(a + b) = a

Dr Edward Zych
Białystok
Geometryzacja arytmetyki i algebry
w szkolnym nauczaniu matematyki
Uwagi wstępne
Rene Descartes w pracy pt. „Geometria” wydanej w 1637 roku
zaprezentował udaną próbą interpretacji pojęć i faktów
geometrycznych w arytmetyce i algebrze. Sukces ten
zapoczątkował serię prac, którym potem nadano nazwę „geometria
analityczna”. „Geometria liczb” opracowana przez H.
Minkowskiego w XIX stuleciu była dalszym krokiem na tej
drodze. Istotne osiągnięcia w interpretacji jednych teorii w innych
nasunęły przypuszczenie, że metodę tę warto wykorzystywać w
nauczaniu szkolnym, zwłaszcza że taki zabieg może sprzyjać
zrozumieniu zasad i reguł matematycznych. Na porządku
dziennym pojawiała się więc potrzeba szukania „izomorfizmów”
między opracowywanymi w szkole pojęciami i regułami, a
pojęciami i faktami wykorzystywanymi po części jako rekwizyty
dydaktyczne. Wtedy okazało się, że w praktyce nauczania
matematyki w szkole taką rolę może pełnić „geometryzacja”, czyli
ilustrowanie faktów z różnych dziedzin matematyki poprzez
odwoływanie się do języka geometrii. Ilustrowanie jest traktowane
prawie zawsze jako „poglądowe” uzasadnienie tego, że
analizowane pojęcia, czy fakty mają realizację. Ale w nauczaniu
matematyki w szkole chodzi o to, żeby ilustracja geometryczna
była swoistym, wzajemnie jednoznacznym „tłumaczeniem” pojęć i
faktów z jednej dziedziny na język drugiej, bardziej „poglądowej”.
Tak rozumiana realizacja geometryczna zyskała wysoką rangę i
dopiero wtedy zaczęto nazywać ją geometryzacją.
2
UWAGI WSTĘPNE
Geometryzacja, rozumiana jako jednoznaczne „tłumaczenie” z
języka pewnej teorii matematycznej na język geometrii była
traktowana wówczas jako zbiór procedur wykonawczych, w tym
głównie dotyczących nauczania matematyki w szkole. W naszym
komunikacie zamierzamy zaprezentować przykłady świadczące o
korzyściach, jakie mogą mieć uczniowie, gdy nauczyciel
matematyki zechce na swoich lekcjach wykorzystywać tak
ilustrację, jak i geometryzację w wyżej zarysowanym sensie.
Naszą uwagę skoncentrujemy na pięciu zagadnieniach:
1) na geometrycznej analizie liczb,
2) na zaprezentowaniu urządzeń i rekwizytów realizujących
ideę geometryzacji arytmetyki,
3) na przykładach wykorzystywania geometryzacji
realizacji wybranych zagadnień z algebry szkolnej,
przy
4) na
wykorzystywaniu
geometryzacji
w
procesie
poszukiwania pierwiastników, a szczególnie przy
rozwiązywaniu równań kwadratowych,
5) na roli geometrycznej ilustracji wykorzystywanej w procesie
rozwiązywania zadań szkolnych.
Myślą przewodnią naszej prezentacji będzie próba odpowiedzi
na pytanie; na ile geometryzacja, traktowana jako pewna procedura
dydaktyczna odwołująca się do „poglądowych” lub jak kto woli
„interaktywnych” metod prezentowania zagadnień omawianych na
lekcjach matematyki, może przybliżyć ideę zaktywizowania
uczniów w procesie poznawania istoty matematyki, tego od
zawsze podstawowego przedmiotu w edukacji szkolnej.
1. Geometryczna analiza liczb
3
1. Geometryczna analiza liczb
Najbardziej rozpowszechnionym, a zapoczątkowanym przez
Kartezjusza, sposobem interpretowania liczby 1 jest odcinek
jednostkowy. Liczbę a interpretujemy wówczas jako odcinek a
razy dłuższy od 1. Sumę liczb a i b interpretujemy jako odcinek,
którego długość jest równa sumie długości odcinków a i b. Wtedy
iloczynem dwóch liczb jest prostokąt o wymiarach będących tymi
liczbami, a iloczynem trzech liczb prostopadłościan, w którym te
liczby są wymiarami. I wtedy mamy do czynienia z ilustracją
geometryczną, bo taka interpretacja odwołuje się do różnych
rodzajów
jedynki
(np.
liniowej,
dwuwymiarowej
i
trójwymiarowej). Natomiast bardziej odpowiednią byłaby taką
ilustracja geometryczna, która zapewniałaby jednoznaczność
interpretacji pojęć i faktów w języku geometrii.
Kierując się tym wymogiem C. Cuisinere wspólnie z C.
