Logiki Deskryptywne

Logiki Deskryptywne
Lista zada« do cz¦±ci I wykªadu: Podstawy
1. Rozwa»my interpretacj¦ I o dziedzinie ∆I zbudowanej z elementów a, b, c, d, e, f . Zaªó»my, »e
A, B, C s¡ atomowymi konceptami, R, S atomowymi rolami. Niech:
• AI = {a, b, c},
• B I = {a, b, d, e},
• C I = {c, d, e, f },
• RI = {(a, b), (a, c), (a, d), (b, a), (b, b), (b, d), (c, e), (c, f ), (d, a), (d, b), (e, b), (e, c)},
• S I = {(a, d), (a, e), (a, f ), (c, a), (c, b), (c, f ), (d, b), (e, b), (e, d), (e, e), (e, f )}
Dla ka»dego z poni»szych opisów konceptów w j¦zyku ALC wylicz jego interpretacj¦ w I .
(a) A t C
(b) A t ¬C
(c) ∃R.A
(d) ∀S.¬A
(e) ∃R.∃S.A u B
(f) ∀R.B u ∀S.¬B
(g) ∃S.(A ∪ ∃R.¬B)
(h) ∃R.(B u ∀R.B) u ¬B
(i) A u B u ∃R.>
2. Które z opisów konceptów z zadania 1 nale»¡ do j¦zyków AL, FL− , FL0 , ALU ?
3. Wyra¹ nast¦puj¡ce wªasno±ci u»ywaj¡c wi¦zów numerycznych:
(a) Ka»dy S -nast¦pnik ma co najmniej dwa R-nast¦pniki speªniaj¡ce A
(b) Istniej¡ co najmniej 3 S -nast¦pniki takie, »e ka»dy z nich speªnia A lub ma co najwy»ej 2
S -nast¦pniki nie speªniaj¡ce B .
4. Przypomijmy, »e dwa opisy konceptów C , D s¡ równowa»ne je±li w ka»dej interpretacji I zachodzi
C I = DI . Udowodnij, »e ka»dy opis konceptu w ALC ma równowa»ny opis zbudowany zgodnie
z nast¦puj¡c¡ gramatyk¡:
C = A | ¬C | C t C | ∃R.C.
5. Dla konceptów z zadania 1 znajd¹ równowa»ne opisy zgodne z gramatyk¡ zadania 4.
6. Udowodnij, »e ka»dy opis konceptu w ALC ma równowa»ny opis w negacyjnej postaci normalnej,
tj. postaci zgodnej z gramatyk¡:
C = A | ¬A | C t C | C u C | ∃R.C | ∀R.C..
7. Przeksztaª¢ opis konceptu
¬(¬A u ¬(∃R.(B t ¬C u ∀R.(∃R.C t B))))
do negacyjnej postaci normalnej.
8. Rozwa»my ABox A zbudowany z nast¦puj¡cych asercji:
• worksWith(BOB, CLAUDIA)
• likes(CLAUDIA, DAVID)
• Blond(CLAUDIA)
• worksWith(BOB, DAVID)
• likes(DAVID, ANNA)
• ¬Blond(ANNA)
(a) Czy A ma model?
(b) Czy BOB jest elementem konceptu ∃worksWith.(Blond u ∃likes.¬Blond) we wszystkich
modelach A?
(c) Czy BOB jest elementem konceptu ∃worksWith.(∃likes.(∀likes.¬Blond)) we wszystkich
modelach A?
9. Przeªó» koncepty z zadania 1 na logik¦ pierwszego rz¦du z dwiema zmiennymi.
10. Udowodnij, »e TBoxy przekªadaj¡ si¦ na logik¦ pierwszego rz¦du z dwiema zmiennymi.
11. Zaproponuj niewielki system wiedzy (TBoxy+ABoxy) opisuj¡cy plan zaj¦¢ (nauczyciele, sale,
przedmioty, studenci,...)
