1 Liczby zespolone 2 Podstawowe struktury algebraiczne

1
Liczby zespolone
Zadanie 1.1. Znaleźć część rzeczywistą i urojoną oraz obliczyć moduł i sprzężenie liczb zespolonych:
√
a. z = (1 + 3i)(−2 − i) = 1 − 7i ⇒ Re z = 1, Im z = −7, |z| = 5 2, z̄ = 1 + 7i,
b. z =
2−3i
3−2i
c. z =
(2+4i)(1−i)
2+i
=
12
13
5
− i 13
=
14
5
⇒
− i 25
5
5
Im z = − 13
, |z| = 1, z̄ = 12
+ i 13
,
13
√
2
Re z = 14
,
Im
z
=
−
,
|z|
=
2
+ i 25 .
2, z̄ = 14
5
5
5
Re z =
⇒
12
,
13
Zadanie 1.2. Przedstawić w postaci trygonometrycznej:
√
a. −2 3 + 2i = 4 · cos( 56 π) + i sin( 65 π) ,
√
b. −1 + i = 2 · cos( 34 π) + i sin( 43 π) .
√
25
Zadanie 1.3. Obliczyć: (1 − i 3)25 = 2 · cos( 53 π) + i sin( 53 π)
=
√
25·5
25·5
5
5
25
25
25
= 2 · cos( 3 π) + i sin( 3 π) = 2 · cos( 3 π) + i sin( 3 π) = 2 · (1 − i 3).
Zadanie 1.4. Obliczyć wszystkie pierwiastki zespolone stopnia 8 z jedynki.
ω0 = cos 0 + i sin 0 = 1
ω1
ω2
ω3
ω4
ω5
ω6
ω7
2
√
√
π
π
2
2
= cos + i sin =
+i
4
4
2
2
π
π
= cos + i sin = i
2
2
√
√
3π
3π
2
2
= cos
+ i sin
=−
+i
4
4
2
2
= cos π + i sin π = −1
√
√
5π
5π
2
2
= cos
+ i sin
=−
−i
4
4
2
2
3π
3π
= cos
+ i sin
= −i
2
2
√
√
7π
7π
2
2
= cos
+ i sin
=
−i
4
4
2
2
Podstawowe struktury algebraiczne
Zadanie 2.1. Czy zbiór (A, ◦) jest grupą?
a. a ◦ b = a + b2 , a, b ∈ A, gdzie A = Z,
Nie jest grupą, bo działanie nie jest łączne. Istotnie: niech a, b, c ∈ A.
Wówczas a ◦ (b ◦ c) = a ◦ (b + c2 ) = a + (b + c2 )2 = a + b2 + 2bc2 + c4 .
Natomiast (a ◦ b) ◦ c = (a + b2 ) ◦ c = a + b2 + c2 . Zatem a ◦ (b ◦ c) 6= (a ◦ b) ◦ c.
b. a ◦ b = a + b + 1, a, b ∈ A, gdzie A = Z,
Jest grupą. Zadanie rozwiązuje się analogicznie do zadania: 2.12 e.
1
c. a ◦ b = 5log5 a log5 b , a, b ∈ A, gdzie A = R+
Nie jest grupą. Zadanie rozwiązuje się analogicznie do zadania: 2.12 g.
Zadanie 2.2. Wykonaj następujące działania:
a. 2 − 3 + 2−1 + 5−1 = 2 − 3 + 4 + 3 = 6 w ciele Z7 ,
b. 7−1 − 3−1 − 5 +
3
3
2
= 8 − 4 − 5 + 3 · 6 = 6 w ciele Z11 .
Permutacje
Zadanie 3.1. Rozwiąż równanie w Sn , a następnie przedstaw permutację x w postaci iloczynu
transpozycji i określ jej znak (parzystość):
a. (1, 5, 6, 9, 7)x(2, 3, 9) = (4, 7, 2, 5), gdzie n = 9,
x = (1, 7, 2, 6, 5, 4, 9, 3) = (1, 3)(1, 9)(1, 4)(1, 5)(1, 6)(1, 2)(1, 7) ⇒
−1 (permutacja nieparzysta)
1 2 3 4 5 6 7
1 2 3 4 5 6 7
b.
x=
, gdzie n = 7,
6 4 2 3 7 5 1
2 4 6 3 1 7 5
1 2 3 4 5 6 7
x=
= (1, 3)(5, 7, 6) = (1, 3)(5, 6)(5, 7) ⇒
3 2 1 4 7 5 6
−1 (permutacja nieparzysta)
4
sgn x = (−1)7 =
sgn x = (−1)3 =
Pierścień wielomianów i inne
Zadanie 4.1. Wykonaj następujące dzielenia z resztą:
a. 2x5 + x3 − 5x + 3 przez x3 + 3x − 4 w Z[x],
(2x2 − 5)(x3 + 3x − 4) + 8x2 + 10x − 17 = 2x5 + x3 − 5x + 3
b. 6x7 − 5x6 + x2 − x + 3 przez x2 − 2x + 3 w Z[x],
(x2 − 2x + 3)(6x5 + 7x4 − 4x3 − 29x2 − 46x − 4) + 129x + 15 = 6x7 − 5x6 + x2 − x + 3
c. x6 + x4 + x + 1 przez x2 + 1 w Z2 [x],
x4 (x2 + 1) + x + 1 = x6 + x4 + x + 1.
Zadanie 4.2. Przy pomocy algorytmu Euklidesa wyznacz: (150, 435) = 15, (1542, 999, 639) =
(1542, (999, 639)) = (1542, 9) = 3.
5
Macierze
Zadanie 5.1. Niech:


2i
2
3
−1
A = 3 + i , B =
,
−3 1
4
0

3 −1 3
0
C= 0
0 4
2 ,
−2
3 0 −1

2
D = 1 −1 2 .
Obliczyć:
AA∗ ,
A∗ A,
BDT ,
BC,
DC,
DA.

4
2 + 6i 0
AA∗ = 2 − 6i
10
0
0
0
0
A∗ A = 14
−3
T
BD =
4
8 −5 18
7
BC =
−17 15 −5 −2
DC = −1 5 −1 −4
DA = −3 + i

Zadanie 5.2. Znaleźć postacie zredukowane i rzędy następujących macierzy:


3 2 1 0 −2
a. A = −2 1 0 0
2 , rz A = 3,
0 2 1 0 −3


4
2
1 0 2
1 −1
1
0 −1 0 0
2
1




b. B = 0 −1 −1 0 2
1
2 , rz B = 5.


0
0
0 0 2 −4
6
0
2
0 1 3 −2
1
Warto powtórzyć sobie teorię, co to jest macierz hermitowsko-sprzężona do
danej macierzy, jak wygląda wzór Moivre’a, kiedy macierze można ze sobą mnożyć,
kiedy doadać i inne podstawowe definicje/twierdzenia.
3