ANALIZA MATEMATYCZNA 2 A,B MAP: 2017, 2022, 2023, 2024

ANALIZA MATEMATYCZNA 2 A,B
MAP: 2017, 2022, 2023, 2024, 2030
Lista zadań
Całki oznaczone
1 Korzystając z definicji oraz z faktu, że funkcje ciągłe są całkowalne obliczyć podane całki oznaczone i
podać ich interpretację geometryczną:
Z2
Z3
Z2
2
ex dx.
c)
b) x dx;
a) (x − 1) dx;
−1
2
1
n(n + 1) 2
n(n + 1)(2n + 1)
Wskazówka. Ad. b). Zastosować wzory 1 + 2 + . . . + n =
, 1 + 22 + . . . + n2 =
;
2
6
n
1−q
oraz wykorzystać równość
Ad. c). Zastosować wzór na sumę ciągu geometrycznego a + aq + . . . + aq n−1 = a
1−q
h
e −1
= 1;
lim
h→0
h
2 Korzystając z twierdzenia Newtona-Leibniza obliczyć podane całki:
Z1
Z9
√
1
x−1
dx
3
a)
x+ √
dx;
b)
dx;
c)
;
4
2
x
x+1
x +9
Z2
1
1
2
d)
Z
− 12
dx
;
2
x −1
e)
0
0
Ze
Zπ
ln x dx;
f)
sin2 x cos x dx.
0
1
e
* 3 Korzystając z definicji całki oznaczonej uzasadnić podane równości:
a) lim
n→∞
π
4n
√
π
2π
nπ
tg
= ln 2;
+ tg
+ . . . + tg
4n
4n
4n
1
1 3 + 2 3 + . . . + n3
= ;
n→∞
n4
4
1 (1 + n) · (2 + n) · . . . · (n + n)
c) lim
= ln 4 − 1.
ln
n→∞ n
nn
b) lim
4 Obliczyć podane całki oznaczone dokonując wskazanych podstawień:
1
2
a)
Zln 3
ex dx
, t = ex ;
1 + e2x
b)
d)
1
4
sin xe
cos x
dx, t = cos x;
0
0
Z1
Zπ
Z3 p
e)
9 − x2 dx, x = 3 sin t;
dx
√
, x = t2 ;
x(4 − x)
0
x dx
√
, 1 + x = t2 ;
x+1
1
Z1 √
3
1
x − x3 dx
, x= .
f)
4
x
t
c)
5 Metodą całkowania przez części obliczyć podane całki oznaczone:
a)
π
Z1
x e
Z2
ln x dx;
2 2x
dx;
b)
0
d)
1
e)
Z4
0
Z1
0
x sin 2x dx;
arc sin x dx;
c)
f)
Zπ
0
Ze
√
e
x(1 + cos x) dx;
ln x
dx.
x2
1
Z3
1
3
6 Narysować funkcje podcałkowe i obliczyć podane całki oznaczone:
a)
Z2
||x| − 1| dx;
Z2
2
−2
c)
−2
sgn x − x
b)
Z1
|ex − 1| dx;
Z3
x bxc dx.
−1
dx;
d)
1
7 Obliczyć wartości średnie podanych funkcji na wskazanych przedziałach i podać ich interpretacje geometryczną:
1
, [0, 2];
b) f (x) = sin3 x, [0, π];
a) f (x) = 2
x +4
h √ i
x
c) f (x) = arc tg x, 0, 3 ;
d) f (x) =
, [0, 2].
1 + x2
8 Wykorzystując własności całek z funkcji parzystych, nieparzystych lub okresowych uzasadnić podane
równości:
Zπ
Zπ
Z1 5
x sin x dx
x − 3x3 + x
x sin x dx
=2
;
dx = 0;
b)
a)
x4 + 2x2 + 1
2 + cos x2
2 + cos x2
−π
−1
1
e
c)
Z
− 1e
1 + sin x
ln
dx = 0;
1 − sin x
d)
Z5
0
0
(x − bxc) dx = 5
Z1
0
(x − bxc) dx.
9 Obliczyć pola obszarów ograniczonych podanymi krzywymi:
a) y = 2x − x2 , x + y = 0;
d) 4y = x2 , y =
8
;
x2 + 4
1 2
x , y = 3x;
2
b) y = x3 , y = 2x;
c) y = x2 , y =
e) yx2 = 1, y = x, y = 8x;
f) yx4 = 1, y = 1, y = 16.
10 Obliczyć długości podanych krzywych:
√
a) y = 2 x3 , gdzie 0 ¬ x ¬ 11;
p
c) y = 1 − x2 , gdzie 0 ¬ x ¬ 1;
b) y = ch x, gdzie 0 ¬ x ¬ 1;
d) y = ln cos x, gdzie 0 ¬ x ¬
π
.
4
11 Obliczyć objętości brył powstałych z obrotu podanych figur T wokół wskazanych osi:
a) T : 0 ¬ x ¬ 2, 0 ¬ y ¬ 2x − x2 , Ox;
√
2
, Oy;
c) T : 0 ¬ x ¬ 5, 0 ¬ y ¬ √
2
x +4
π
, 0 ¬ y ¬ tg x, Ox;
4
√
d) T : 0 ¬ x ¬ 1, x2 ¬ y ¬ x, Oy.
b) T : 0 ¬ x ¬
12 Obliczyć pola powierzchni powstałych z obrotu wykresów podanych funkcji wokół wskazanych osi:
√
π
b) f (x) = cos x, 0 ¬ x ¬ , Ox;
a) f (x) = 4 + x, −4 ¬ x ¬ 2, Ox;
2
√
c) f (x) = ln x, 1 ¬ x ¬ 3, Oy;
d) f (x) = |x − 1| + 1, 0 ¬ x ¬ 2, Oy.
13 a) Punkt materialny rozpoczął ruch prostoliniowy z prędkością początkową v0 = 10 m/s i przyspieszeniem a0 = 2 m/s2 . Po czasie t1 = 10 s punkt zaczął poruszać się z opóźnieniem a1 = −1 m/s2 . Znaleźć jego
położenie po czasie t2 = 20 s.
b) Dwie cząstki A i B położone w odległości d = 36 zaczynają zbliżać się do siebie z prędkościami odpowiednio
vA (t) = 10t + t3 , vB (t) = 6t, gdzie t ­ 0. Po jakim czasie nastąpi ich zderzenie?