12. Poka», »e w j¦zyku AL rozszerzonym o negacj¦ dowolnych konceptów mo»emy wyrazi¢ sum¦ oraz
peªn¡ kwantykcj¦ egzystancjaln¡, tzn. dla koncpetów C t D oraz ∃R.C istniej¡ równowa»ne im
opisy w AL z negacj¡.
13. Wska» przykªad rodziny TBoxów acyklicznych Ti tak¡, »e ka»de Ti ma dªugo±¢ wielomianow¡
wzgl¦dem i, ale rozwini¦cie Ti ma dªugo±¢ wykªadnicz¡ wzgl¦dem i.
14. Udowodnij, »e ograniczenie górne w poprzednim zadaniu jest optymalne, tzn., »e istnieje funkcja
wykªadnicza f taka, »e ka»dy TBox T ma rozwini¦cie dªugo±ci nie wi¦kszej ni» f (|T |).
15. Udowodnij, »e dla logik deskryptywnych z operatorem przeci¦cia i konceptem sprzecznym:
(a) Problem speªnialno±ci konceptu redukuje si¦ do subsumpcji konceptów.
(b) Problem równowa»no±ci konceptów redukuje si¦ do do problemu subsumpcji.
(c) Problem rozª¡czno±ci konceptów redukuje si¦ do problemu subsumpcji.
(d) Problem subsumpcji konceptów redukuje si¦ do speªnialno±ci.
(e) Problem równowa»no±ci konceptów redukuje si¦ do speªnialno±ci.
(f) Problem rozª¡czno±ci konceptów redukuje si¦ do speªnialno±¢i.
(we wszystkich przypadkach rozwa»amy wersje problemów wzgl¦dem pustego TBoxa)
16. Udowodnij, »e problem speªnialno±ci wzgl¦dem acyklicznego TBoxa mo»e by¢ zredukowany do
problemu speªnialno±ci wzgl¦dem pustego TBoxa.
17. Jak wy»ej dla problemu niesprzeczno±ci ABoxa z TBoxem.
18. W tym zadaniu rozwa»amy TBoxy postaci A v C , gdzie A jest konceptem atomowym, a C
konceptem w j¦zyku ALC .
(a) Czy istnieje TBox, który nie ma modelu?
(b) Czy istnieje TBox, który ma tylko modele sko«czone?
(c) Czy ka»dy TBox albo nie ma w ogóle modelu, albo ma ich niesko«czenie wiele?
(d) Czy istnieje TBox, którego ka»dy model albo jest sko«czony, albo ma cykl?
19. W ka»dym z poni»szych podpunktów sprawd¹, czy C jest speªnialny wzgl¦dem TBoxa T .
(a) C = A u B, T = {A v (≥ 5R.A) u (≤ 2R.X), B v (≤ 2R.¬X)}
2
(b) C = A u ¬X, T = {A v ∃R.B, B v ∃R−1 .X, X v ∀R.(≤ 1R−1 .>)
20. Udowodnij, »e nie istnieje koncept ALC równowa»ny konceptowi ∀R−1 .⊥.
21. Udowodnij, »e nie istnieje koncept ALC równowa»ny konceptowi ≤ 1R.>
22. Wzoruj¡c si¦ na dowodzie PSpace-trudno±ci logiki ALC udowodnij, »e problem speªnialno±ci
konceptu dla logiki ALU(∪) jest PSpace-trudny. Konwencja nazewnicza: operatory w nawia-
sie sªu»¡ do konstruowania zªo»onych ról. W tym przypadku mamy mo»liwo±¢ sumowania ról;
mo»emy np. napisa¢ ∃(R ∪ S).>.
23. Jak wy»ej, udowodnij, »e problem speªnialno±ci dla logiki ALU(∩) jest PSpace-trudny.
24. Niech A b¦dzie konceptem atomowym. Poka», »e w logice ALC nie istnieje koncept C taki, »e
dla dowolnej interpretacji I zachodzi a ∈ C I wtw ∃b =
6 a b ∈ AI .
25. Niech A b¦dzie konceptem atomowym, a R rol¡ atomow¡. Poka», »e w logice ALC nie istnieje
koncept C taki, »e dla dowolnej interpretacji I zachodzi a ∈ C I wtw istnieje R-±cie»ka z a do
pewnego elemntu speªniaj¡cego koncept A.