Gategno w pracy [1] zaproponowali, aby liczby identyfikować z
prostopadłościanami o przekroju kwadratowym. Klocki Cuisiner’a,
bo tak powszechnie są nazywane prostopadłościany opisane w tej
pracy, są dobrze znane tym z Państwa, którzy pracowali z
uczniami klas początkowych. A to dlatego, że na tym etapie
nauczania klocki Cuisiner’a są wykorzystywane jako rekwizyty
służące do usprawniania liczenia, w tym wykonywania działań na
liczbach w aspekcie usprawnienia poszukiwania wyników. Jest to
typowe ilustrowanie arytmetyki przez obiekty geometryczne.
Natomiast z geometryzacją będziemy mieli do czynienia wówczas,
gdy klocki zostaną wykorzystane do (ewentualnie samodzielnego)
„odkrycia” przez dzieci własności działań, w tym przemienności i
łączności dodawania, jak też rozdzielności mnożenia względem
dodawania, a więc do uzasadnienia nieznanych dzieciom faktów
arytmetycznych. A klocki, jako obiekty geometryczne, będą
4
1. GEOMETRYCZNA ANALIZA LICZB
jedynie wspomagać proces poznawczy, a jednocześnie będą
służyły do tego co jest istotą całej matematyki, do
„abstrachowania” od wyniku liczbowego, z jednoczesną
ekspozycją
operacji
wykonywanych
na
rekwizytach
geometrycznych, które „reprezentują” określone treści, a które
potem trzeba po deinterpretacji wyrazić w języku zasad i reguł
interpretowanej teorii.
Pamiętając o jednoznaczności interpretacji możemy
prostopadłościany zastąpić odcinkami. A jeszcze lepiej byłoby,
gdyby w procesie ilustracji geometrycznej zachowany został
„izomorfizm” między nie tylko liczbami i odcinkami, ale między
całymi strukturami, np. R  oraz G  , gdzie:
R  = {R, +, „∙”, a , <}, gdzie R – zbiór liczb rzeczywistych z
dodawaniem, mnożeniem, pierwiastkowaniem i relacją
mniejszości oraz
G  = {G, +, „”, , <}, gdzie G – zbiór wszystkich odcinków
z
dodawaniem
odcinków,
mnożeniem
odcinków,
pierwiastkowaniem odcinków i relacją mniejszości odcinków.
W dalszej części pokażemy przykłady świadczące o tym, że
struktury tak określone są właściwie „izomorficzne”.
Obecnie zwrócimy uwagę jedynie na to, że istotą
geometryzacji jest; po pierwsze – translacja (możliwie
jednoznaczna) rozważanego zadania na język geometrii; po drugie
– koncentracja uwagi na wyborze odpowiednich operacji
możliwych do wykonania na odpowiednio dobranych rekwizytach
geometrycznych, traktowanych jako środki dydaktyczne
wspomagające koncentrację uwagi i „abstrahowanie” od wyników
liczbowych, po trzecie – na „tłumaczeniu” otrzymanych
rezultatów na inny język, np. arytmetyki, algebry lub jeszcze inny.
2. Rekwizyty realizujące geometryzację
5
2. Rekwizyty realizujące geometryzację arytmetyki
Prostym w konstrukcji i obsłudze rekwizytem realizującym
geometryzację arytmetyki jest suwak arytmetyczny, w którym
wykorzystano dwie osie liczbowe oraz możliwość przemieszczanie
jednej z nich w stosunku do drugiej (rys, 1).
-4
-3
-2
-4
-3
-2
-1
-1
0
1
2
3
4
5
0
1
2
3
4
5
rys. 1
Suwak posiada dwie skale, jedną na podstawie – w części
nieruchomej, drugą na przesuwce – w części ruchomej. Są to dwie
osie liczbowe, na których liczby, mogą być interpretowane jako
kierunki i długości wektorów zaczepionych w punkcie 0.
Przesuwając jedną skalę względem drugiej w prawo będziemy
realizować dodawanie wektorów, a tym samym dodawanie
odpowiadających im liczb, a przesuwając w lewo zrealizujemy
odejmowanie wektorów, a tym samym odejmowanie
odpowiadających im liczb. Wykonując dodawanie np. 2 + 3 należy
do wektora o długości 2 dodać wektor o długości 3 i pod końcem
tego ostatniego odczytać wynik. Przy odejmowaniu należy na
odjemną „nałożyć” odjemnik (czyli zrównać końce) i pod
początkiem odjemnika odczytać wynik. Nie trudno zauważyć, że
suwak ma przewagę nad zwykłym odejmowaniem wektorów
zaczepionych, bo pozwala na wykonanie takiego odejmowania, w
którym odjemnik jest większy od odjemnej. Jeśli ten fakt zostanie
wyeksponowany, to uczniowie będą mogli samodzielnie
stwierdzić, że obok liczb dodatnich istnieją liczby ujemne, a także
jak
interpretować
te
liczby.