2
Całki niewłaściwe pierwszego rodzaju
14 Korzystając z definicji zbadać zbieżność podanych całek niewłaściwych pierwszego rodzaju:
a)
Z∞
d)
Z∞
dx
;
(x + 2)2
Z∞
b)
1
1
0
x(2 − x)e−x dx;
e)
Z0
−∞
√
3
dx
;
3x + 5
Z∞
c)
dx
;
x2 + 4
x sin x dx;
π
Z∞
f)
−∞
dx
.
x2 −4x + 13
15 Korzystając z kryterium porównawczego zbadać zbieżność podanych całek niewłaściwych pierwszego
rodzaju:
Z∞
Z∞
Z∞
dx
x(x + 1) dx
dx
√
√
;
b)
;
c)
;
a)
x ( x + 1)
x−3
x4 + x + 1
10
0
d)
Z∞
−∞
x2 + 1 dx
;
x4 + x2 + 1
e)
Z∞
1
Z∞ √
2 + cos x dx
√
f)
.
x−1
(x + sin x) dx
;
x3
2
π
16 Korzystając z kryterium ilorazowego zbadać zbieżność podanych całek niewłaściwych pierwszego rodzaju:
Z∞ 2
Z1
Z∞ √
x dx
x + 1 dx
x + 1 dx
√
√
;
;
b)
;
c)
a)
5
x (x + 1)
x −3
1 − x3
d)
−∞
5
1
Z∞
1
dx;
sin
x
2
e)
Z∞
1
1
x2 dx
;
3
x −sin x
f)
Z−1
e2x + 1 dx
.
ex − 1
−∞
1
oraz osią Ox.
x2 + 4
b) Obliczyć objętość bryły powstałej z obrotu wokół osi Ox obszaru D = (x, y) ∈ R 2 : x ­ 0, 0 ¬ y ¬ e−x .
1
c) Uzasadnić, że pole powierzchni powstałej z obrotu wykresu funkcji y = √ dla x ­ 1 wokół osi Ox ma
x x
skończoną wartość.
17 a) Obliczyć pole obszaru ograniczonego krzywą y =
Funkcje dwóch i trzech zmiennych
18 Wyznaczyć i narysować dziedziny naturalne podanych funkcji:
sin x2 + y 2
3x
;
;
b) f (x, y) =
a) f (x, y) =
2x − 5y
x2 + y 2
p
√
√
x2 + y 2 − 4
d) f (x, y) = ln
x
+
y − 1 + z − 2;
;
e)
f
(x,
y,
z)
=
9 − x2 − y 2
x2 y
;
c) f (x, y) = p
x2 + y 2 − 25
f) f (x, y, z) = arc sin x2 + y 2 + z 2 − 2 .
19 Podane wykresy (rys. a)–c)) połączyć z odpowiadającymi im poziomicami (rys. A)–C)) wykonanymi
dla h = 2, 32 , 1, 21 , 0:
z
a)
z=
O
x
√
z
b)
x2 +y 2
z=
y
O
x
√
4−(x2 +y 2 )
z
c)
z= 21 (x2 +y 2 )
y
O
x
3
y
y
A)
y
B)
2
x
2
20 Naszkicować wykresy podanych funkcji:
q
p
2
a) f (x, y) = 1 − x2 + y 2 ;
b) f (x, y) = 4 − (x − 1) − y 2 ;
d) f (x, y) = sin y;
y
C)
e) f (x, y) = x2 − 1;
x
x
2
2
2
c) f (x, y) = 1 + (x − 1) + (y + 1) ;
f) f (x, y) = 1 − |x|.
21 Uzasadnić, że podane granice funkcji nie istnieją:
a)
sin2 x
;
(x,y)→(π,0) y 2
b)
c)
x2 y 2
;
(x,y)→(0,0) x4 + y 4
d)
lim
lim
lim
(x,y)→(1,1)
x+y−2
;
x2 + y 2 − 2
x2 y
.
(x,y)→(0,0) x4 + y 2
lim
22 Obliczyć, podane granice funkcji:
x4 − y 4
;
a)
lim
(x,y)→(0,0) x2 − y 2
x2 y 2 − 4x2 − y 2 + 4
b)
lim
;
(x,y)→(1,2)
xy − 2x − y + 2
tg x3 − y 3
;
d)
lim
x−y
(x,y)→(0,0)
e)
lim
xy 2
;
+ y2
(x,y)→(0,0) x2
c)
f)
lim
(x,y)→(0,0)
lim
(x,y)→(0,0)
1 − cos x2 + y 2
(x2 + y 2 )
2
;
1
x2 + y 2 sin
.
xy
23 Dobrać parametr a ∈ R tak, aby podane funkcjie były ciągłe w punkcie (x0 , y0 ) = (0, 0):


2
 xy
 sin xy dla (x, y) 6= (0, 0),
dla (x, y) 6= (0, 0),
y
b) f (x, y) =
a) f (x, y) =
x2 + y 2


a
dla (x, y) = (0, 0);
a
dla (x, y) = (0, 0);


2
2
2
2
 p x +y
 tg x + ay
dla (x, y) 6= (0, 0),
dla (x, y) 6= (0, 0),
c) f (x, y) =
d) f (x, y) =
x2 + y 2 + 1 − 1
x2 + 2y 2


1
dla (x, y) = (0, 0).
a
dla (x, y) = (0, 0);
Rachunek różniczkowy funkcji dwóch i trzech zmiennych
24 Korzystając z definicji obliczyć pochodne cząstkowe rzędu pierwszego podanych funkcji we wskazanych
punktach:

x2 + y 3
 p
x
+
y
dla (x, y) 6= (0, 0)
2
2 + y2
, (0, 0);
, (1, 1);
c) f (x, y) =
a) f (x, y) = x − xy + 1, (0, 1); b) f (x, y) =
x

x
0
dla
(x,
y)
=
(0,
0)
r
xy 2
z
d) f (x, y, z) =
, (0, 1, 1);
e) f (x, y, z) = y
, (1, 1, 1).
z
x
25 Obliczyć wszystkie pochodne cząstkowe pierwszego rzędu podanych funkcji:
x2 + y 2
;
xy
xz
d) f (x, y, z) = x2 +
+ yz 3 ;
y
a) f (x, y) =
1 − xy
;
x+y
x
;
e) f (x, y, z) = 2
x + y2 + z 2
b) f (x, y) = arc tg
4
c) f (x, y) = e
sin yx
;
f) f (x, y, z) = sin(x cos(y sin z)).
