Wykład 2: Szeregi Fouriera

Rachunek prawdopodobieństwa MAP1064
Wydział Elektroniki, rok akad. 2008/09, sem. letni
Wykładowca: dr hab. A. Jurlewicz
Wykład 2: Szeregi Fouriera
Definicja.
Niech f (t) będzie funkcją określoną na R, okresową o okresie 2T
(tzn. f (t + 2T ) = f (t) dla każdego t ∈ R) oraz całkowalną na przedziale [−T, T ].
Definiujemy ciągi (an ), (bn ):
a0
T
1 Z
=
f (t)dt,
T
−T
an
T
nπt
1 Z
f (t) cos
=
dt,
T
T
−T
bn
T
1 Z
nπt
f (t) sin
dt,
=
T
T
−T
n = 1, 2, . . .
Szereg postaci
∞
nπt
a0 X
nπt
+
+ bn sin
an cos
2
T
T
n=1
nazywamy szeregiem Fouriera funkcji f (t).
Uwaga.
• Jeżeli f (t) jest funkcją parzystą na przedziale [−T, T ], to bn = 0 dla każdego
n = 1, 2, . . . i w szeregu Fouriera tej funkcji nie występują sinusy.
• Jeżeli f (t) jest funkcją nieparzystą na przedziale [−T, T ], to an = 0 dla każdego
n = 0, 1, 2, . . . i w szeregu Fouriera tej funkcji nie występują cosinusy i wyraz początkowy.
1
Twierdzenie:
Załóżmy, że f (t) określona na R, ograniczona, okresowa o okresie 2T spełnia warunki
Dirichleta tzn.
(1) przedział [−T, T ] można podzielić na skończoną ilość przedziałów takich, że f (t)
jest ciągła i monotoniczna na wnętrzu każdego z nich;
(2) dla każdego t mamy
f (t−) + f (t+)
,
2
gdzie granice f (t±) = lim f (x) są właściwe.
f (t) =
x→t±
Wtedy dla każdego t mamy
∞
a0 X
nπt
nπt
f (t) =
+
an cos
+ bn sin
2
T
T
n=1
gdzie po prawej stronie równości znajduje się szereg Fouriera funkcji f .
Uwaga.
• Warunek (2) jest spełniony w każdym punkcie ciągłości funkcji f . W punktach nieciągłości oznacza on, że zakładamy występowanie jedynie nieciągłości pierwszego
rodzaju i że jako wartość funkcji w takim punkcie przyjmujemy średnią arytmetyczną granic jednostronnych.
• Teza twierdzenia zachodzi także, gdy przyjmiemy inne założenia o funkcji f , np.
zamiast (1) założyc można, że f jest kawałkami klasy C 1 (ciągła lub nieciągła).
2
Zespolony szereg Fouriera:
Inna postać szeregu Fouriera to
f (t) =
∞
X
πt
cn ein T ,
n=−∞
gdzie
T
πt
1 Z
cn =
f (t)e−in T dt.
2T
−T
(Symbol eix oznacza liczbę zespoloną cos x + i sin x w tzw. postaci wykładniczej.)
Zauważmy, że c0 =
an − ibn
an + ibn
a0
, cn =
oraz c−n =
dla n ­ 1.
2
2
2
Interpretacja:
t - czas
f (t) - sygnał okresowy
(cn ) - widmo sygnału f
nπt
nπt
cos
. Mają ν =
, sin
to funkcje okresowe o okresie 2T
n
T
T
w odcinku [0, 1], czyli częstotliwość ν Hz (ν okresów na sekundę).
3
n
2T
okresów
Przykład 1:
Sygnał o przebiegu prostokątnym, okresowy o okresie 2T :



