Funkcje

Funkcje
A. Mróz
1. Naszkicuj wykresy poni»szych funkcji i opisz ich zbiory warto±ci.
(a)
f : R → R, f (x) = |x| + 3,
(b)
f : R → R, f (z) = |z + 1| + |z − 2|,
(c)
f : N → N, f (a) = 2,
(d)
f : [−3, 3] → R, f (x) = x2 − 1,
(e)
f : R → R, f (z) = [z],
(f )
f : R → R, f (q) = [sin q],
(g)
P : {−1, 1} → R, P (x) = x3 + 3,
(h)
f : R → R, f (x) = {x} = x − [x],
(i)
K : R → R, K(x) = sgn(x),
(j)
R : Z → Z, R(n) =
2. Niech
S = {1, 2, 3, 4, 5}.
n
reszta z dzielenia liczby
przez
3.
Rozwa»my nast¦puj¡ce funkcje ze zbioru
f (n) = 6 − n,
S
do
S:
h(n) = max{1, n − 1},
g(n) = max{3, n},
i(n) = n.
(a) Zapisz ka»d¡ z nich jako zbiór par uporz¡dkowanych.
(b) Sprawd¹, które s¡ ró»nowarto±ciowe, a które na.
3. Rozwa»my funkcje
f, g : Z → Z
zadane wzorami:
f (n) = n − 1,
g(n) =
1,
0,
gdy
gdy
n
n
jest liczb¡ parzyst¡,
jest liczb¡ nieparzyst¡.
(a) Oblicz
(g ◦ f )(4), (g ◦ f )(5), (f ◦ g)(6), (f ◦ g)(7).
(b) Oblicz
(f ◦ f )(11), (f ◦ f )(12), (g ◦ g)(11), (g ◦ g)(12).
(c) Wyznacz
(d) Poka», »e
g◦f
oraz
f ◦ f.
g ◦ g = g ◦ f.
(e) Poka», »e funkcja
f ◦g
4. Rozwa»my trzy funkcje
przyjmuje warto±ci przeciwne do
f, g, h : R → R
zadane wzorami:
f (x) = x3 − 4x,
Znajd¹ wzory na funkcje:
5. Rozwa»my funkcje
h(x) = x4 .
zadane wzorami:
f (n) = 2n,
(b) Poka», »e
g(x) = 2x ,
f ◦ g , g ◦ f , f ◦ h, h ◦ f , f ◦ g ◦ f , g ◦ h ◦ f .
f, g : N → N
(a) Zbadaj, czy funkcje
g ◦ f.
f, g
g ◦ f = IdN ,
g(n) =
gdy
gdy
n
n
jest liczb¡ parzyst¡,
jest liczb¡ nieparzyst¡.
s¡ ró»nowarto±ciowe i czy s¡ na.
ale
6. Rozwa»my nast¦puj¡ce funkcje
f ◦ g 6= IdN .
F : R 2 → R 2 , G : R3 → R2
F (x, y) = (x + y, x − y),
Wyznacz wzory na funkcje:
n
2,
n−1
2 ,
oraz
H : R2 → R
G(x, y, z) = (x + y, xz),
H ◦ F , F ◦ F , F ◦ G, H ◦ F ◦ G.
zadane wzorami:
H(x, y) = xy + 5.
7. Które z poni»szych funkcji s¡ ró»nowarto±ciowe, na, a które s¡ bijekcjami?
W przypadku funkcji
odwracalnych, znajd¹ funkcj¦ odwrotn¡.
(a)
f : R → R,
(b)
f : [−2, 3] → R,
(c)
f : R → R,
(d)
f : (−∞, 0] → [0, ∞),
(e)
f : (−∞, 0] → (−∞, 0],
(f )
f : {1, 2, 3, 4, 5} → {1, 2, 3, 4, 5},
(g)
f : N → N,
(h)
f : R → R,
(i)
f : N → Z,
(j)
2
(k)
(l)
(m)
(n)
f (x) = 2x + 1,
f (x) = −2x + 1,
f (x) = x2 ,
f (x) = x2 ,
f (x) = −x2 ,
f (n) = n2 + 1,
x+1
x−1 , x 6= 1,
f (x) =
0,
x = 1,
n
gdy n
2,
f (n) =
− n+1
2 , gdy n
f : R → R,
3
1
4
2
5
4
,
jest liczb¡ nieparzyst¡,
f (x, y) = xy,
2
f (x, y) = (x + y, x − y),
2
2
f (x, y) = (x + y, 2x + 2y),
2
2
f (x, y) = (x + 2y, x−y
3 ),
f :R →R ,
f :R →R ,
f : R2 \ {(0, 0)} → R2 \ {(0, 0)},
f :R→R
f:
1 2
3 5
jest liczb¡ parzyst¡,
2
f :R →R ,
8. Niech
x
f (x)
y
x
f (x, y) = ( x2 +y
2 , x2 +y 2 ),
b¦dzie funkcj¡ okre±lon¡ wzorem
f (x) = 2x − 2.
Znajd¹ nast¦puj¡ce obrazy i przeciwo-
brazy funkcji
f ([−1, 1]), f ([0, 10)), f ((−∞, 1)), f −1 ([−1, 1]), f −1 ([0, 10)), f −1 ((−∞, 1)).
9. Niech
f :R→R
f:
b¦dzie funkcj¡ okre±lon¡ wzorem
f (x) = sgn(x).
Znajd¹ nast¦puj¡ce obrazy i przeciwo-
brazy funkcji
1
f ([−5, 6]), f ({8}), f ({−1, 1}), f −1 ((0, 1)), f −1 ({−1, , 0}), f −1 ((−∞, 1)).
2
10. Niech
f : R → R
b¦dzie funkcj¡ okre±lon¡ wzorem
i przeciwobrazy funkcji
f (x) = x2 − 3x + 2.
Znajd¹ nast¦puj¡ce obrazy
f:
f ([0, 1]), f ([0, 4]), f ({−2, 2}), f −1 ((−∞, −6]), f −1 ({−3, −4}), f −1 ((0, 1)).
11. Niech
f : R → R
b¦dzie funkcj¡ okre±lon¡ wzorem
i przeciwobrazy funkcji
f (x) = sin(x) + 1.
Znajd¹ nast¦puj¡ce obrazy
f:
1
1
f ([0, π]), f ({0, π}), f ((0, )), f −1 (( , ∞)), f −1 ((−∞, 1)), f −1 ({0}).
2
2
12. Niech
•
•
•
•
A = [−2, 2)
oraz
B = [0, 4).
Porównaj zbiory
f (A ∪ B) i f (A) ∪ f (B),
f (A \ B) i f (A) \ f (B),
f −1 (A ∩ B) i f −1 (A) ∩ f −1 (B),
A, f −1 (f (A)) i f (f −1 (A)),
•
•
•
pod wzgl¦dem zawierania, dla funkcji (a)
13. Niech
f : R → R, f (x) = 2x
oraz
(b)
f : R → R, f (x) = x2 .
A ⊂ X , C ⊂ Y . Uzasadnij, »e f (f −1 (C)) ⊂ C oraz A ⊂ f −1 (f (A)). Ponadto
−1
czy prawd¡ jest, »e f (f
(C)) = C ⇔ C ⊂ f (X). Co si¦ dzieje, gdy f jest injekcj¡ (surjekcj¡,
f :X →Y
sprawd¹,
f (A ∩ B) i f (A) ∩ f (B),
f −1 (A ∪ B) i f −1 (A) ∪ f −1 (B),
f −1 (A \ B) i f −1 (A) \ f −1 (B),
bijekcj¡)?
oraz