Przy
czym
istnieje
prawdopodobieństwo, że posługując się suwakiem sami stwierdzą,
że odejmowanie liczb nie jest działaniem jednoznacznym, gdyż ten
6
2. Rekwizyty realizujące geometryzację
sam wynik można otrzymać na wiele sposobów. Suwak
arytmetyczny jako rekwizyt dydaktyczny jest szczególnie
potrzebny do argumentowania, a potem do ugruntowania reguł
wykonywania działań na liczbach ujemnych, jak również takich
zasad jak przemienność lub łączność dodawania, a nawet
rozdzielność mnożenia względem dodawania.
Wręcz narzucające jest wykorzystanie suwaka do uzasadnienia
własności relacji nierówności między liczbami (odcinkami), czyli
tego, że jeśli do nie równych liczb (odcinków) dodamy te samą
liczbę to nierówność zostanie zachowana, jak też i tego, że dodając
nie równe liczby do równych otrzymane wyniki nie będą już
równe. Przy czym w rozważaniach tych najistotniejsze jest to, że
uczniowie przy wnioskowaniu odwołują się nie tyle do przykładów
liczbowych, ale właśnie do liczb dowolnych prezentowanych na
skalach suwaka. W każdym przypadku możemy mówić „weźmy
dowolne dwie, trzy lub nawet większą ilość liczb”, przy czym nie
musimy, a nawet nie powinniśmy, odwoływać się do ich wartości,
a jedynie do ich interpretacji geometrycznej.
Rekwizytem, który realizuje „geometryzację” mnożenia i
dzielenia liczb rzeczywistych dodatnich jest rysunek odwołujący
się do Talesa. Odkładając na jednym ramieniu kąta ostrego
odcinek jednostkowy i dowolny odcinek o długości a, a na drugim
dowolny odcinek o długości b oraz prowadząc przez ich końce
proste równoległe (rys.2), wyznaczymy odcinek o długości x,
który będzie iloczynem odcinków o długości a i b (przy danej
jednostce). Rysunek 3 pokazuje, jak zgeometryzować dzielenie
dowolnych liczb rzeczywistych dodatnich (przy danej jednostce).
1
1
x
a
rys. 2
a
b
x
b
rys. 3
7
2. Rekwizyty realizujące geometryzację
Geometryzację
możemy
także
wykorzystać
przy
pierwiastkowaniu liczb rzeczywistych dodatnich (przy danej
jednostce). Wystarczy zauważyć, że wysokość w trójkącie
prostokątnym jest średnią geometryczną z długości odcinków, na
które dzieli przeciwprostokątną, co pokazuje rys. 4. (Uzasadnieniem
jest to, że ∆ADC  ∆BDC, a stąd mamy:
C
| AD | | DC |

 | DC  | AD || DB | ).
| DC | | BD |
Jeśli przyjmiemy, że p – to dowolna
liczba rzeczywista nie ujemną, a q –
pq
to jednostka, to wówczas odcinek
A
B
q D
CD będzie pierwiastkiem z liczby p
p
rys. 4
przy jednostce q, a rysunek 4 będzie
geometrycznym rekwizytem pierwiastkowania.
Uczniowie zaintrygowani tym, że interpretacja geometryczna
pozwala na poglądowe traktowanie zasad i reguł matematycznych
mogą postawić pytanie, np. czy potęgowanie ma również
interpretację w geometrii?
Nauczyciel, zamiast odpowiedzi może pokazać pytającym
rekwizyt (czy też slajd) pokazany na rysunku 5, tj. ciąg trójkątów
prostokątnych, w których wysokości
F
są kolejnymi potęgami pewnej
liczby rzeczywistej dodatniej. Taki
ciąg trójkątów oznacza, że istnieje
geometryczny rekwizyt realizujący
a5
potęgowanie liczb rzeczywistych
B
dodatnich. A to dlatego, że:
|OB.| = 1  a 2  a ;
C
a
a2
|CO| = a  a 3  a 2
O
|DO| = a 2  a 4  a 3
a3
1
|OE| = a 3  a 5  a 4 .
rys. 5
D
a4
A
E
8
3. Rekwizyty realizujące geometryzację algebry
Rysunek ten, przy odpowiedniej interpretacji, można także
traktować jako rekwizyt realizujący pierwiastkowanie liczb
rzeczywistych dodatnich.
Jest jeszcze jeden rekwizyt, który został skonstruowany w
1634 roku, a jego istotą jest realizacja arytmetyki z
wykorzystaniem geometrii. Rekwizyt ten to suwak logarytmiczny
będący jeszcze w latach 80-tych XX wieku atrybutem
wykształcenia technicznego.