26 Obliczyć wszystkie pochodne cząstkowe drugiego rzędu podanych funkcji i sprawdzić, czy pochodne
cząstkowe mieszane są równe:
a) f (x, y) = sin x2 + y 2 ;
b) f (x, y) = xexy ;
c) f (x, y) = x +
y
;
x
d) f (x, y) = y ln xy;
1
;
e) f (x, y, z) = p
2
x + y2 + z 2
f) f (x, y, z) = ln x2 + y 4 + z 6 + 1 .
27 Obliczyć wskazane pochodne cząstkowe podanych funkcji:
a)
∂3f
, f (x, y) = sin xy;
∂x∂y 2
b)
∂4f
x+y
, f (x, y) =
;
∂y 2 ∂x∂y
x−y
c)
x2 y 3
∂3 f
, f (x, y, z) =
;
∂x∂y∂z
z
d)
∂5f
,
∂x∂y 2 ∂z 2
f (x, y, z) = exy+z .
28 Napisać równania płaszczyzn stycznych do wykresów podanych funkcji we wskazanych punktach wykresu:
p
b) z = ex+2y , (x0 , y0 , z0 ) = (2, −1, z0);
a) z = x2 y + 1, (x0 , y0 , z0 ) = (1, 3, z0 );
!
√
arc sin x
1
3
d) z = xy , (x0 , y0 , z0 ) = (2, 4, z0 ).
c) z =
, (x0 , y0 , z0 ) = − ,
, z0 ;
arc cos y
2 2
29 a) Na wykresie funkcji z = arc tg
płaszczyzny x + y − z = 5.
x
wskazać punkty, w których płaszczyzna styczna jest równoległa do
y
a) Wyznaczyć równanie płaszczyzny stycznej do wykresu funkcji z = arc ctg
prostej x =
t
t
, y = , z = t, gdzie t ∈ R.
2
2
1 − xy
, która jest prostopadła do
x+y
30 Wykorzystując różniczkę funkcji obliczyć przybliżone wartości podanych wyrażeń:
p
a) (1.02)3 · (0.997)2 ;
b) 3 (2.93)3 + (4.05)3 + (4.99)3 ;
c) 2.97 · e0.05 ;
d)
cos 0.05
.
1.96
31 a) Wysokość i promień podstawy stożka zmierzono z dokładnością ±1 mm. Otrzymano h = 350 mm
oraz r = 145 mm. Z jaką w przybliżeniu dokładnością można obliczyć objętość V tego stożka?
b) Krawędzie prostopadłościanu mają długości a = 3 m, b = 4 m, c = 12 m. Obliczyć w przybliżeniu, jak zmieni
się długość przekątnej prostopadłościanu d, jeżeli długości wszystkich krawędzi zwiększymy o 2 cm.
c) Oszacować błąd względny δV objętości prostopadłościamu V , jeżeli pomiaru jego boków x, y, z dokonano z
dokładnością odpowiednio ∆x , ∆y , ∆z .
32 Korzystając z definicji obliczyć pochodne kierunkowe podanych funkcji we wskazanych punktach i
kierunkach:
√ √ !
2
2
;
,
a) f (x, y) = 2|x| + |y|,
(x0 , y0 ) = (0, 0),
~v =
2
2
!
√
3 1
√
3
b) f (x, y) = xy,
(x0 , y0 ) = (1, 0),
;
,
~v =
2 2
3 4 12
2
c) f (x, y, z) = x + yz,
(x0 , y0 , z0 ) = (−1, 0, 1),
~v =
.
, ,
13 13 13
33 Obliczyć pochodne kierunkowe podanych funkcji we wskazanych punktach i kierunkach:
5
12 5
;
,
13 13
y
3 4
;
b) f (x, y) = x − 2 + y, (x0 , y0 ) = (1, 1), ~v =
,−
x
5 5
a) f (x, y) = x2 + y 2 , (x0 , y0 ) = (−3, 4), ~v =
c) f (x, y, z) = a − e
xyz
, (x0 , y0 , z0 ) = (−1, 1, −1), ~v =
√ !
1 3
3
;
,− ,
2 4 4
d) f (x, y, z) = sin yz + cos xz − sin (cos xy), (x0 , y0 , z0 ) = (0, 0, 0), ~v =
2 1 2
, ,−
.
3 3 3
1
34 a) Obliczyć pochodną kierunkową funkcji f (x, y) = y − x + 2 ln(xy). w punkcie − , −1 w kierunku
2
wersora ~v tworzącego kąt α z dodatnim zwrotem osi Ox. Dla jakiego kąta α, pochodna ta ma wartość 0, a dla
jakiego przyjmuje wartość największą?
√
b) Wyznaczyć wersory ~v , w kierunku których funkcja f (x, y) = ex x + y 2 w punkcie (0, 2) ma pochodną
kierunkową równą 0.
2
35 Znaleźć ekstrema podanych funkcji:
a) f (x, y) = 3(x − 1)2 + 4(y + 2)2 ;
b) f (x, y) = x3 + y 3 − 3xy;
c) f (x, y) = x3 + 3xy 2 − 51x − 24y;
d) f (x, y) = e−(x
e) f (x, y) = xy 2 (12 − x − y), gdzie x, y > 0;
f) f (x, y) =
2
+y 2 +2x)
;
8 x
+ + y; gdzie x, y > 0.
x y
36 Znaleźć najmniejsze i największe wartości podanych funkcji na wskazanych zbiorach:
a) f (x, y) = x2 + y 2 ,
c) f (x, y) = x4 + y 4 ,
|x| + |y| ¬ 2;
x2 + y 2 ¬ 9;
b) f (x, y) = xy 2 + 4xy − 4x,
−3 ¬ x ¬ 3, −3 ¬ y ¬ 0;
2
2
x −1 y −1
d*) f (x, y) =
,
R2 .
x2 + y 2 + 2
37 a) W trójkącie o wierzchołkach A = (−1, 5), B = (1, 4), C = (2, −3) znaleźć punkt M = (x0 , y0 ), dla
którego suma kwadratów jego odległości od wierzchołków jest najmniejsza.
b) Jakie powinny być długość a, szerokość b i wysokość h prostopadłościennej otwartej wanny o pojemności V ,
aby ilość blachy zużytej do jej zrobienia była najmniejsza?
c) Znaleźć odległość między prostymi skośnymi:
x + y − 1 = 0,
k:
z+1
= 0,
l:
x − y + 3 = 0,
z−2
= 0.
d) Prostopadłościenny magazyn ma mieć objętość V = 216 m3 . Do budowy ścian magazynu używane są płyty
w cenie 30 zł/m2 , do budowy podłogi w cenie 40 zł/m2 , a sufitu w cenie 20 zł/m2 . Znaleźć długość a, szerokość
b i wysokość c magazynu, którego koszt budowy będzie najmniejszy.
