ten samochód.
Z ADANIE 17
Dwóch braci pokonuje drog˛e z domu do szkoły pieszo. Młodszy potrzebuje na przebycie tej trasy 30 minut, a
starszy 20 minut. Po ilu minutach starszy brat dogoni młodszego, jeśli wyjdzie z domu 5 minut po nim?
Z ADANIE 18
Rowerzysta jedzie z miejscowości A do odległej o 48 km miejscowości B. Gdyby zwi˛ekszył swoja˛ pr˛edkość
o x kilometrów na godzin˛e, to jechałby 4 godziny, gdyby zaś zmniejszył swoja˛ pr˛edkość o x kilometrów na
godzin˛e, to jechałby 6 godzin. Wyznacz pr˛edkość rowerzysty.
Z ADANIE 19
Po zmodernizowaniu linii kolejowych przeci˛etna pr˛edkość pociagów
˛
ekspresowych kursujacych
˛
na 400-kilometrowej
trasie wzrosła o 20km/godz, a czas podróży skrócił si˛e o godzin˛e. Oblicz, z jaka˛ średnia pr˛edkościa˛ jeżdża˛
obecnie pociagi
˛ ekspresowe na tej trasie.
Z ADANIE 20
Z tego samego miejsca wyruszyli w t˛e sama˛ stron˛e piechur i rowerzysta. Piechur wyszedł o godzinie 700 i
maszerował z pr˛edkościa˛ 5 km/h, a rowerzysta wyjechał o godzinie 1000 i jechał z pr˛edkościa˛ 15 km/h. O
której godzinie rowerzysta dogonił piechura?
Z ADANIE 21
Motocyklista drog˛e z miasta A do miasta B pokonał ze średnia˛ pr˛edkościa˛ 84 km/h. Pokonanie drogi powrotnej zaj˛eło mu o godzin˛e dłużej, a średnia pr˛edkość wyniosła 56 km/h. Oblicz odległość mi˛edzy miastami A i
B.
Z ADANIE 22
Samochód A, jadacy
˛ pod gór˛e, w pierwszej sekundzie pokonał 25 m, a w każdej nast˛epnej o pół metra mniej
niż w poprzedniej. W tym samym momencie, gdy A rozpoczał
˛ podjazd, zjazd z góry rozpoczał
˛ samochód B,
b˛edacy
˛ w odległości 360 m od A. Samochód B w pierwszej sekundzie przebył drog˛e 9 m, a w każdej nast˛epnej
o 2 m wi˛ecej niż w poprzedniej. Jaka˛ odległość pokonał samochód A do chwili mini˛ecia z samochodem B?
3
www.zadania.info – N AJWI EKSZY
˛
I NTERNETOWY Z BIÓR Z ADA Ń Z M ATEMATYKI
Z ADANIE 23
Ze Szczecina do Cz˛estochowy wybrały si˛e dwie pielgrzymki: piesza i rowerowa. Pielgrzymka piesza wyruszyła pierwsza, pokonujac
˛ każdego dnia 26 km. Po 8 dniach wyruszyła (z tego samego miejsca, ta˛ sama˛ trasa)
˛
pielgrzymka rowerowa, pokonujac
˛ pierwszego dnia 54 km, a każdego nast˛epnego dnia o 2 kilometry mniej
niż dnia poprzedniego. Pielgrzymki spotkały si˛e dopiero u stóp Jasnej Góry. W którym dniu podróży i w jakiej
odległości od miejsca wyjazdu pielgrzymka rowerowa dogoniła pielgrzymk˛e piesza?
˛
Z ADANIE 24
Codzienna trasa listonosza ma kształt trójkata
˛ równobocznego, którego wierzchołki stanowia˛ bloki A, B, C. Z
bloku A do bloku B listonosz idzie z pr˛edkościa˛ 3 km/h. Z bloku B do bloku C idzie z pr˛edkościa˛ dwukrotnie
wi˛eksza.˛ Średnia pr˛edkość na całej trasie jest równa 4 km/h. Oblicz, z jaka˛ średnia˛ pr˛edkościa˛ listonosz porusza
si˛e od bloku C do bloku A.
Z ADANIE 25
W biegu narciarskim na 30 km różnica czasów mi˛edzy zwyci˛ezca˛ i ostatnim zawodnikiem była równa 20 min.
Po biegu obliczono, że średnia pr˛edkość zwyci˛ezcy była o 3 km/h wi˛eksza od pr˛edkości ostatniego biegacza.
Oblicz pr˛edkość zwyci˛ezcy.
Z ADANIE 26
Szkolne koło turystyczne zorganizowało dla swoich członków piesza˛ wycieczk˛e po okolicach Łodzi. Grupa
wyszła o godz. 700 . W ciagu
˛ pierwszych dwóch godzin turyści przeszli 8km. Nast˛epnie przez 1,5 godziny
odpoczywali w lesie. Do celu w˛edrówki pozostała trasa, która˛ grupa pokonała w ciagu
˛ 2 godzin idac
˛ z pr˛edkościa˛ 3 km/h. Po półgodzinnym ponownym odpoczynku turyści udali si˛e w drog˛e powrotna˛ do Łodzi, idac
˛
z pr˛edkościa˛ 2km/h.
a) Narysuj wykres funkcji przyporzadkowuj
˛
acej
˛ czasowi w˛edrówki (w godzinach) przebyta˛ drog˛e (w kilometrach) przez turystów.
b) Ile łacznie
˛
kilometrów przebyła grupa turystów?
c) Podaj średnia˛ pr˛edkość marszu turystów na całej trasie.
d) O której godzinie turyści dotarli do Łodzi?