Jeśli uczniowie nauczą się posługiwać suwakiem
arytmetycznym, a jednocześnie będą sprawnie operowali
geometryczną interpretacją swoich operacji, to możemy im
pokazać bardziej zaawansowana technicznie, niegdyś powszechnie
stosowaną ilustrację geometryczną mnożenia, dzielenia, jak
również podnoszenia do kwadratu i sześcianu oraz wyciągania
pierwiastków kwadratowych i sześciennych z liczb rzeczywistych
dodatnich. Wykorzystywanie tego rekwizytu w nauczaniu
szkolnym nie powinno się bynajmniej sprowadzać do
usprawnienia wykonywanych czynności rachunkowych. Natomiast
nauczyciel mógłby, wręczając ten rekwizyt, zachęcić uczniów do
„wykrycia” zasad, na których opiera się jego funkcjonowanie.
Wówczas uczniowie mogliby, w miarę samodzielnie, jedynie przy
pewnej sugestii ze strony nauczyciela, „wyszukać” skale, które są
tam zainstalowane, a potem ich użyteczność przy wykonywaniu,
mnożenia, dzielenia, podnoszenia do kwadratu, podnoszenia do
sześcianu oraz przy wyszukiwaniu pierwiastków kwadratowych i
sześciennych z liczb rzeczywistych dodatnich.
9
3. Rekwizyty realizujące geometryzację algebry
3. Rekwizyty realizujące geometryzację algebry
Przy mnożeniu wielomianu przez jednomian możemy
skorzystać z tego, że pole prostokąta realizuje mnożenie nie tylko
liczb, ale także i wyrażeń algebraicznych. Ilustracją byłby
wówczas rys. 6. Uczniowie dysponując takim rekwizytem
(planszą, slajdem) mogą bez ingerencji nauczyciela stwierdzić, że
pole prostokąta ABCD pokazanego na rys. 6 można obliczyć
dwoma sposobami, co mogą zaprezentować zapisem:
PABCD = h(a + b + c),
drugi z kolei zapiszą:
D
h
C
ah
bh
a
b
ch
PABCD = ah + bh + ch.
Oczywisty wniosek zapiszą:
h(a + b + c) = ah + bh + ch,
A
c
B
rys. 6
gdzie a, b, c, h to dowolne wyrażenia. Słowny opis reguły byłby
C
D
potwierdzeniem sukcesu.
ay
by
cy
Skutki tego doświadczenia y
powinny zaowocować przy x
ax
bx
cx
omawianiu
mnożenia A
B
c
a
b
wielomianu przez wielomian.
Po zaanonsowaniu tematu
rys. 7
uczniowie powinni stwierdzić, że tym razem prostokąt ABCD
należy podzielić tak, jak pokazuje rys. 7. Wówczas pole tego
prostokąta można będzie obliczyć także dwoma sposobami:
(I sposób):
PABCD = (x + y)(a + b + c),
(II sposób):
PABCD = ax + bx + cx + ay + by + cy.
Oczywisty wniosek mogą zapisać w postaci równania:
(x + y)(a + b + c) = ax + bx + cx + ay + by + cy.
Opis słowny reguły nie powinien nastręczyć większych trudności.
10
3. Rekwizyty realizujące geometryzację algebry
Program nauczania algebry zobowiązuje nauczycieli do
opracowania z uczniami wzorów uproszczonego mnożenia, w tym
z wzoru na tzw. kwadrat sumy dwóch wyrażeń. Gdyby przy
realizacji tego tematu nauczyciel chciał skorzystać z interpretacji
geometrycznej powinien zaprezentować uczniom dwa przystające
kwadraty (rys. 6). Uczniowie dysponując takim rekwizytem muszą
zauważyć, że kwadraty ABCD oraz CDEF są przystające, a ich
pola są tożsamościowo równe.
C
F
D
2
Swoje spostrzeżenie mogą
ab
b
opisać równaniem (worem):
2
a2 + 2ab + b2 = (a + b)2,
albo też równaniem (wzorem):
2
2
A
2
a2
ab
a
b
(a + b)
B
E
a+b
(a + b) = a + 2ab + b ,
gdzie a, jak też b to dowolne
rys. 8
wyrażenia. Oczywisty wniosek powinni zapisać w postaci opisu
słownego. Przy okazji mogliby zauważyć, że te równości to wynik
czytania rysunku z lewa w prawo, albo z prawa w lewo.
Rekwizytem, który można wykorzystać przy szukaniu wzoru
na kwadrat różnicy dwóch wyrażeń może być zestaw figur
pokazany na rysunku 9. Prezentując ten rysunek możemy uczniom
polecić, aby policzyli pole kwadratu ABCD, w tym dwoma
sposobami.
a
D b
C
Uczniowie licząc pole kwadratu
ab
b
ABCD I - szym sposobem otrzymają :
PABCD = (a + b)2.
a ab
(a b)2
A licząc II - gim otrzymają:
ab
a
2
PABCD = (a – b) + 4ab.
Porównując prawe strony oraz
ab
b
przekształcając otrzymają:
B
A
a
b
(a – b) + 4ab = (a + b) .
rys. 9
2
2
2
2
(a – b) = (a + b) – 4ab = a + 2ab + b – 4ab = a2 – 2ab + b2.