Całki podwójne
38 Obliczyć dane całki podwójne po wskazanych prostokątach:
ZZ
dxdy
, gdzie R = [0, 2] × [0, 1];
a)
(x + y + 1)3
R
b)
ZZ
x sin xy dxdy, gdzie R = [0, 1] × [π, 2π];
c)
ZZ
e2x−y dxdy, gdzie R = [0, 1] × [−1, 0].
R
R
39 Całkę podwójną
o równaniach:
ZZ
f (x, y) dxdy zamienić na całki iterowane, jeżeli obszar D ograniczony jest krzywymi
D
6
a) x2 + y = 2, y 3 = x2 ;
b) x2 + y 2 = 4, y = 2x − x2 , x = 0 (x, y ­ 0);
c) x2 − 4x + y 2 + 6y − 51 = 0;
d) x2 − y 2 = 1, x2 + y 2 = 3 (x < 0).
40 Obliczyć podane całki iterowane:
a)
Z1
dx
0
c)
Z2
dx
Zx2
y
dy;
x2
dx
Z3
Zy p
dy
y 2 + 16 dx.
1
x3
√
Z4−x2
3
x +y
0
−2
b)
3
dy;
d)
Z2x
Z4
0
Narysować obszary całkowania.
√
x2 y − x dy;
x
0
41 Narysować obszar całkowania, a następnie zmienić kolejność całkowania w podanych całkach:
a)
Z1
−1
Z|x|
dx f (x, y) dy;
0
√
Z2
d)
√
− 2
b)
Z1
dx
e)
Zπ
−1
y2
dy
Z2
f (x, y) dx;
y 2 −1
−
π
2
√
Z0
f (x, y) dy;
c)
dx
√
0
1−x2
dx
Z4
sin
Z x
f (x, y) dy;
f)
cos x
Ze
1
dx
√
2
Z x
f (x, y) dy;
4x−x2
Z1
f (x, y) dy.
ln x
* 42 Obliczyć podane całki podwójne po wskazanych obszarach:
ZZ
a)
min(x, y) dxdy, gdzie D = [0, 1]×[0, 2];
D
b)
ZZ
bx + yc dxdy, gdzie D = [0, 2]×[0, 2];
D
c)
ZZ
D
d)
ZZ
D
|x − y| dxdy, gdzie D = (x, y) ∈ R2 : x ­ 0, 0 ¬ y ¬ 3 − 2x ;
sgn x2 − y 2 + 2 dxdy , gdzie D = (x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 ¬ 4 .
Uwaga. Symbol min(a, b) oznacza mniejszą spośród liczb a, b, z kolei buc oznacza część całkowitą liczby u.
43 Obliczyć wartości średnie podanych funkcji na wskazanych obszarach:
h πi
a) f (x, y) = sin x cos y, gdzie D = [0, π] × 0, ;
2
b) f (x, y) = x + y, gdzie D : 0 ¬ y ¬ π, 0 ¬ x ¬ sin y.
44 Wprowadzając współrzędne biegunowe obliczyć podane całki podwójne po wskazanych obszarach:
ZZ
a)
xy dxdy, gdzie D : x ­ 0, 1 ¬ x2 + y 2 ¬ 2;
D
b)
ZZ
c)
ZZ
y 2 ex
2
+y 2
dxdy, gdzie D : x ­ 0, y ­ 0, x2 + y 2 ¬ 1;
D
D
d*)
ZZ
D
x2 + y 2 dxdy, gdzie D : y ­ 0, y ¬ x2 + y 2 ¬ x;
p
2
x x2 + y 2 dxdy, gdzie D : x ­ 0, x2 + y 2 ¬ 4 x2 − y 2 .
7
45 Obliczyć pola obszarów ograniczonych podanymi krzywymi:
a) y 2 = 4x,
c) x + y = 4,
x + y = 3,
b) x2 + y 2 − 2y = 0,
y = 0 (y ­ 0);
x + y = 8,
x − 3y = 0,
x − 3y = 5;
d) x2 + y 2 = 2y,
x2 + y 2 − 4y = 0;
√
y = 3|x|.
46 Obliczyć objętości brył ograniczonych podanymi powierzchniami:
2
a) x + y 2 − 2y = 0,
z = x2 + y 2 ,
c*) (x − 1)2 + (y − 1)2 = 1,
b) x2 + y 2 + z 2 − 2z = 0;
z = 0;
z = xy,
z = 0;
d*) 2z = x2 + y 2 ,
y + z = 4.
47 Obliczyć pola podanych płatów:
a) z = x2 + y 2 , x2 + y 2 ¬ 1;
b) x2 + y 2 + z 2 = R2 , x2 + y 2 − Rx ¬ 0, z ­ 0;
p
c) z = x2 + y 2 , 1 ¬ z ¬ 2.
48 Obliczyć masy podanych obszarów o wskazanych gęstościach powierzchniowych:
a) D = (x, y) ∈ R2 : 0 ¬ x ¬ π, 0 ¬ y ¬ sin x , gdzie σ(x, y) = x;
b) D = (x, y) ∈ R2 : 1 ¬ x2 + y 2 ¬ 4, y ­ 0 , gdzie σ(x, y) = |x|.