Z ADANIE 27
Z miejscowości A i B, które sa˛ odległe o 58,5 km wyruszyły jednocześnie ku sobie dwa samochody. Pierwszy
samochód w ciagu
˛ pierwszej minuty jechał ze średnia˛ pr˛edkościa˛ 30 km/h, a w ciagu
˛ każdej nast˛epnej minuty pokonywał drog˛e o 0,25 km dłuższa,˛ niż w ciagu
˛ poprzedniej minuty. Drugi samochód przez pierwsze 6
minut przejechał 21 kilometrów, a potem jechał ze stała˛ pr˛edkościa˛ 150 km/h. Oblicz po ilu minutach nastapi
˛
spotkanie samochodów.
Z ADANIE 28
W czasie wycieczki rowerowej uczniowie mieli do przebycia tras˛e długości 84 km. Podzielili t˛e tras˛e na odcinki
równej długości i codziennie przejeżdżali wyznaczony odcinek. Gdyby na przebycie całej trasy zużyli o dwa
dni wi˛ecej, to mogliby dziennie przejeżdżać o 7 km mniej. Ile kilometrów przebywali uczniowie dziennie i ile
dni potrzebowali na pokonanie trasy?
4
www.zadania.info – N AJWI EKSZY
˛
I NTERNETOWY Z BIÓR Z ADA Ń Z M ATEMATYKI
Z ADANIE 29
Paweł i Gaweł wyruszyli w 500 kilometrowa˛ podróż dwoma samochodami. Samochód Pawła poruszał si˛e
cały czas ze stała˛ pr˛edkościa,˛ a sposób poruszania si˛e samochodu Gawła przedstawiony jest na poniższym
wykresie.
[km]
500
400
300
200
100
[h]
1
5
10
15
a) Oblicz z jaka˛ pr˛edkościa˛ poruszał si˛e samochód Pawła, jeżeli dojechał on do celu 20 minut po Gawle.
Wynik podaj w kilometrach na godzin˛e
b) Przez ile godzin Gaweł jechał wolniej od Pawła?
c) Ile razy, i w której minucie podróży oba samochody si˛e spotkały (nie liczac
˛ poczatku
˛
i końca podróży).
Wynik podaj z dokładnościa˛ do 1 minuty.
Z ADANIE 30
Dwa pociagi
˛ towarowe wyjechały z miast A i B oddalonych od siebie o 540 km. Pociag
˛ jadacy
˛ z miasta A do
miasta B wyjechał o godzin˛e wcześniej niż pociag
˛ jadacy
˛ z miasta B do miasta A i jechał z pr˛edkościa˛ o 9 km/h
mniejsza.˛ Pociagi
˛ te min˛eły si˛e w połowie drogi. Oblicz, z jakimi pr˛edkościami jechały te pociagi.
˛
Z ADANIE 31
Karawana o długości 1 km jedzie przez pustyni˛e z pr˛edkościa˛ 4 km/h. Co jakiś czas od czoła karawany do jej
końca i z powrotem jedzie goniec z pr˛edkościa˛ 6 km/h. Oblicz długość drogi tam i z powrotem, która˛ pokonuje
goniec. Oblicz, ile czasu zajmuje mu przebycie tej drogi.
Z ADANIE 32
W rajdzie motocyklowym zawodnik, który zwyci˛eżył, przejechał tras˛e z pr˛edkościa˛ o 20 km/h wi˛eksza˛ niż
drugi zawodnik i o 25 km/h wi˛eksza˛ od trzeciego zawodnika. Zawodnicy wystartowali jednocześnie. Na
mecie drugi zawodnik był o 18 minut później niż zwyci˛ezca i o 6 minut wcześniej niż trzeci zawodnik. Oblicz:
a) długość trasy rajdu;
b) pr˛edkość jazdy każdego zawodnika;
c) czasy przejazdu tych zawodników.
Z ADANIE 33
Motorówka płyn˛eła z pradem
˛
rzeki od przystani A do przystani B przez 40 minut, a wracała 56 minut. Oblicz
pr˛edkość motorówki i pr˛edkość pradu
˛ rzeki, jeżeli przystanie A i B sa˛ odległe o 14km.
5
www.zadania.info – N AJWI EKSZY
˛
I NTERNETOWY Z BIÓR Z ADA Ń Z M ATEMATYKI
Z ADANIE 34
Pociag
˛ osobowy mija obserwatora w ciagu
˛ 5 s, a obok peronu długości 300 m przejeżdża w ciagu
˛ 25 s.
a) Oblicz długość pociagu
˛ i jego pr˛edkość.
b) Określ, jak długo pociag
˛ b˛edzie mijał pociag
˛ towarowy długości 150 m jadacy
˛ równoległym torem w
przeciwnym kierunku z pr˛edkościa˛ 36 km/h.
Rozwiazania
˛
zadań znajdziesz na stronie
HTTP :// WWW. ZADANIA . INFO /1132_5767R
6