2
2
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2.
11
3. Rekwizyty realizujące geometryzację algebry
Rekwizyt, który warto wykorzystać, gdy szukamy wzoru na
różnicę kwadratów dwóch
wyrażeń jest pokazany na x
bx
x2
rysunku 10. Dysponując
2
takim rysunkiem możemy
a
a
2
b
uczniom
polecić,
aby b
bx
policzyli
pole
lewego
kwadratu i przyrównali do
pola prawego kwadratu.
rys. 10.
Sugestie te, rysunek 10 oraz poprzednie doświadczenia
powinny spowodować, że uczniowie sami stwierdzą, iż:
a) b + x = a  x = a – b,
b) b2 + x2 + 2bx = a2  x2 + 2bx = a2 – b2
Po podstawieniu otrzymają:
c) x(x + 2b) = a2 – b2  (a – b)(a + b) = a2 – b2.
(a – b)(a + b) = a2 – b2
Szukając wzoru na tzw. kwadrat różnicy dwóch wyrażeń
możemy zaprezentować uczniom zestaw figur pokazany na
rysunku 11. Jednocześnie możemy polecić, aby policzyli dwoma
sposobami pole kwadratu ABCD, w tym także z użyciem symboli
leżących wewnątrz tego kwadratu.
a
b
D
C
Uczniowie licząc pole kwadratu
ab
b
ABCD I - szym sposobem otrzymają :
PABCD = (a + b)2.
A licząc II - gim otrzymają:
PABCD = (a – b) + 4ab.
Porównując prawe strony otrzymają:
a
ab
(a b)2
ab
a
2
(a – b)2 + 4ab = (a + b)2.
Skąd po przekształceniu otrzymają:
b
A
ab
b
a
B
rys. 10
(a – b)2 = (a + b)2 – 4ab = a2 + 2ab + b2 – 4ab = a2 – 2ab + b2.
I ostatecznie będą mieli:
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2.
Gdzie a i b to dowolne wyrażenia, przy czym a > b
12
3. Rekwizyty realizujące geometryzację algebry
Uczniowie zachęceni sukcesami w „odkrywaniu” wzorów
skróconego mnożenia mogą zapytać, czy istnieje wzór na kwadrat
sumy trzech wyrażeń? Odpowiedzią powinno być pytanie; a wy
jak sądzicie? I wtedy mogłoby się zdarzyć, że ktoś z uczniów
domyśli się, iż rozstrzygnięcia należy szukać na rysunku. Trzeba
narysować dwa kwadraty D
C
F
przystające
(rys.12).
2
ac
c
bc
c
Jeden z nich trzeba
(a + b + c)2
podzielić na części tak, b
ab
b2 bc
aby ich pola można
policzyć,
a
pole
ab
ac
a2
a
drugiego
kwadratu
trzeba policzyć w A
E
a
c B
b
a
+
b
+
c
zależności od długości
krawędzi.
rys. 11
Sugestia ta powinna spowodować, że uczniowie opiszą
symbolami swoje spostrzeżenie, czyli po pierwsze, napiszą, że:
PCDEF = (a + b + c)2,
po drugie, że:
PABCD = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac.
Po czym zapiszą oczywisty wniosek:
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac.
gdzie symbole a, b, c, to dowolne wyrażenia. Opis słowny tego
wyrażenia będzie ukoronowaniem ich pracy.
Po takim sukcesie w „odkrywaniu” wzorów skróconego
mnożenia uczniowie mogą pytać dalej np., co zrobić, żeby
„odkryć” wzór na sześcian sumy dwu wyrażeń? Zamiast udzielić
odpowiedzi na bardzo budujące pytanie, możemy pokazać
uczniom planszę (rys. 12 lub slajd) przedstawiającą sześcian o
krawędzi a + b, który został podzielony trzema płaszczyznami
równoległymi do trzech różnych ścian.
13
3. Rekwizyty realizujące geometryzację algebry
a
b
b
a
b
ab2
2
ab
b
b3
ab2
a
ab2
2
ab
a
b
a
a2 b
a3
a+b
rys. 12
rys. 13
Jeszcze lepiej byłby, gdybyśmy mogli uczniom pokazać model
przestrzenny. Wówczas moglibyśmy sugerować, żeby uczniowie
rozłożyli model sześcianu na części pokazane na rysunku 13 oraz
żeby policzyli objętość dwoma sposobami. Okazałoby się, że
krawędź sześcianu ma długość a + b. A wobec tego objętość tego
sześcianu wynosi: (a + b)3. Z drugiej strony sześcian ten składa się
z sześcianu o krawędzi a, którego objętość wynosi a3, z sześcianu
o krawędzi b i objętości b3, z trzech prostopadłościanów o
objętości a2b i z trzech prostopadłościanów o objętości ab2. Co w
końcu musiałoby doprowadzić uczniów do wniosku, że ich
ustalenia dotyczące objętości można opisać w ten sposób:
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
Gdzie a i b to dowolne wyrażenia.