49 Znaleźć położenia środków masy podanych obszarów jednorodnych:
a) D — trójkąt równoramienny o podstawie a i wysokości h;
b) D = (x, y) ∈ R2 : 0 ¬ x ¬ π, 0 ¬ y ¬ sin2 x ;
c) D = (x, y) ∈ R2 : x2 ¬ y ¬ 1 ;
d) D = (x, y) ∈ R2 : 0 ¬ x ¬ 1, 0 ¬ y ¬ ex .
50 Obliczyć momenty bezwładności podanych obszarów względem wskazanych osi:
a) D – kwadrat jednorodny o boku a, przekątna kwadratu, przyjąć σ(x, y) = 1;
p
b) D = (x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 ¬ R2 , y ­ 0 , oś Ox, przyjąć σ(x, y) = x2 + y 2 ;
c) D = (x, y) ∈ R2 : 0 ¬ y ¬ 1 − x2 , oś symetrii obszaru, przyjąć σ(x, y) = x2 ;
d) D = (x, y) ∈ R2 : 0 ¬ x ¬ π, 0 ¬ y ¬ sin x , oś Ox, przyjąć σ(x, y) = x.
Szeregi liczbowe i potęgowe
51 Znaleźć sumy częściowe podanych szeregów i następnie zbadać ich zbieżność:
∞
∞ n
X
X
n−1
5
;
;
b)
a)
6
n!
n=2
n=0
c)
∞
X
1
;
(2n − 1)(2n + 1)
n=1
d)
∞
X
1
√
√ .
n+1+ n
n=1
Uwaga. W przykładzie b) przyjąć, że Sn =
n
X
ak , gdzie n ­ 2.
k=2
52 Korzystając z kryterium całkowego zbadać zbieżność podanych szeregów:
∞
X
1
n
a)
;
b)
;
2
2
n +n
n +4
n=1
n=1
∞
X
c)
∞
X
ln n
;
n2
n=2
d)
∞
X
1
√
.
n n+1
n=1
53 Korzystając z kryterium ilorazowego zbadać zbieżność podanych szeregów:
8
a)
c)
∞
X
n2 + n + 1
;
2n3 − 1
n=1
∞
X
n+1
√
;
n3 + 1
n=1
π
∞ sin
X
3n .
d)
π
n=1 sin n
2
b)
∞
X
2n − 1
;
3n − 1
n=1
54 Korzystając z kryterium porównawczego zbadać zbieżność podanych szeregów:
∞
∞
∞
X
X
X
3
n+1
π
a)
sin n ;
;
b)
;
c)
2+2
2+1
n
n
2
n=1
n=1
n=1
d)
∞
X
2n + sin n!
;
3n
n=0
e)
∞
X
3 − 2 cos n2
√
;
n
n=1
f)
∞
X
3n + 1
.
n3n + 2n
n=1
55 Korzystając z kryterium d’Alemberta zbadać zbieżność podanych szeregów:
∞
∞
X
X
n!
π
100n
c)
;
;
b)
n2 sin n ;
a)
n!
2
nn
n=1
n=1
n=1
∞
X
d)
∞
2
X
(n!)
;
(2n)!
n=1
e)
∞
X
nn
;
3n n!
n=1
f)
∞
X
2n + 1
.
n5 + 1
n=1
56 Korzystając z kryterium Cauchy’ego zbadać zbieżność podanych szeregów:
∞
∞
X
X
(n + 1)2n
2n + 3n
a)
;
;
b)
n
2
3n + 4n
(2n + 1)
n=1
n=1
c)
∞
X
2
3 n nn
;
(n + 1)n2
n=1
d)
∞
X
arc cosn
n=1
1
.
n2
57 Wykazać zbieżność odpowiedniego szeregu i następnie na podstawie warunku koniecznego zbieżności
szeregów uzasadnić podane równości:
7n
nn
a) lim 5 = ∞;
b) lim
= 0;
n→∞ n
n→∞ (n!)2
c) lim
n→∞
n!
= 0;
nn
d*) lim
n→∞
(3n)!(4n)!
= 0.
(5n)!(2n)!
58 Zbadać zbieżność podanych szeregów naprzemiennych:
∞
X
n−1
n2
(−1)n 2
a)
(−1)n
;
;
b)
n +5
(2n + 3)n
n=1
n=1
n ∞
∞
X
X
ln n
1
(−1)n+1
c)
.
(−1)n+1 e − 1 +
;
d)
n ln ln n
n
n=3
n=1
∞
X
59 Obliczyć sumy przybliżone podanych szeregów ze wskazaną dokładnością:
∞
X
1
1
−6
,
δ
=
10
;
b)
(−1)n
, δ = 10−3 .
a)
(−1)n+1
n
n10
(2n
+
1)!
n=0
n=1
∞
X
60 Zbadać zbieżność oraz zbieżność bezwzględną podanych szeregów:
n
∞
∞ ∞
X
X
X
(−1)n n
−2n
(−1)n+1
;
;
b)
;
c)
a)
2n + 1
n2 + 1
3n + 5
n=2
n=1
n=1
d)
∞
X
√
n
(−1)n
3−1 ;
n=2
b n2 c
∞
X
(−1)
f*)
.
n+1
n=0
∞
X
(−2)n
e)
;
3n + 1
n=0
61 Wyznaczyć przedziały zbieżności podanych szeregów potęgowych:
9
a)
d)
∞
X
xn
;
n2n
n=1
∞
X
xn
;
n
2 + 3n
n=0
∞
X
b)
n=1
e)
n(x − 2)n ;
c)
∞
X
n
(x + 1)n ;
2
n
+
1
n=1
∞
X
(x + 3)n
;
n3
n=1
f*)
∞
X
n!xn
.
nn
n=1
62 Znaleźć szeregi Maclaurina podanych funkcji i określić przedziały ich zbieżności:
2
x
a)
;
b) cos ;
c) xe−2x ;
1 − 3x
2
x
;
e) sh x;
f*) sin4 x.
d)
9 + x2
63 Korzystając z rozwinięć Maclaurina funkcji elementarnych obliczyć podane pochodne:
x
a) f
(0), gdzie f (x) = x sin x;
b) f (2006) (0), gdzie f (x) = x ;
e
x3
(10)
(21)
;
d) f
(0), gdzie f (x) = sin2 3x.
c) f
(0), gdzie f (x) =
1 + x2
(50)
0
64 Wyznaczyć szeregi potęgowe funkcji f (x) oraz
Zx
f (t) dt, jeżeli funkcja f określona jest wzorem:
0
a) f (x) =
1
;
2x − 1
b) f (x) =
1
.
