Egzamin ustny z matematyki II semestr
Transkrypt
Egzamin ustny z matematyki II semestr
Egzamin ustny z matematyki – semestr II Zakres wymaganych wiadomości i umiejętności I. Pojęcie funkcji – definicja – różne sposoby opisu funkcji – określenie dziedziny, zbioru wartości, miejsc zerowych 1. Należy podać przykłady opisów funkcji i w każdym z nich określić dziedzinę, zbiór wartości i miejsca zerowe, jeśli istnieją. 2. Określ dziedzinę i miejsca zerowe funkcji: x−2 x B) f(x) = A) f(x) = 2 x +4 x+3 3. Funkcja jest określona wzorem: A) f(x) = -2x +1 Oblicz: f(0); f(-1); f(- 1 ); 2 Wyznacz argumenty dla których: f(x) = 0; f(x) = 2; x( x + 1) x2 −1 C) f(x) = B) f(x) = 2 x 2 − 4 f( 2 ) f(x) = -2 4. Oblicz miejsca zerowe funkcji: A) y = -2x +9 B) y = x 2 -1 C) y = x −1 II Własności funkcji: - monotoniczność funkcji (przedziały, w których funkcja rośnie, maleje lub jest stała) 5. Korzystając z wykresu funkcji opisz jej własności. (Zadanie 3 str.130 podręcznik – omówienie wylosowanego) III. Przekształcenia wykresu funkcji - przesuniecie o wektor u = [p, q] - symetria względem osi OX - symetria względem osi OY 6. Mając dany wykres funkcji f(x) naszkicuj wykresy funkcji: a) g(x) = f(x) + 2 x f(x) b) h(x) = f(x -2) c) i(x) = f(x+1) – 3 d) j(x) = - f(x) e) k(x) = f(-x) 7. Zapisz wzory funkcji, których wykresy otrzymano wykonując podane przekształcenie: - wykresu f(x) = x 2 a) przesunięcie o 2 w lewo b) przesunięcie o 3 w dół c) przesunięcie o wektor u = [-1, 3] - wykresu f(x) = 2x - 3 a) symetrię względem osi OX b) symetrię względem osi OY y IV funkcja liniowa – jej wykres i własności 8. Sporządź wykres funkcji i omów jej własności: (dziedzina, zbiór wartości, miejsca zerowe, monotoniczność, wartości dodatnie, współrzędne punktów przecięcia z osiami układu współrzędnych). a) f(x) = 2x – 3 b) f(x) = -x +1 c) f(x) = 1 x+3 3 d) f(x) = - 3 x +1 4 9. Wyznacz wzór funkcji, której wykres przechodzi przez punkty: a) (1, 0) (0, 1) c) (-1, 1) (3, 3) b) (0, 2) (3, 1) d) (0, 3) (-2, 1) 10. Napisz równanie prostej równoległej do prostej l o równaniu y=2x – 3 i przechodzącej przez punkt P(1, -4) 11. Wśród prostych o podanych równaniach wskaż pary prostych równoległych i pary prostych prostopadłych: l: y = 2x +1 n: y = -2x – 5 s: y = - 2x + 1 m: y = 1 x+3 2 K: y = − 1 x+3 2 r: y = 1 x−2 2 V. Równania i nierówności liniowe z jedna niewiadomą: 12. Rozwiąż równanie: a) 2x – 5 = 9 b) 2x – 1 = 5(x+1) c) 5(x-2) – 2x = 3 (-3 + x) -1 x x −1 x d) − = 2 6 3 2 2 e) ( x − 4 ) − ( x + 2 ) = x − 5 13. Rozwiąż nierówność; zbór rozwiązań przedstaw na osi liczbowej i zapisz w postaci przedziału: a) x - 1 ≤ 0 b) 3(x - 4) > 5(x - 2) + 2 a−3 a a+3 a c) + ≤ − 7 21 3 7 2 2 d) ( x − 4 ) > 1 + (3 − x ) IV. Układy równań liniowych: - metody rozwiązywania układów - ilustracja graficzna układu równań liniowych (rodzaje układów: oznaczony, nieoznaczony, sprzeczny) 14. Rozwiąż układ równań metodą podstawiania: a) t – 3u – 2 = 0 3t + u + 2 = 0 b) x+ y x− y + =5 3 2 x+ y x− y − =1 3 