26. Niech R b¦dzie rol¡ atomow¡. Poka», »e w logice ALC nie istnieje koncept C taki, »e dla dowolnej
interpretacji I zachodzi a ∈ C I wtw (a, a) ∈ RI .
27. Niech koncept C b¦dzie speªnialny ze wzgl¦du na TBox T . Poka», »e dla dowolnego n ∈ N istnieje
interpretacja, b¦d¡ca modelm T , w której C jest speªniony przez co najmniej n elementów.
28. Poka», »e bisymulacja nie zachowuje wszystkich wªasno±ci wyra»alnych w logice pierwszego
rz¦du. Wska» kilka przykªadów.
29. Udowodnij formalnie Twierdzenie 23 z drugiej cz¦±ci wykªadu.
30. Zajmiemy si¦ teraz uogólnieniem poj¦cia ltracji. Niech I b¦dzie interpretacj¡, a Σ zbiorem
konceptów zamkni¦tym na branie podkonceptów. Filtracj¡ I wzgl¦dem Σ nazywamy ka»d¡
interpretacj¦ J tak¡, »e:
• dziedzin¡ J jest zbiór klas abstrakcji Σ
• dla konceptów atomowych A: [a] ∈ AJ wtw a ∈ AI
• je±li (a, b) ∈ RI , to ([a], [b]) ∈ RJ ,
• je±li ([a], [b]) ∈ RJ , to dla ka»dego konceptu ∃C ∈ Σ, je±li b ∈ C I , to a ∈ (∃R.C)I .
Oznaczmy przez I s ltracj¦ zdeniowan¡ na wykªadzie. Nazywa si¦ j¡ najmniejsz¡ ltracj¡.
Udowodnij, I s rzeczywi±cie speªnia powy»sze warunki.
31. Niech I 0 b¦dzie ltracj¡ (w sensie denicji z poprzedniego zadania) interpretacji I wzgl¦dem
zbioru konceptów Σ zamkni¦tego na branie podkonceptów (w sensie denicji z poprzedniego
zadania). Udowodnij, »e wtedy dla ka»dego konceptu C ∈ Σ i ka»dego a ∈ ∆I :
a ∈ C I wtw [a] ∈ C I
0
32. Zdeniujemy teraz najwi¦ksz¡ ltracj¦ interpretacji I wzgl¦dem Σ, I l . Dziedzina jest taka sama
l
jak w przypadku ltracji najmniejszej. Dla ka»dej roli R: ([a], [b]) ∈ RI wtw dla wszystkich
∃R.C ∈ Σ zachodzi b ∈ C I implikuje a ∈ (∃R.C)I . Poka», »e najwi¦ksza ltracja jest rzeczywi±ci
ltracj¡.
33. Niech R b¦dzie rol¡ a I interpretacj¡. Poka», »e dla ka»dej ltracji I 0 interpretacji I zachodzi
l
s
0
RI ⊆ RI ⊆ RI .
34. Zaªó»my, »e w interpretacji I rola R jest przechodnia. Czy rola R musi by¢ przechodnia w ka»dej
ltracji I ?
3
35. Zaªó»my, »e w interpretacji I rola R jest przechodnia. Poka», »e istnieje ltracja I , w której
rola R jest przechodnia. Wywnioskuj st¡d, »e problem spaªnialno±ci konceptów logiki ALC w
klasie interpretacji, w których R jest przechodnia jest rozstrzygalny.
36. Poj¦cie ltracji, które rozwa»ali±my do tej pory byªo odpowiednie dla logiki ALC . Zmodykuj
je tak, aby pasowaªo do logiki ALCN . Udowodnij, »e elementy poª¡czone zdeniowan¡ przez
Ciebie bisymulacj¡ speªniaj¡ dokªadnie te same koncepty logiki ALCN (wªasno±¢ analogiczna
do Twierdzenia 14 z wykªadu). Nast¦pnie udowodnij, »e logika ALCQ ma wi¦ksz¡ siª¦ wyrazu
ni» ALCN .