1 + x2
65 Stosując twierdzenia o różniczkowaniu i/lub całkowaniu szeregów potęgowych obliczyć sumy podanych
szeregów:
∞
∞
∞
X
X
X
1
2n − 1
n(n + 1)
a)
;
b)
;
c)
.
n
n
(n + 1)2
3
4n
n=0
n=2
n=1
66 Obliczyć podane całki oznaczone ze wskazaną dokładnością:
Z1
Z1
x2
sin x2 dx, δ = 0.0001.
a) e dx, δ = 0.001;
0
0
Tematy dodatkowe
Całki potrójne
67 Obliczyć podane całki potrójne po wskazanych prostopadłościanach:
ZZZ
x dxdydz
a)
, gdzie U = [1, 2] × [1, e] × [1, e];
yz
U
ZZ
Z
b)
(x + y + z) dxdydz, gdzie U = [1, 2] × [2, 3] × [3, 4];
c)
U
ZZ
Z
sin x sin(x + y) sin(x + y + z) dxdydz, gdzie U = [0, π] × [0, π] × [0, π];
U
d)
ZZZ
(x + y)ex+z dxdydz, gdzie U = [0, 1] × [0, 1] × [0, 1].
U
68 Całkę potrójną
ZZZ
f (x, y, z) dxdydz zamienić na całki iterowane, jeżeli obszar U jest ograniczony po-
U
wierzchniami o podanych równaniach:
p
a) z = 2 x2 + y 2 , z = 6;
b) x2 + y 2 + z 2 = 25, z = 4, (z ­ 4);
10
c) z = x2 + y 2 , z =
p
20 − x2 − y 2 .
69 W podanych całkach iterowanych zmienić kolejność całkowania (rozważyć wszystkie przypadki):
√ 2 2
3
4−x −y
3−3x−
2−2x
Z
Z
Z1
Z0
Z2
Z 2y
f (x, y, z) dz;
dy
dy
a) dx
dx
f (x, y, z) dz;
b)
√
√ 2 2
2
0
0
−2
0
− 4−x
c)
Z3
dz
0
√
Zz
dx
√
− z
√
Zz−x2
f (x, y, z) dy;
d)
√
Z1
0
− z−x2
dx
√
Z1−x2
−
dy
0
Z1
4−x −y
f (x, y, z) dz.
x2 +y 2
70 Obliczyć całki potrójne z danych funkcji po wskazanych obszarach:
a) f (x, y, z) = ex + y + z , gdzie U : x ¬ 0, −x ¬ y ¬ 1, 0 ¬ z ¬ −x;
b) f (x, y, z) =
1
, gdzie U : x ­ 0, y ­ 0, 0 ¬ z ¬ 1−x−y;
(3x+2y +z +1)4
c) f (x, y, z) = x2 + y 2 , gdzie U : x2 + y 2 ¬ 4, 1 − x ¬ z ¬ 2 − x;
d) f (x, y, z) = x2 y 2 , gdzie U : 0 ¬ x ¬ y ¬ z ¬ 1.
71 Wprowadzając współrzędne walcowe obliczyć podane całki po wskazanych obszarach:
ZZZ
2
x2 + y 2 + z 2 dxdydz, gdzie U : x2 + y 2 ¬ 4, 0 ¬ z ¬ 1;
a)
U
b)
ZZZ
c)
ZZZ
U
d)
U
ZZ
Z
xyz dxdydz, gdzie U :
p
p
x2 + y 2 ¬ z ¬ 1 − x2 − y 2 ;
x2 + y 2 dxdydz, gdzie U : x2 + y 2 + z 2 ¬ R2 , x2 + y 2 + z 2 ¬ 2Rz;
(x + y + z) dxdydz, gdzie U : x2 + y 2 ¬ 1, 0 ¬ z ¬ 2 − x − y.
U
72 Wprowadzając współrzędne sferyczne obliczyć podane całki po wskazanych obszarach:
ZZZ
dxdydz
p
, gdzie U : 4 ¬ x2 + y 2 + z 2 ¬ 9;
a)
2
x + y2 + z 2
U
ZZ
Z
p
p
x2 + y 2 dxdydz, gdzie U : x2 + y 2 ¬ z ¬ 1 − x2 − y 2 ;
b)
U
c)
d)
ZZZ
U
ZZ
Z
z 2 dxdydz, gdzie U : x2 + y 2 + (z − R)2 ¬ R2 (R > 0);
x2 dxdydz, gdzie U : x2 + y 2 + z 2 ¬ 4x.
U
73 Obliczyć objętości obszarów U ograniczonych podanymi powierzchniami:
2
a) x + y 2 = 9, x + y + z = 1, x + y + z = 5;
c) z =
1
, z = 0, x2 + y 2 = 1;
1 + x2 + y 2
b) x = −1, x = 2, z = 4 − y 2 , z = 2 + y 2 ;
d) x2 + y 2 + z 2 = 2, y = 1 (y ­ 1).
74 Obliczyć masy podanych obszarów o zadanych gęstościach objętościowych:
a) U = [0, a] × [0, b] × [0, c], gdzie γ(x, y, z) = x + y + z oraz a, b, c > 0;
b) U : x2 + y 2 + z 2 ¬ 9, gdzie γ(x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 .
75 Wyznaczyć położenia środków masy podanych obszarów jednorodnych:
a) U : 0 ¬ x ¬ 1, 0 ¬ y ¬ 1 − x, 0 ¬ z ¬ 1 − x;
b) stożek o promieniu podstawy R i wysokości H;
p
c) U : x2 + y 2 ¬ z ¬ 2 − x2 − y 2 .
11
76 Obliczyć momenty bezwładności względem wskazanych osi podanych obszarów jednorodnych o masie
M:
a) walec o promieniu podstawy R i wysokości H, względem osi walca;
b) stożek o promieniu podstawy R i wysokości H, względem osi stożka;
c) walec o promieniu podstawy R i wysokości H, względem średnicy podstawy.
