S7. Zakres wymagań do sprawdzianu z funkcji trygonometrycznej

S7. Zakres wymagań do sprawdzianu
z funkcji trygonometrycznej
na poziomie podstawowym i rozszerzonym (materiał dla ucznia)
Zadanie 1 sprawdza:
• Umiejętność posługiwania się ze zrozumieniem definicjami funkcji trygonometrycznych i praktyczną
znajomość następujących własności:
−−wszystkie trójkąty prostokątne o tym samym kącie ostrym są do siebie podobne,
−−stosunek długości odpowiednich boków trójkątów podobnych jest stały,
−−wartości funkcji trygonometrycznych to odpowiednie stosunki długości boków trójkąta prostokątnego,
−−wartość funkcji trygonometrycznej danego kąta ostrego nie zależy od wymiarów trójkąta prostokątnego,
−−współczynnik kierunkowy prostej nachylonej do osi x pod kątem ostrym jest równy tangensowi tego
kąta.
Zadanie 1.1
Jeden z kątów ostrych trójkąta prostokątnego ma miarę . Wiadomo, że tg  = 23 .
a) Podaj wymiary trzech przykładowych trójkątów spełniających warunki zadania. Opisz położenie
kąta o mierze  w tych trójkątach.
b) Wykorzystując siatkę kwadratową, narysuj przykładowy trójkąt prostokątny o długościach boków będących liczbami niewymiernymi, którego jednym z kątów ostrych jest kąt o mierze .
Wskaż ten kąt.
Zadanie 1.2
a) Korzystając z rysunku ∆ABC, oblicz cos . Potrzebne dane
odczytaj lub oblicz.
b) Korzystając z rysunku ∆DEF, oblicz cos . Potrzebne dane
odczytaj lub oblicz.
Zadanie 1.3
a) Prosta o równaniu y = 13 x + 4 tworzy z osią x kąt ostry . Oblicz wartości funkcji trygonometrycznych tego kąta.
b) Prosta o równaniu y = – 23 x + 4 tworzy z osią x kąt rozwarty . Oblicz wartości funkcji trygono metrycznych kąta  przyległego do kąta .
Zadanie 2 sprawdza:
• Znajomość podstawowych zależności między funkcjami trygonometrycznymi tego samego kąta:
sin2 + cos2 = 1, sin  = tg , cos  = ctg , tg ctg  = 1, sin(90° – ) = cos , tg (90° – ) = ctg .
cos 
sin 
• Rozumienie pojęcia tożsamości trygonometrycznej.
• Umiejętność wykazywania tożsamości trygonometrycznych.
• Znajomość wartości funkcji trygonometrycznych kątów 30°, 45°, 60°.
Zadanie 2.1
Oblicz wartość wyrażenia
tg17° ⋅ tg 23° ⋅ tg 73° ⋅ cos 23°
.
cos 67°
Zadanie 2.2
a) Oblicz wartość każdego z dwóch wyrażeń, przyjmując, że  = 30°: 2(sin  − cos )(sin  + cos ) ,
tg  − ctg 
2sin cos .
b) Sprawdź, czy równość 2(sin  − cos )(sin  + cos ) = 2 sin  cos  jest tożsamością? Odpowiedź
tg  − ctg 
uzasadnij.
www.wsip.pl
23
Matematyka dla liceum i technikum – zakres podstawowy i rozszerzony. Poradnik dla nauczyciela – klasa 1
Zadanie 2.3
Kąty ostre przy podstawie AB trójkąta ABC mają miary  i . Bok trójkąta przeciwległy kątowi
o mierze  ma długość 10. Oblicz długość boku trójkąta przeciwległego kątowi o mierze , gdy wiadomo, że sin  = 23 , cos  = 53 .
Zadanie 2.4
Wiadomo, że tg  + ctg  = 4, gdzie  jest miarą kąta ostrego. Oblicz |tg  – ctg |.
Zadanie 3 sprawdza:
• Umiejętność rozwiązywania różnych zadań z wykorzystaniem funkcji trygonometrycznych.
Zadanie 3.
Dane są miary dwóch kątów trójkąta 54° i 25°. Bok trójkąta przeciwległy kątowi o mierze 54° ma
długość 10. Oblicz długość boku trójkąta przeciwległego kątowi 25°. Wiadomo, że cos 65° ≈ 0,4,
sin 54° ≈ 0,8.
Odpowiedzi
1.1 a) 2 × 3 × 13, 4 × 6 × 2 13, 2 2 × 3 2 × 26, b) Trójkąt ABC na
rysunku. Kąt ABC jest kątem prostym, bo suma kątów ostrych, jakie tworzy
przekątna prostokąta z sąsiednimi bokami prostokąta, jest kątem prostym.
1.2 a) AB = 34, cos  = 5 = 5 3434 , b) DE = 5, cos  = 2 = 2 5 5
34
5
1.3 a) tg  = 1 , ctg  = 3
3
sin  = 10
10
3 10
cos  = 10
2.1
b) tg  = 2 , ctg  = 3
3
2
2 13
2
=
sin  =
13
13
cos  = 3 = 3 13
13
13
tg17° ⋅ tg 23° ⋅ tg 73° ⋅ cos 23°
= 1 2.2 a) każde z tych wyrażeń ma taką samą wartość równą 23 , b) tak
cos 67°
2.3 Bok trójkąta przeciwległy kątowi  ma długość równą 12. 2.4 |tg  – ctg | = 2 3
3.1 Bok trójkąta przeciwległy kątowi 25° ma długość ok. 5.
24