Zadania z przedmiotu Geometria i topologia, III semestr

Zadania z przedmiotu
Geometria i topologia, III semestr
seria 1
1. Niech H bedzie
zbiorem wszystkich ciagów
(a1 , a2 , . . . ) o wyrazach z przedzialu [0, 1]. Niech
,
,
dla dowolnych a = (a1 , a2 , . . . ), b = (b1 , b2 , . . . )
∞
X
1
ρ(a, b) =
|b − am |.
m m
2
m=1
Udowodnić, że (H, ρ) jest ograniczona, przestrzenia, metryczna.,
2. Niech ρ : Rn × Rn → R bedzie
funkcja, dana, wzorem
,
n
X
ρ(x, y) =
|xi − yi |,
k=1
dla x = (x1 , x2 , . . . , xn ), y = (y1 , y2 , . . . , yn ). Wykaż, że ρ jest metryka.,
3. Niech ρ : Rn × Rn → R bedzie
funkcja, dana, wzorem
,
ρ(x, y),
gdy punkty x, y, 0 leża, na jednej prostej;
ρb(x, y) =
,
ρ(x, 0) + ρ(0, y), w przeciwnym przypadku.
s
n
P
(yi − xi )2 . Wykaż, że ρb jest metryka.,
gdzie ρ(x, y) =
k=1
4. Niech ρ bedzie
metryka, w przestrzeni metrycznej M . Udowodnić, że funkcja ρ0 : M → M
,
dana wzorem
ρ(p, q)
ρ0 (p, q) =
1 + ρ(p, q)
dla dowolnych p, q ∈ M spelnia aksjomaty metryki. Udowodnić, że przeksztalcenie f : M → M
jest izometria, przestrzeni metrycznej (M, ρ) wtedy i tylko wtedy, gdy f jest izometria, przestrzeni
(M, ρ0 ).
5. Udowodnić, że przestrzeń liczb naturalnych z metryka, ρ(m, n) = |m−n| nie jest izometryczna
z przestrzenia, liczb calkowitych z metryka, dana, tym samym wzorem.
6. Udowodnij, że podzbiór przestrzeni metrycznej jest ograniczony wtedy i tylko wtedy, gdy jest
zawarty w pewnej kuli w tej przestrzeni.
7. Udowodnij, że jeśli A i B sa‘, ograniczonymi podzbiorami przestrzeni metrycznej (X, ρ), to
suma A ∪ B jest zbiorem ograniczonym.
8. Podać przyklad przestrzeni metrycznej izometrycznej ze swoja, wlaściwa, podprzestrzenia,
9. Niech p bedzie
dowolna, liczba, pierwsza, i niech dla dowolnych a, b ∈ Q
,
0,
gdy a = b;
ρp (a, b) =
p−v(a,b) , gdy a 6= b.
gdzie v(a, b) jest liczba, calkowita, wyznaczona, jednoznacznie przez warunek
c
a − b = pv(a,b) ,
d
gdzie c i d nie sa, podzielne przez p. Udowodnić, że ρp jest metryka., Udowodnić, że zbór liczb
calkowitych Z jest ograniczony w metryce ρp , ale nie jest ograniczony w metryce euklidesowej.