Równania różniczkowe
77 a) Z pewnej substancji radioaktywnej po upływie 4 lat zostało 20 gram, a po upływie dalszych 4 lat
tylko 4 gramy. Wyznaczyć masę substancji w chwili początkowej.
b) Polon-210 ma okres połowicznego zaniku równy 140 dni. Znaleźć masę tego pierwiastka po 100 dniach, jeżeli
jego masa początkowa wynosiła 200 g.
c) Okres połowicznego zaniku pewnego pierwiastka promieniotwórczego jest równy 100 lat. Ile procent masy
początkowej tego pierwiastka pozostanie po i) 10, ii) 50, iii) 200 latach?
78 Scałkować podane równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych:
a) yy 0 + 4t = 0;
b) dy = 2ty 2 dt;
c) t y 2 − 1 dt + y t2 − 1 dy = 0;
p
√
d) 2 ty 0 = 1 − y 2 ;
e) y 0 = 1 + t + y + ty;
f) y 0 + 4y = y e−t + 4 .
79 Rozwiązać podane zagadnienia początkowe dla równań różniczkowych o rozdzielonych zmiennych:
π
p
p
= e;
b) t 1 − y 2 dt + y 1 − t2 dy = 0, y(0) = 1;
a) y 0 sin t = y ln y, y
2
y(0) = 1;
c) t(y + 1)y 0 = y,
y(e) = 1;
d) y cos tdt − 1 + y 2 dy = 0,
e) y 0 = y 2 1 + t2 ,
y(0) = −2; f) ey (y 0 − 1) = 1,
y(0) = 0.
80 Rozwiązać podane równania różniczkowe liniowe niejednorodne:
2
a) y 0 + y = sin t;
b) y 0 + 2ty = e−t ;
c) ty 0 − 2y = t3 cos t;
d) ty 0 − 2y = 4t4 ;
e) ty + et − ty 0 = 0;
f) (2t + 1)y 0 = 4t + 2y.
81 Wyznaczyć rozwiązania podanych zagadnień początkowych dla równań liniowych niejednorodnych:
0
a) y − y = 1, y(3) = 3;
c) ty 0 + y = t + 1, y(1) = 0;
b) y 0 = (y + 1) sin t, y (t0 ) = y0 ;
π = 0.
d) y 0 sin t cos t = y + sin3 t, y
4
* 82
Znaleźć równanie krzywej przechodzącej przez punkt (1,1), dla której pole trójkąta OST (rysunek) utworzonego
przez oś Ot, styczną i wektor wodzący punktu styczności jest stałe i równa się 1.
y
b
S
y=y(t)
O
T
t
83 Napisać równania charakterystyczne podanych równań różniczkowych:
a) y 00 − 2y 0 + y = 0;
d) 2y 00 − 3y 0 + 4y = 0;
b) y 00 − 3y = 0;
e) y 00 = 2y;
c) 4y 00 + y 0 = 0;
f) y 00 = 4y 06 − 2y.
84 Wyznaczyć równania różniczkowe liniowe jednorodne o stałych współczynnikach postaci y 00 + py 0 + qy =
0, jeżeli podane są pierwiastki ich wielomianów charakterystycznych:
a) λ1 = 2, λ2 = 3;
b) λ1 = −1, λ2 = 0;
c) λ1 = λ2 = −2;
√
d) λ1 = i;
e) λ1 = 1 + 3i;
f) λ1 = 2 − i.
12
85 Rozwiązać podane równania różniczkowe liniowe o stałych współczynnikach:
a) 6y 00 − 5y 0 + y = 0;
b) y 00 − y 0 − 2y = 0;
c) 4y 00 − 4y + y = 0;
d) y 00 + y 0 +
e) y 00 − 4y 0 + 5y = 0;
f) y 00 − 2y 0 + 5y = 0;
h) 7y 00 + 4y 0 − 3y = 0;
i) y 00 − 6y 0 + 9y = 0.
y
= 0;
4
g) y 00 + 6y 0 + 18y = 0;
86 Rozwiązać podane zagadnienia początkowe:
π
= 1, y 0
π a) y 00 + y 0 − 6y = 0, y (0) = 1, y 0 (0) = 0;
b) y 00 + 9y = 0, y
c) y 00 − 2y 0 + y = 0, y (1) = 2, y 0 (1) = 3;
d) y 00 − 7y 0 + 12y = 0, y (0) = 3, y 0 (0) = −2.
3
3
= 1;
87 Korzystając z metody uzmienniania stałych rozwiązać podane równania różniczkowe:
1
;
a) y 00 + 4y 0 + 4y = e−2t ;
b) y 00 + 4y =
cos 2t
4t2 + 1
√ ;
c) y 00 − y =
d) y 00 − 2y 0 tg t = 1;
t t
1
;
f) y 00 + 3y 0 + 2y = cos et .
e) y 00 + 3y 0 + 2y =
1 + et
88 Korzystając z metody współczynników nieoznaczonych (metoda przewidywania) rozwiązać podane równania różniczkowe liniowe niejednorodne:
a) y 00 + 2y 0 + y = −2;
b) y 00 − 4y 0 + 4y = t2 ;
c) y 00 + 4y 0 + 4y = 8e−2t ;
d) y 00 + 3y 0 = 3te−3t ;
e) y 00 + 5y 0 + 6y = 10(1 − t)e−2t ;
f) y 00 + 4y 0 − 4y = 8 sin 2t;
g) y 00 + 9y = 3 sin 3t + 2 cos 3t;
h) y 00 + α2 y = cos αt, gdzie α 6= 0.
89 Rozwiązać podane zagadnienia początkowe:
a) y 00 + y = 2(1 − t), y(0) = 2, y 0 (0) = −2;
b) y 00 − 6y 0 + 9y = 9t2 − 12t + 2, y(0) = 1, y 0 (0) = 3;
c) y 00 + 6y 0 + 9y = 10 sin t, y(0) = 0, y 0 (0) = 0;
d) y 00 + y 0 = e−t , y (0) = 1, y 0 (0) = −1.
Funkcje uwikłane
90
Zbadać, czy podane równania określają jednoznacznie ciągłe funkcje uwikłane y = y(x) na pewnych otoczeniach
zadanych punktów:
a) xy − y x = 0, i) A = (2, 4), ii*) B = (e, e), iii) C = (3, 3);
b) x4 − 2x2 y 2 + y 4 = 0, i) A = (0, 0), ii*) B = (1, 1), iii) C = (−1, 1) .