Po słownym opisie wzoru uczniowie mogą pytać dalej np., czy
w ten sam sposób można „odkryć” wzór na sześcian różnicy dwu
wyrażeń? Zamiast odpowiedzi pokazujemy uczniom planszę
(slajd) przedstawiającą sześcian o krawędzi a, w którym
poprowadzono trzy płaszczyzny równoległe do trzech różnych
ścian (rys. 14). A ponadto możemy polecić im, aby znowu dwoma
sposobami policzyli objętość sześcianu i zapisali swoje ustalenia
symbolami.
14
3. Rekwizyty realizujące geometryzację algebry
x
b
b
x
b
xb2
2
xb
b
x
2
xb
x
a
b3
xb2
x3
xb2
x2b
a
rys. 14
rys. 15
Gdyby uczniowie dysponowali modelem przestrzennym
(rys,14), to rozłożyliby model sześcianu na części pokazane na
rysunku 15. I wtedy ustaliliby, że objętość całego sześcianu
wynosi a3. A z drugiej strony sześcian ten składa się z sześcianu o
krawędzi b, którego objętość wynosi b3, z sześcianu o krawędzi x i
objętości x3, z trzech prostopadłościanów o objętości x2b i z trzech
prostopadłościanów o objętości xb2, oraz że x = a – b i a > b.
Nie mieliby też wątpliwości, że:
x3 + 3x2b + 3xb2 + b3 = a3  x3 = a3 – 3x2b – 3xb2 – b3
Podstawiając w miejsce x jego wartość (a – b) otrzymaliby:
(a – b)3 = a3 – 3(a – b)2b – 3(a – b)b2 – b3
A po uproszczeniu otrzymaliby wynik ostateczny:
(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3
Gdzie a i b to dowolne wyrażenia, przy czym a > b.
Po słownym opisie wzoru uczniowie mogą pytać dalej np., czy
w ten sam sposób można „odkryć” inne wzory, np. na sumę
sześcianów, różnicę sześcianów?
Zamiast odpowiedzi pokazujemy uczniom planszę (rys. 16 lub
slajd) przedstawiającą sześcian o krawędzi a, który podzielono na
5 części. Uczniom polecamy, aby dwoma sposobami policzyli
objętość sześcianu i zapisali swoje ustalenia symbolami.
15
3. Rekwizyty realizujące geometryzację algebry
abx
x
abx
abx
x3
x3
b
b
b3
b
abx
a
3
abx
a3
abx
a
rys. 16
Gdyby uczniowie dysponowali modelem przestrzennym
(rys.16), to ustaliliby, że objętość dużego sześcianu wynosi a3. A z
drugiej strony sześcian ten składa się z sześcianu o krawędzi b i
objętości b3, z sześcianu o krawędzi x i objętości x3 oraz z trzech
prostopadłościanów o objętości abx każdy, przy czym x = a – b.
Swoje ustalenia z pewnością wyraziliby w ten sposób:
b + x = a  x = a  b, gdzie b < a.
Stwierdziliby też, że objętości muszą być równe, czyli:
x3 + 3abx + b3 = a3,
a stąd po przekształceniach otrzymaliby równanie:
x3 + 3abx = a3 – b3  a3 – b3 = x(x2 + 3ab).
Po wstawieniu w miejsce x jego wartości otrzymaliby:
a3 – b3 = (a – b)[(a – b)2 + 3ab] = (a – b)(a2 + ab + b2).
Otrzymany wynik mogliby zapisać jako ostateczny:
a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2).
Gdzie a i b to dowolne wyrażenia, przy czym a > b.
A wzór na sumę sześcianów, jak wiadomo, jest konsekwencją
wzoru na sześcian sumy dwóch wyrazów, bo z tego wzoru, czyli:
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
Odwołując się do przekształceń poprzednich, można otrzymać:
a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b) =
= (a + b)[(a + b)2 – 3ab] = (a + b)(a2 – ab + b2).
Otrzymamy wynik (ostateczny), który nas interesuje:
a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2).
Gdzie a i b to dowolne wyrażenia.
16
4. Geometryzacja a rozwiązywanie równao
4. Geometryzacja a rozwiązywanie równań
algebraicznych
Program nauczania algebry zobowiązuje nauczycieli do
zapoznania uczniów z metodami rozwiązywania równań
kwadratowych. Rozsądny nauczyciel rozpoczyna realizację tego
tematu od rozwiązania równania
postaci; x2 = m. Przy realizacji tego
|h| = ab
tematu prezentuje uczniom rys. 17, a
przy okazji wyjaśnia, że h 2  | h | .
a
b
Uczniom sugeruje, żeby zapamiętali, że
rys. 17
długość wysokości w trójkącie prostokątnym jest średnią
geometryczną z długości odcinków, na które ta wysokość dzieli
przeciwprostokątną. Zwraca też uwagę na to, że jeśli b = 1, to
wtedy |h| = a . Dopiero teraz poleca uczniom, aby przystąpili do
rozwiązania równania postaci:
x2 = m,
C
gdzie m jest liczbą dodatnią.
|x| = 1  m
Wówczas uczniowie muszą
zauważyć,
że
geometrycznym
B
A
m
1 D
rozwiązaniem tego równania jest
odcinek CD pokazany na rysunku 18
rys. 18
oraz odcinek ‘przeciwny” – leżący po drugiej stronie odcinka AB.