37. Mówimy, »e opis konceptu (albo po prostu koncept) jest tautologi¡ je±li w ka»dej interpretacji
nale»¡ do niego wszystkie elementy dziedziny. Poka», »e koncept ∀R.(A → B) → ((∀R.A) →
(∀R.B)) jest tautologi¡.
38. Poka», »e poni»sze koncepty nie s¡ tautologiami:
(a) ∀R.⊥
(b) ∃R.A → ∀R.A
(c) A → ∀R.∃R.A
(d) ∃R.∀R.A → ∀R.∃R.A
39. Mówimy, »e opis konceptu C jest tautologi¡ w klasie interpretacji K je±li w ka»dej interpretacji
z K koncept C zawiera wszystkie elementy dziedziny. Dla ka»dej z formuª z zadania 38 znajd¹
mo»liwie eleganck¡ klas¦ interpretacji (np. w jednym z podpunktów mo»e si¦ ni¡ okaza¢ klasa
interpretacji, w których relacja R jest przechodnia), w której jest ona tautologi¡.
40. Niech C = ((∃R1 .A) → (A t ∃R1 .(¬A u ∃R2 .A))) u ((∃R1 .A) ↔ (A t ∃R2 .∃R1 .A)). Poka», »e
C jest tautologi¡ w klasie interpretacji, w których R1 jest przechodnim domkni¦ciem R2 . Poka»
te», »e je±li w pewnej interpretacji C zawiera wszystkie elementy to interpretacja ta nale»y do
opisanej klasy.
41. Poka», »e liczba podkonceptów C jest liniowa wzgl¦dem dªugo±ci C .
42. Dowody rozstrzygalno±ci problemu speªnialno±ci konceptów dla ró»nych logik deskryptywnych
(i analogicznych problemów dla pokrewnych formalizmów) czasem wygl¡daj¡ nast¦puj¡co: pokazujemy, »e ka»dy koncept speªnialny C jest speªniony w pewnym elemencie pewnej sko«czonej
interpretacji, której rozmiar mo»na ograniczy¢ przez jak¡± funkcj¦ dªugo±ci C (czyli, »e logika ma
wªasno±¢ modelu ograniczonego ), a nast¦pnie projektujemy algorytm, który niedeterministycznie
zgaduje interpretacj¦ I i sprawdza, »e który± jej element faktycznie speªnia C . Ten drugi krok
to tzw. werykacja modelu. Poka», »e dla logiki ALC werykacj¦ modelu mo»na przeprowadzi¢
w deterministycznym czasie wielomianowym wzgl¦dem dªugo±ci konceptu i wielko±ci modelu.
43. Poka», »e problem werykacji modelu dla logiki pierwszego rz¦du (dana struktura relacyjna
M i formuªa ϕ nad sygnatur¡ relacyjn¡, bez zmiennych wolnych; sprawd¹ czy M |= ϕ) jest
PSPACE-zupeªny.
44. Na wykªadzie zaproponowali±my nat¦puj¡cy algorytm NExpTime rozstrzygaj¡cy problem speªnialno±ci dla FO2 : dla danej formuªy zgadnij model wielko±ci wykªadniczej i sprawd¹, »e jest on
rzeczywi±cie jej modelem. Udowodnij formalnie, »e to sprawdzenie rzeczywi±cie da si¦ wykona¢
w czasie wielomianowym. Innymi sªowy, poka», »e problem werykacji modelu (dla zadanej
sko«czonej struktury A i zdania ϕ sprawd¹, czy A |= ϕ) dla logiki FO2 jest rozstrzygalny w
czasie wielomianowym.
45. W tym zadaniu rozwa»amy (multi-) grafy z kraw¦dziami etykietowanymi jedn¡ z dwóch etykiet:
E1 lub E2 . W ka»dym wierzchoªku grafu ustalona jest prawdziwo±¢ zmiennej zdaniowej P .