2 15. Rozwiąż metodą przeciwnych współczynników (dodawania stronami) układ równań: b) a) 5x – y = 8 6t – 3z = 2 2x + y = 6 3t + 2z = 15 16. Rozwiąż graficznie układ równań: a) 2x + y = 3 2x + y – 1 = 0 y=x–3 y=- 1 x+2 2 VII Funkcja kwadratowa: - wzór funkcji kwadratowej ogólny - wykres funkcji kwadratowej - liczba miejsc zerowych f. kwadratowej - przedziały monotoniczności - współrzędne wierzchołka 17. Podaj własności funkcji przedstawionej na rysunku (Zadanie 5, 6, 7, 8 strona 164 – 165 podręcznik) 18. Podaj postać kanoniczną funkcji kwadratowej. Funkcja f(x) = 2x 2 - 4x – 2. Zapisz jej wzór w postaci kanonicznej i naszkicuj wykres. Określ zbiór wartości funkcji. 19. Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji kwadratowej w przedziale 〈−1,2〉 a) f(x) = x 2 - 3 b) f(x) = 3 x 2 − 6 x − 1 VIII Równania i nierówności kwadratowe 20. Zbadaj ile rozwiązań ma równanie: a) 2 x 2 − 6 x + 3 = 0 b) x 2 − 2 x + 5 = 0 c) 4t 2 − 12t + 9 = 0 d) 3 x 2 + 6 x = 0 21. Rozwiąż równanie: a) 2 x 2 − 3 x − 9 = 0 b) x 2 − 8 x + 12 = 0 2 (db) c) ( x − 2 ) + x = 7 − 3 x 22. Rozwiąż nierówność i zbiór rozwiązań przedstaw na osi liczbowej oraz zapisz w postaci przedziału: a) x 2 − 4 x + 3 < 0 b) 4 x 2 − 9 ≥ 0 (bdb) c) 3(p+1) 2 +4( p + 1) − 4 ≤ 0 bdb 23. Znajdź wzór funkcji kwadratowej y = f(x), której wykresem jest parabola o wierzchołku (1,-9), przechodząca przez punkt o współrzędnych (2,-8). Otrzymaną funkcję przedstaw w postaci kanonicznej. Oblicz jej miejsca zerowe i naszkicuj wykres. bdb 24. Suma długości podstawy trójkąta i wysokości opuszczonej na tę podstawę wynosi 10 cm. Wyznacz długości podstawy i wysokości tak, aby pole trójkąta było największe. IX. Wielomiany: jednomiany, stopień wielomianu, dodawanie, odejmowanie, mnożenie wielomianów, pierwiastki wielomianu. 25. Określ stopień wielomianu oraz oblicz; W(0); W(-1); W(2) a) W(x) = x 3 − 5 x 2 + 7 x − 9 b) W(x) = 2 x 5 − 7 x 2 + 3 x 3 + 2 x − 1 26. Wykonaj działania na wielomianach: a) 4 x 2 + 3 x − 2 + 2 x 3 + 4 x 2 + 2 x − 3 b) ( ) ( (2ab − 3b ) − (a + 2ab − 2b ) 2 2 ) 2 c) -3b (a + 2b ) ( ) d) x 2 − 2 x ( x − 7 ) ( e) (− 2 x + 1) x 2 + 3 x − 4 ) 27. Sprawdź czy dana liczba jest pierwiastkiem wielomianu: x=0 a) W(x) = 3x + 1 1 3 b) W(x) = 6 x 2 + x + 1 x= c) W(x) = 2 x 4 + 3 x 3 − x + 84 x = -3 X. Rozkład wielomianu na czynniki - wyłączenie czynnika przed nawias - wzory skróconego mnożenia - grupowanie wyrazów 28. Wykonaj działania korzystając ze wzorów skróconego mnożenia: a) (a - 5) 2 = b) (2a+3b) 2 = c) (x - 2)(x + 2) = 2 1 d) − a + 3b = 3 2 e) (2x - 1) = 29. Rozłóż na czynniki wielomian: a) x 3 + 4 x = b) 4 x 2 − 1 = c) x 2 −4 x + 4 = d) 3 x 3 − 2 x 2 − 6 x + 4 = XI. Równania i nierówności trzeciego stopnia: 30. Rozwiąż równanie: a) x3 – x2 + x – 1 = 0 b) 2 x 3 + x 2 − 2 x − 1 = 0 31. Rozwiąż nierówność i przedstaw jej rozwiązanie na osi liczbowej oraz w postaci przedziałów. a) (x +1)(x - 2)(x +3) ≥ 0 c) (x 2 −4)( x + 3) > 0 b) (x 2 +5 )(x+2) <0 d) 3 x 3 − 2 x 2 − 6 x + 4 ≤ 0