W ten sposób uczniowie ustalą, że jeśli m > 0, to równanie ma
dwa pierwiastki rzeczywiste, co mogą zapisać: x1/2 =  m .
Zauważyć powinni także, iż przybliżoną wartość pierwiastków z
liczb można ustalić geometrycznie. Wystarczy, aby rysunek był
wykonany na papierze milimetrowym. Jednocześnie powinni
zauważyć, że gdyby m < 0, to równanie nie miałoby pierwiastków.
17
4. Geometryzacja a rozwiązywanie równao
Po takim sukcesie uczniowie mogą zapytać, czy tym sposobem
można rozwiązywać inne równania drugiego stopnia?
Odpowiedzią może być polecenie, aby stosując poprzednie
C
pomysły rozwiązali równanie postaci:
(x + n)2 = m.
|x + n| = m
Uczniowie mogą zaproponować
rozwiązanie pokazane na rys. 19,
z którego wynika, że równanie ma
dwa pierwiastki, co mogą zapisać:
A
1 D
B
m
rys. 19
x1/2 = –n  m , gdzie m >0.
Teraz z kolei może się zdarzyć, że uczniowie zapytają; czy
równanie, które ma postać:
x2 + px + q = 0,
też można rozwiązać taką metodą?
Nauczyciel w odpowiedzi może zasugerować uczniom, aby
swoje równanie tak przekształcili, aby w efekcie otrzymali
równanie takiej postaci, jak poprzednio rozważana, czyli żeby
napisali:
p
2
x2 + px + q = 0  x2 + 2 x + q = 0 
 x +
2
p
22x
+
p2
4
 (x
p2
+q = 4  x2
p2
p 2
+ 2 ) = 4 – q.
Otrzymane równanie można
już rozwiązać geometrycznie.
Wówczas rozwiązanie będzie
wyglądało tak, jak to przedstawia
rysunek 20. z którego wynika, że A
równanie ma dwa pierwiastki,
co uczniowie mogą zapisać:
+
p
22x
p2
4
+
=
p2
4
C
|x +
1
D
p
|=1
2
2
1
( p2
4
 4q )
rys. 20
p 1

p 2  4q , gdzie p 2  4q >0.
2 2
I to jest rozwiązanie zadania.
x1/2 = –
–q 
p 2  4q
B
18
4. Geometryzacja a rozwiązywanie równao
Jeśli
nauczyciel
chciałby
podtrzymywać
aktywność
matematyczną swoich uczniów, to powinien im sugerować, aby
rozważyli możliwość wyznaczenia takich samych pierwiastników
(wzorów na pierwiastki) dla równania typu:
ax2 + bx + c = 0, gdzie a, b, c, x  R i a  0.
Uczniowie, którzy aktywnie uczestniczą w procesie poznawczym
spostrzegą, że równanie to jest równoważne z równaniem:
x2 + b x +
a
c
a
= 0,
które jest wówczas tego samego typu co równanie poprzednie.
Wystarczy zatem w poprzednim wzorze podstawić p =
oraz q =
c
,
a
a także uwzględnić to, że
a2
b
a
= |a|, aby otrzymać
szukane pierwiastniki, czyli wory na pierwiastki równania
kwadratowego w ogólnej postaci:
b 2 4c b



2
 b 2  4ac  b
a
a
a
x1/2 =
.

2
2a
Pisząc to w prostszej postaci otrzymali by poszukiwany wzór.
 b  b 2  4ac
x1/2 = 
, gdzie b2 – 4ac  0
2a
19
5. Interpretacja geometryczna jako metoda rozwiązywania zadao
5. Interpretacja geometryczna jako metoda
wspomagająca rozwiązywanie zadań szkolnych
Prezentowane dotychczas przykłady stosowania geometryzacji,
a w szczególności do rozwiązywania równań kwadratowych, mogą
prowadzić do wniosku, że proponowane rozwiązania to szukanie
rekwizytów geometrycznych pozwalających na wizualizację
wybranych reguł lub zasad. Tymczasem nauczanie matematyki w
szkole sprowadza się nie rzadko do przygotowania uczniów do
tego, żeby mogli pomyślnie zdać egzamin końcowy. Ten fakt
prowadzi do pytania, na ile geometryzacja może wspierać proces
rozwiązywania zadań szkolnych.