Niech a b¦dzie wyró»nionym wierzchoªkiem grafu. O takich grafach w naturalny sposób mo»na
pisa¢ w logice FO2 (a mo»emy wtedy traktowa¢ jako staª¡).
Poka», »e wszystkie poni»sze wªasno±ci s¡ wyra»alne w FO2 .
4
(a) Z wierzchoªka a istnieje E1 -kraw¦d¹ prowadz¡ca do wierzchoªka speªniaj¡cego P .
(b) Z wierzchoªka a wychodzi przynajmniej jedna kraw¦d¹ etykietowana E1 .
(c) Ka»dy wierzchoªek grafu speªniaj¡cy P jest osi¡galny z a E1 -±cie»k¡ dªugo±ci nie wi¦kszej
ni» 3.
(d) Istnieje E1 -±cie»ka dªugo±ci 5 zaczynaj¡ca si¦ w a i prowadz¡ca do wierzchoªka speªniaj¡cego
P.
(e) Ka»dy wierzchoªek grafu jest osi¡galny z a kraw¦dzi¡ E1 .
(f) Wszystkie wierzchoªki osi¡galne z a kraw¦dzi¡ E1 maj¡ wªasno±¢ opisan¡ w punkcie (a).
(g) Ka»dy wierzchoªek osi¡galny z a jest osi¡galny zarówno kraw¦dzi¡ E1 jak i E2 .
46. Na wykªadzie badali±my rozstrzygalno±¢ i zªo»ono±¢ obliczeniow¡ problemu speªnialno±ci dla
logiki z dwiema zmiennymi, FO2 . Oczywi±cie logika z jedn¡ zmienn¡, FO1 , jest rozstrzygalna i
ma wªasno±¢ modelu sko«czonego. W tym i w kolejnym zadaniu zbadamy zªo»ono±c obliczeniow¡
problemu speªnialno±ci FO1 . Na pocz¡tek poka» wielomianow¡ redukcj¦ speªnialno±ci FO1 do
speªnialno±ci klasy formuª spªaszczonych, tj. formuª postaci
k
^
∀xψi (x) ∧
i=1
l
^
∃xψi0 (x),
i=1
gdzie formuªy ψi (x) oraz ψi0 (x) nie zawieraj¡ kwantykatorów.
47. Udowodnij, »e je±li spªaszczona formuªa FO1 ma model, to ma model o l elementach. Wywnioskuj
st¡d, »e problem speªnialno±ci dla FO1 jest w NP. Poniewa» jest on NP-trudny (sk¡d to wiemy?),
jest te» NP-zupeªny.
48. Skonstruuj rodzin¦ speªnialnych formuª {ϕn }n∈N w logice FO2 , z których ka»da jest dªugo±ci
wielomianowej wzgl¦dem n, ale ka»dy jej model ma dokªadnie 2n elementów.
49. Niech ϕ b¦dzie formuª¡ FO2 w postaci normalnej oraz A |= ϕ. Niech t b¦dzie 1-typem atomowym, który zrealizowany jest w A co najmniej dwa razy. Poka», »e istnieje wtedy model A0 |= ϕ,
którego dziedzina skªada si¦ z dziedziny A oraz jednego nowego elementu a, obci¦cie modelu A0
do dziedziny A jest dokªadnie modelem A, a typ a w A0 to t (innymi sªowy: poka», »e do modelu
umiemy zawsze doªo»y¢ jedn¡ realizacj¦ typu niekrólewskiego).
50. Niech ϕ b¦dzie dowoln¡ formuª¡ FO2 bez równo±ci. Udowodnij, »e je±li jest speªnialna, to ma
model, w którym ka»dy zrealizowany 1-typ atomowy ma co najmniej dwie realizacje (innymi
sªowy: nie ma elementów królewskich).
51. Zaªó»my, »e w postaci normalnej Scotta dla FO2 wyst¦puj¡ tylko unarne symbole relacyjne
(mo»e by¢ te» symbol równo±ci). Przystosuj (to znaczy maksymalnie upro±¢) zaprezentowan¡
na wykªadzie konstrukcj¦ wykªadniczego modelu do tego przypadku.