1 dla 0 < t < T
f (t) = −1 dla −T < t < 0


0 dla t = −T, 0, T.
• Funkcja ta spełnia warunki Dirichleta.
• Na przedziale [−T, T ] jest to funkcja nieparzysta.
Zatem an = 0 dla każdego n = 0, 1, . . ..
Obliczamy bn :
T
T
T
1 Z
2Z
2
T
nπt nπt
nπt
=
bn =
dt =
dt =
−
cos
f (t) sin
sin
T
T
T
T
T
nπ
T 0
−T
0
n
2(1 − cos(nπ))
2(1 − (−1) )
=
=
=
nπ
nπ
(
4
nπ
dla n = 2k − 1
, k = 1, 2, . . .
0 dla n = 2k
• Zatem sygnał prostokątny rozwija się w następujący szereg Fouriera:
∞
∞
2X
1 − (−1)n
4X
1
(2k − 1)πt
nπt
f (t) =
sin
=
sin
π n=1
n
T
π k=1 2k − 1
T
1.5
1.5
1
1
0.5
0.5
0
0
−0.5
−0.5
−1
−1
−1.5
−2
−1
0
1
2
−1.5
−2
3
sygnal o przebiegu prostokatnym
−1
0
1
2
3
suma czesciowa szeregu Fouriera tego sygnalu
ilosc skladnikow N=1, 2, 3
1.5
1.5
1
1
0.5
0.5
0
0
−0.5
−0.5
−1
−1
−1.5
−2
−1
0
1
2
3
suma czesciowa szeregu Fouriera tego sygnalu
ilosc skladnikow N=10
−1.5
−2
4
−1
0
1
2
3
suma czesciowa szeregu Fouriera tego sygnalu
ilosc skladnikow N=100
!
Przykład 2:
Sygnał trójkątny, okresowy o okresie 2T :
(
t dla 0 < t ¬ T
−t dla −T ¬ t < 0.
f (t) =
• Funkcja ta spełnia warunki Dirichleta.
• Na przedziale [−T, T ] jest to funkcja parzysta.
Zatem bn = 0 dla każdego n = 1, 2, . . ..
Obliczamy an :
T
T
1 Z
2Z
a0 =
f (t)dt =
tdt = T
T
T
1
an =
T
=
2
nπ
−T
ZT
−T
0
nπt
2
f (t) cos
dt =
T
T
ZT
nπt
2
t cos
dt =
T
T
0
T
cos
nπ

T
T 
nπt t sin
−
nπ
T
0
ZT
0
(
T
nπt 2T ((−1)n − 1)
− n4T
dla n = 2k − 1
2 π2
, k = 1, 2, . . .
=
=
2
2
0 dla n = 2k
T
n π
0
• Zatem sygnał trójkątny rozwija się w następujący szereg Fouriera:
∞
∞
T
2T X
1 − (−1)n
T
4T X
1
(2k − 1)πt
nπt
f (t) = + 2
cos
= − 2
cos
2
2
2
π n=1
n
T
2
π k=1 (2k − 1)
T
1.5
1.5
1
1
0.5
0.5
0
0
−0.5
−3
−2
−1
0
1
2
−0.5
−3
−2
−1
0
1
2
3
suma czesciowa szeregu Fouriera tego sygnalu
ilosc skladnikow N=1
3
sygnal trojkatny
1.5
1.5
1
1
0.5
0.5
0
0
−0.5
−3
−2
−1
0
1
2
3
suma czesciowa szeregu Fouriera tego sygnalu
ilosc skladnikow N=3
−0.5
−3
−2
−1
0
1
2
3
suma czesciowa szeregu Fouriera tego sygnalu
ilosc skladnikow N=10
5

nπt
sin
dt =
T
!
Przykład 3:
Sygnał o przebiegu piłowym, okresowy o okresie 2T :
(
f (t) =
t dla −T < t < T
0 dla t = −T, T.
• Funkcja ta spełnia warunki Dirichleta.
• Na przedziale [−T, T ] jest to funkcja nieparzysta.
Zatem an = 0 dla każdego n = 0, 1, . . ..
Obliczamy bn :
1
bn =
T
ZT
−T
=
nπt
2
f (t) sin
dt =
T
T
T
2 
−(−1)n T +
sin
nπ
nπ
ZT
2
nπt
dt =
t sin
T
T
0 
T
nπt  2T (−1)n+1
=
T
nπ

0
• Zatem sygnał piłowy rozwija się w następujący szereg Fouriera:
∞
(−1)n+1
2T X
nπt
sin
f (t) =
π n=1
n
T
1.5
1.5
1
1
0.5
0.5
0
0
−0.5
−0.5
−1
−1
−1.5
−3
−2
−1
0
1
2
−1.5
−3
3
−2
−1
0
1
2
3
suma czesciowa szeregu Fouriera tego sygnalu
ilosc skladnikow N=1, 3
sygnal o przebiegu pilowym
1.5
1.5
1
1
0.5
0.5
0
0
−0.5
−0.5
−1
−1
−1.5
−3
−2
−1
0
1
2
3
suma czesciowa szeregu Fouriera tego sygnalu
ilosc skladnikow N=10
−1.5
−3
−2
−1
0
1
2
3
suma czesciowa szeregu Fouriera tego sygnalu
ilosc skladnikow N=100
6
T
T 
nπt −t cos
+
nπ
T
0
ZT
0

nπt
cos
dt =
T