1. Obliczyć ¯ Ax jeśli µx jest stałe i wynosi 1 dla każdego x > 0

matematyka w ubezpieczeniach
III rok matematyki finansowej
lista 6
1
dla każdego x > 0. Przyjąć i = 5%. Czy wiek osoby
1. Obliczyć Āx jeśli µx jest stałe i wynosi 70
kupującej ubezpieczenie ma wpływ na wartość JSN?
2. Niech µx =
1
1+x
dla x > 0. Pokazać, że Āx = 1 − δ
Z ∞
e−δt
0
1+x
dt.
1+x+t
3. Obliczyć wysokość JSN, którą zapłaci:
a) (20)-latek
b) (50)-latek
w 30-letnim ubezpieczeniu na życie na kwotę 100 tys. j.p. płatnym w chwili śmierci, jeśli
X ∼ U [0; 100] oraz δ = 0, 02. W obu przypadkach policzyć współczynnik zmienności.
4. Niech X ∼ U [0; 100], i = 0, 03. Oblicz prawdopodobieństwo, że ubezpieczyciel poniesie stratę
przy ubezpieczeniu 30-latka na całe życie (płatnym w chwili śmierci).
5. Wykazać, że 2 Āx równa się wartości Āx obliczonej przy stopie procentowej i2 + 2i.
6. Rozważmy ubezpieczenie bezterminowe sprzedawane osobie w wieku x = 30 lat. Obliczyć
wysokość jednorazowej składki π tak, by z prawdopodobieństwo straty ubezpieczyciela było nie
większe niż 10%. Założyć, że wymieraniem w tej populacji rządzi prawo de Moivre’a z wiekiem
granicznym ω = 100. Przyjąć stopę procentową i = 2, 5%.
7. Niech zmienna losowa T (x) ma rozkład zadany gęstością
g(t) =
t2
2
√ e− 200 ,
10 2π
t>0
oraz niech δ = 0, 05. Pokazać, że
a) Āx = 2e0,125 [1 − φ(0, 5)] ≈ 0, 6992;
b) 2 Āx = 2e0,5 [1 − φ(1)] ≈ 0, 5232;
c) V ar(Z) ≈ 0, 0343, gdzie Z = v T ;
d) v e̊x = 0, 6710 < 0, 6992 = Āx .
8. Udowodnić, że jeśli δ > 0, to
v e̊x ≤ Āx .
(1)
9. Przy stałej intensywności zgonów µ > 0 i stałej intensywności oprocentowania δ > 0, jednorazowa
składka netto w ciągłym ubezpieczeniu na całe życie dającym świadczenie 1 w momencie śmierci
jest równe P (µ, δ). Znajdź P (µ, δ), jeśli wiadomo, że P (4µ, 3δ) = 0, 5. Podaj najbliższą wartość.
A) 0, 43 B) 0, 48 C) 0, 52 D) 0, 55 E) 0, 58
10. Rozpatrujemy ciągły model bezterminowego ubezpieczenia na życie dla osób x = 60 z populacji
de Moivre’a z parametrem ω = 100. Ubezpieczenie wypłaca kwotę (ω − e̊x+t ) · 1000, jeśli śmierć
nastąpiła w wieku (x + t). Podaj jednorazową składkę netto dla δ = 0, 05. Wskaż najbliższą
wartość.
A) 37 080 B) 37 320 C) 37 560 D) 37 800 E) 38 040
11. Załóżmy, że portfel składa się ze 100 polis dla (30)-latków na życie przy czym X ∼ U [0; 100].
Każda polisa wystawiona jest na 10 000 zł ( płatnych w chwili śmierci). Oblicz prawdopodobieństwo
niewypłacalności portfela.
12. Rozpatrujemy 100 członków klubu w wieku x, którzy wpłacają kwotę ω zł na fundusz. Firma
jest zobowiązana do wypłaty 1000 zł w chwili śmierci każdego z członków. Obliczyć ω , jeśli firma
powinna się wywiązać z obowiązku z prawdopodobieństwem 0, 95 i jeśli Āx = 0, 06 i 2 Āx = 0, 01.
Przyjmujemy, że przyszłe czasy życia członków klubu są niezależne.