52. Jak z zadaniu poprzednim, ale dodatkowo zabraniamy u»ywania symbolu równo±ci.
53. Do logiki FO2 dodajmy staªe. Poka», »e nadal ka»da speªnialna formuªa ma model wielko±ci co
najwy»ej wykªadniczej wzgl¦dem swojej dªugo±ci, a zatem »e problem speªnialno±ci dla FO2 ze
staªymi jest w NEXPTIME.
54. Udowodnij, »e system domina pokrywa Z × Z wtedy i tylko wtedy, gdy pokrywa N × N. Wska-
zówka: u»yj lematu Königa. (To bardzo ªadna aplikacja tego lematu!)
55. Na wykªadzie u»ywali±my nierozstrzygalnego problemu, czy dany system domina pokrywa grid
N × N. Nierozstrzygalny jest równie» nast¦puj¡cy problem: Czy dla danego systemu domina D
i kolorów pªytek c0 , d0 ∈ D istnieje takie k ∈ N, »e D pokrywa grid {1, 2, . . . , n} × {1, 2, . . . , n}
w taki sposób, »e w prawym górnym rogu le»y pªytka koloru d0 a w lewym dolnym pªytka koloru
c0 ? Zredukuj który± z tych dwóch problemów do problemu speªnialno±ci logiki ALC(◦, ⊆), czyli
5
logiki ALC z operacjami skªadania i zawierania ról (takimi jak na ostatnim wykªadzie). A mo»e
potrasz te» w ten sposób pokaza¢ nierozstrzygalno±¢ problemu subsumpcji w FL− (◦, ⊆) (czyli
problemu, którego nierozstrzygalno±¢ pokazali±my na wykªadzie poprzez redukcje z systemów
przepisywania termów)?
56. Na wykªadzie pokazali±my, »e problem speªnialno±¢i logiki FO2 z dwiema relacjami przechodnimi jest nierozstrzygalny. U»ywaj¡c podobnej techniki poka», »e problem speªnialno±ci FO2 z
czterema relacjami równowa»no±ci jest równie» nierozstrzygalny. (Tak naprawd¦ do nierozstrzygalno±ci potrzeba trzech relacji równowa»no±ci. Dwie s¡ rozstrzygalne ).
57. W tym i w kolejnych zadaniach zajmiemy si¦ speªnialno±ci¡ FO2 w modelach uporz¡dkowanych
liniowo. Dla uproszczenia zakªadamy, »e sygnatura zawiera tylko jeden symbol binarny, <, oraz
dowoln¡ liczb¦ symboli unarnych (b¦dziemy mówili o unarnym FO2 z liniowym porz¡dkiem ).
Rozwa»amy problem speªnialno±ci w klasie modeli, w których symbol < jest interpretowany jako
liniowy ostry porz¡dek (relacja antyzwrotna, antysymetryczna i przechodnia). Poka» redukcj¦
do postaci normalnej
^
∀x(α(x) → ∃y(β(x, y) ∧ ϕi (x, y))),
∀xy ϕ0 (x, y) ∧
i∈{1...m}
gdzie α(x) jest formuª¡ atomow¡ (mo»e by¢ równo±ci¡), a β(x, y) jest jedn¡ z dwóch formuª:
x < y lub x > y . Oczywi±cie wszystkie ϕi (x, y) s¡ bez kwantykatorów.
58. Rozwa»my formuª¦ ϕ b¦d¡c¡ koniunkcj¡ dwóch formuª:
• ∃x (P x ∧ ∀y (x < y → ¬P y)),
• ∀x∃y (y < x ∧ P y).
Zakªadamy, »e < jest (ostrym) porz¡dkiem liniowym.
(a) Jak wygl¡da najprostszy model ϕ? Ile ró»nych 1-typów atomowych jest w nim zrealizowanych?
(b) Przeksztaª¢ ϕ do postaci normalnej z poprzedniego zadania.
(c) Jak wygl¡da najprostszy model formuªy z poprzedniego podpunktu? Ile ró»nych 1-typów
atomowych jest w nim zrealizowanych?