Szukając odpowiedzi na to pytanie postaramy się
zaprezentować kilka przykładów, przy rozwiązywaniu których
geometryzacja jest wręcz niezbędna.
Przykład 1. Sformułuj i udowodnij twierdzenie Pitagorasa.
Jeśli nauczyciele chcieliby,
aby ich uczniowie nie
rezygnowali z rozwiązywania
takich zadań, to powinni
skierować uwagę swych
podopiecznych na możliwość
korzystania z interpretacji
geometrycznej. A do tego
wystarczy rysunek, plansza
lub slajd np. taki jak obok.
C
D
P∆
a2
P∆
A
F
c2
P∆
P∆
P∆
P∆
b2
P∆
B
P∆
E
rys. 21
Wówczas uczniowie, przy niewielkiej sugestii ze strony
nauczyciela, mogliby spostrzec, że kwadraty ABCD i CDEF są
przystające, a zatem ich pola są równe. Przy okazji powinni
stwierdzić, że trójkąty też są przystające. Gdyby te swoje
spostrzeżenia zapisali symbolami, to wtedy otrzymaliby:
a2 + b2 + 4P∆ = c2 + 4P∆  a2 + b2 = c2.
Opis słowny tego wyniku byłby rozwiązaniem zadania.
20
5. Interpretacja geometryczna jako metoda rozwiązywania zadao
Przykład 2. Udowodnij, że:
0,4 <
r
< 0,5,
hc
gdzie r –
długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny, hc –
wysokość w tym trójkącie wystawiona do przeciwprostokątnej.
Rozwiązanie
tego
zadania
wymaga
odwołania
się
do
rekwizytu, którym jest rysunek
pokazany obok. Wówczas, przy
nieznacznej sugestii ze strony
nauczyciela uczniowie powinni
spostrzec, że:
2r < hc ≤ r + r 2 
 0,41 ≤
r 2
hc
r
ry. 22
2 1 r
1
r
≤
< 0,5 
≤
< 0,5 
2 1
hc
hc
1 2
r
r
< 0,5  0,4 <
< 0,5.
hc
hc
c.n.d.
Przykład 3. Udowodnij, że objętość ostrosłupa jest trzy razy
mniejsza od objętości graniastosłupa o tej samej podstawie i
wysokości.
rys. 23
rys. 24
Uczniowie odwołując się do rekwizytu, którym może być
rysunek 23 pokazany obok, a jeszcze lepiej model przestrzenny
rys. 24. muszą zauważyć, że sześcian składa się z trzech
przystających ostrosłupów. Jeśli to spostrzeżenie opiszą
równaniem to będą mieli:
Vostroslupa = 13 Vsześcianu.
C. n. d.
21
5. Interpretacja geometryczna jako metoda rozwiązywania zadao
Przykład 4. Udowodnij, że:
½+¼+⅛+…+
1
n2
<1
Zadając takie zadanie możemy
skorzystać z tego, że jego treść
można zinterpretować przyjmując, iż
kwadrat o boku 1 ma pole równe 1.
Wówczas każdy wyraz szeregu ma
prostą interpretację geometryczną
pokazaną na rysunku 25. Uczniowie
posiłkując się rysunkiem otrzymają
odpowiedź.
dla każdego n є N.
¼
½
⅛
1
16
1
32
rys. 25
Przykład 5. Wykazać, że
objętość czworościanu foremnego
jest cztery razy mniejsza od
objętości ośmiościanu foremnego o
tej samej krawędzi.
Uczniowie odwołując się do
rekwizytu pokazanego na
rysunku 26 powinni zauważyć,
że jeśli kąt ostry rombu na
ścianie równoległościanu
ABCDA1B1C1D1 ma miarę 60,
rys. 26
to płaszczyzny ABA1 oraz BB1D1 dzielą równoległościan na dwa
czworościany foremne i ośmiościan foremny o tej samej krawędzi.
Wówczas objętość czworościanu jest sześć razy mniejsza od
objętości równoległościanu (dwa razy mniejsze pole podstawy i
trzy razy mniejsza objętość ze względu na to, że jest to ostrosłup).
A wobec tego objętość ośmiościanu jest równa cztery szóste
objętości równoległościanu. A to stanowi rozwiązanie zadania.
Przykład 6. Wykazać, że średnia geometryczna z dwu liczb
nieujemnych jest nie mniejsza do średniej arytmetycznej.
22
5. Interpretacja geometryczna jako metoda rozwiązywania zadao
Uczniowie odwołując się do
rekwizytu pokazanego na
rysunku 27 powinni zauważyć,
½(a + b)
ab
że wysokość w trójkącie
prostokątnym jest nie większa
a
b
od promienia okręgu opisanego
na tym trójkącie. A to jest
rys. 27
rozwiązaniem zadania, bo wysokość jest średnią geometryczną, a
promień okręgu opisanego na trójkącie średnia arytmetyczną z
długości odcinków, na jakie wysokość dzieli przeciwprostokątną.