59. W logice FO2 z liniowym porz¡dkiem istniej¡ oczywi±cie formuªy speªnialne maj¡ce tylko modele niesko«czone (patrz poprzednie zadanie). Udowodnij, »e ka»da formuªa, która ma model
sko«czony, ma model wielko±ci wykªadniczej. (U»yj twierdzenia o postaci normalnej, rozwa» minimalne i maksymalne realizacje 1-typów atomowych ). Wywnioskuj st¡d NEXPTIME-zupeªno±¢
problemu sko«czonej speªnialno±ci (Czy dana formuªa ma sko«czony model? ).
60.
Udowodnij NExpTime-zupeªno±¢ problemu speªnialno±ci unarnego FO2 z liniowym porz¡dkiem. (To zadanie ró»ni si¦ od poprzedniego tym, »e tym razem nie ograniczamy si¦ do modeli
∗
sko«czonych. Poka», »e ka»da formuªa speªnialna w niesko«czonym modelu jest speªnialna w
pewnym, ªadnym, regularnym modelu sko«czonym, który da si¦ opisa¢ w sposób sko«czony.)
61. Rozwi¡» poprzednie zadanie u»ywaj¡c poj¦cia typu uogólnionego : typem uogólnionym elementu
a w modelu M jest trójka (α, L, R), gdzie α to typ atomowy a, a L i R to zbiory typów atomowych
zrealizowanych odpowiednio na lewo i na prawo od a. (Przedziaªem w modelu M niech b¦dzie
zbiór elementów, których typy uogólnione zgadzaj¡ si¦ na L i R. Ile jest przedziaªów? Jak
uregularni¢ przedziaªy? Jak opisa¢ model regularny w sko«czony sposób?)
62. Poka» rozstrzygalno±¢ oraz zbadaj zªo»ono±¢ obliczeniow¡ problemu speªnialno±ci logiki FO2
z relacjami unarnymi i jednym symbolem binarnym S , który interpretowany jest jako relacja
nast¦pnika w liniowym porz¡dku. Zakªadamy, »e interesuj¡ nas tylko modele sko«czone lub
izomorczne z N.
6
63.
∗
Poka» rozstrzygalno±¢ oraz zbadaj zªo»ono±¢ obliczeniow¡ problemu speªnialno±ci logiki FO2
z relacjami unarnymi i dwiema relacjami binarnymi; < i S : pierwszy to relacja liniowego porz¡dku, drugi to relacja nastepnika w tym porz¡dku. Zakªadamy, »e interesuj¡ nas tylko modele
sko«czone.
64.
∗
65.
∗∗∗
Poka» rozstrzygalno±¢ oraz zbadaj zªo»ono±¢ obliczeniow¡ problemu speªnialno±ci logiki FO2
z relacjami unarnymi i dwiema relacjami binarnymi; < i S : pierwszy to relacja liniowego porz¡dku, drugi to relacja nastepnika w tym porz¡dku. Zakªadamy, »e interesuj¡ nas tylko modele
izomorczne z N.
[PROBLEM OTWARTY] W ostatnich latach pojawiªo si¦ kilka prac dotycz¡cych rozstrzygalno±ci FO2 w modelach sko«czonych z relacjami unarnymi i kilkoma liniowymi porz¡dkami i/lub
zwi¡zanymi z nimi relacjami nast¦pników. Wiadomo np., »e je±li mamy dwie relacje liniowego porz¡dku, ale nie mamy nast¦pników, to problem jest EXPSPACE-zupeªny. Je±li mamy tylko dwie
relacje nastepników (ale nie mamy ich przechodnich domkni¦¢), to problem jest NEXPTIMEzupeªny. Je±li mamy trzy liniowe porz¡dki (bez nast¦pników) to problem jest nierozstrzygalny.
Pytanie: czy problem jest rozstrzygalny je±li mamy wi¦cej ni» dwie relacje nast¦pników (ale nie
mamy ich przechodnich domkni¦¢)? (Nic nie wiadomo ani o przypadku trzech relacji ani o przypadku, gdy liczba porz¡dków nie jest ogranioczna przez staª¡.) Wydaje si¦, »e problem mo»na
próbowa¢ redukowa¢ do rozstrzygalnej logiki FO2 z kwantykatorami zliczaj¡cymi - bo przecie»
mo»na napisa¢, »e element ma dokªadnie jednego nast¦pnika (poprzednika). Problem polega na
tym, »e ta redukcja pozwalaªaby na modele skª¡daj¡ce si¦ z pewnej liczby cykli, a my chcemy,
»eby przechodnie domkni¦cia naszych relacji nast¦pników byªy liniowymi porz¡dkami.
66. [Referat - prosz¦ o mailow¡ lub osobist¦ rezerwacje] Na wykªadzie u»yli±my alternuj¡cych maszyn Turinga. Przedstaw dowód twierdzenia o zale»no±ciach pomi¦dzy deterministycznymi a
alternuj¡cymi klasami zªo»ono±ci:
Dla t(n) ≥ log n : ASP ACE(t(n)) = DT IM E(2t(n) )
Dla t(n) ≥ n :
∞
[
AT IM E(t(n)k ) =
k=1
∞
[
DSP ACE(t(n)k ).
k=1
67. Rozwa»my logik¦ deskryptywn¡ ALC z jedn¡ tylko rol¡ E , która ma by¢ interpretowana jako relacja równowa»no±ci. Poka», »e problem speªnialno±ci konceptu (wzgl¦dem pustego TBoxa) dla
takiej logiki jest NP-zupeªny (poka», »e ka»dy koncept speªnialny ma model wielko±ci wielomianowej). W skazówka: we¹ dowolny model konceptu C i rozwa» typy elementów deniowane jako
zbiory podformuª C speªnionych w tych elementach (by¢ mo»e trzeba zaªo»y¢, »e C jest w negacyjnej postaci normalnej, by¢ mo»e do typu trzeba doªo»y¢ negacje podkonceptów). Ile realizacji
ka»dego typu jest potrzebnych? Czy potrzebne s¡ realizacje wszystkich typów z oryginalnego
modelu?
68. Rozwa»my rozszerzenie logiki ALC o dopeªnienia ról : w miejscu gdzie mo»e wyst¡pi¢ rola R
mo»emy teraz napisa¢ te» ¬R. ¬R jest interpretowana jako dopeªnienie roli R. Np. koncept
∃¬R.P jest speªniony przez elementy, które nie s¡ poª¡czone rol¡ R z jakim± elementem speªniaj¡cym P . Poka», »e tak uzyskana logika, ALC ¬ nie ma wªasno±ci modelu drzewiastego. Poka»,
»e problem speªnialno±ci (wzgl¦dem dowolnego TBoxa) jest rozstrzygalny.
69.
Ustal jego zªo»no±¢ problemu speªnialno±ci ALC ¬ (wzgl¦dem pustego i wzgl¦dem dowolnego
TBoxa).
∗
70. Rozwa»my teraz rozszerzenie logiki ALC o operacje ∪, ∩, ¬ na rolach (z naturaln¡ interpretacj¡:
∃[(R ∪ S) ∩ ¬T ].P oznacza, »e istnieje element speªniaj¡cy P poª¡czony rol¡ R lub rol¡ S i
niepoª¡czony rol¡ T . Poka» rozstrzygalno±¢ problemu speªnialno±ci konceptów w takiej logice.
Ustal jego zªo»ono±¢.
7
71. Na wykªadzie pokazali±my rozstrzygalno±¢ problemu speªnialno±ci logiki GF2 +EG (z relacjami
równowa»no±ci w stra»nikach). Analogicznie mo»na rozwa»a¢ logik¦ GF2 +TG z relacjami
przechodnimi w stra»nikach. Poka», »e GF2 +EG redukuje si¦ do GF2 +TG (zauwa», »e oczywisty
pomysª wyra»enia symetrii relacji przechodniej formuª¡ ∀xy(T xy → T yx) prowadzi do u»ycia
symbolu przechodniego poza stra»nikiem).
8