91
Napisać równania stycznych do krzywych określonych podanymi równaniami we wskazanych punktach tych
krzywych:
a) x3 + x − y 3 − y = 0, (2, 2);
b) x2 + y 2 − 3xy + x = 0, (1, 1);
c) ex+y − 1 = x2 − y 2 , (1, −1).
92
Obliczyć pierwszą i drugą pochodną funkcji uwikłanych y = y(x) określonych podanymi równaniami:
a) xey − y + 1 = 0;
b) x2 + y 2 − 3xy = 0;
c) x − y = sin x − sin y.
93
Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji uwikłanych postaci y = y(x) określonych podanymi równaniami:
a) x2 + y 2 − xy − 2x + 4y = 0;
b) (x − y)2 = y + xy − 3x;
c) x2 (x + 3) = 3y 3 + 3y + 2.
13
Szeregi funkcyjne i Fouriera
94 W przedziale [0, a], gdzie a > 0 wyznaczyć granicę punktową oraz zbadać jednostajną zbieźność do niej
podanych ciągów funkcyjnych:
1
x
nx2
a) fn (x) = 2
;
b)
f
(x)
=
;
c)
f
(x)
=
.
n
n
x + n2
nx + 1
nx + 1
95 Wyznaczyć obszary zbieżności podanych szeregów funkcyjnych:
∞
X
1
xn
a)
;
b)
;
nx2n
(1 − x)n
n=1
n=1
∞
X
c)
∞ n
X
x
n=0
1
+ n ;
3n
x
d)
∞
X
(x + 1)n (x + 2)n .
n=1
96 Wyznaczyć obszary zbieżności i obszary zbieżności bezwzględnej podanych szeregów funkcyjnych:
∞
∞
X
X
x
1
a)
2n sin n ;
b)
(−1)n x ;
3
n
n=0
n=1
c)
∞
X
(x − 2)n
;
nx
n=1
d)
∞
X
xn
.
1 + x2n
n=1
97 Korzystając z kryterium Weierstrassa uzasadnić jednostajną zbieżność podanych szeregów funkcyjnych
na wskazanych przedziałach:
∞
∞
X
X
1
,
R;
b)
x2 e−nx , [0, ∞);
a)
2 + n2
x
n=1
n=1
c)
∞
X
(−1)n
, (−2, ∞);
x + 2n
n=1
d)
∞
X
n2
1
1
√
,2 .
xn + n ,
x
2
n!
n=1
98 Uzasadnić, że sumy podanych szeregów funkcyjnych są funkcjami ciągłymi na wskazanych przedziałach:
∞
X
x
1 1
n
.
a)
, [0, ∞);
b)
n (2x) , − ,
((n − 1)x + 1) (nx + 1)
2 2
n=1
n=1
∞
X
99 Wyznaczyć szeregi Fouriera na przedziale [−π, π] podanych funkcji i zbadać ich zbieżność:
(
0 dla −π ¬ x ¬ 0,
x
a) f (x) = e ;
b) f (x) =
x2 dla 0 < x ¬ π;
(
1 dla −π ¬ x ¬ 0,
c) f (x) = |sin x|;
d) f (x) =
−x dla 0 < x ¬ π.
Elementy analizy wektorowej
100
Obliczyć całki krzywoliniowe zorientowane z podanych pól wektorowych po wskazanych łukach (zorientowanych
zgodnie ze swoją parametryzacją):
a) ~
F(x, y) = x2 + y 2 , xy , Γ : x = t, y = et , gdzie t ∈ [0, 1];
b) ~
F(x, y, z) = (yz, xz, xy) Γ : x = cos t, y = sin t, z = t, gdzie t ∈ [0, 2π];
c) ~
F(x, y, z) = (y, z, x), Γ – odcinek AB, gdzie A = (1, −1, 2), B = (0, 2, 3).
101
Obliczyć całki krzywoliniowe z podanych pól wektorowych po łukach określonych wskazanymi równaniami
(orientacja łuku jest zgodna ze wzrostem parametru x):
a) ~
F(x, y) = (x − y, x + y), Γ : y = sin x, gdzie 0 ¬ x ¬ π;
b) ~
F(x, y) = (ln x, ln y), Γ : y = x2 , gdzie 1 ¬ x ¬ e.
14
102
Obliczyć podane całki krzywoliniowe zorientowane po wskazanych łukach zamkniętych:
Z
a) xy dx + x2 dy, gdzie Γ jest brzegiem trójkąta o wierzchołkach A = (0, 0), B = (1, 2), C = (−1, 4),
Γ
zorientowany dodatnio;
Z
b) x2 y dx + xy(y + 1) dy, gdzie Γ jest okręgiem x2 + y 2 + 2y = 0, zorientowany dodatnio;
Γ
Z
c) (3x + 5z) dx + (x + 4y) dy + (6x − z) dz, gdzie Γ jest brzegiem trójkąta o wierzchołkach A = (2, 0, 0),
Γ
B = (0, 2, 0), C = (0, 0, 2), obiegany w kolejności ABCA.
103
Obliczyć całki krzywoliniowe zorientowane z podanych potencjalnych pól wektorowych ~
F po dowolnym łuku o
początku A i końcu B:
a) ~
F(x, y) = (x, y), A = (1, 1), B = (−1, −2);
π π
, B = (π, π);
,
b) ~
F(x, y) = (sin x cos y, cos x sin y), A =
2 2
c) ~
F(x, y, z) = x2 − 2yz, y 2 − 2xz, z 2 − 2xy , A = (0, 0, 0), B = (1, 1, 1).
104
Sprawdzić, że podane całki krzywoliniowe nie zależą od kształtu krzywej całkowania i następnie obliczyć je:
(Z1, π2 )
ex cos y dx − ex sin y dy;
a)
(0,0)
b)
(1,2)
Z
y
1
dx − dy, wzdłuż łuku nie przechodzącego przez oś Oy;
2
x
x
(2,1)
c)
(2,3,4)
Z
(1,1,1)
x2 − 2yz dx + y 2 − 2xz dy + z 2 − 2xy dz.
105
Wykorzystując twierdzenie Greena obliczyć podane całki krzywoliniowe zorientowane. Sprawdzić wynik obliczając te całki bezpośrednio:
Z
a) 1 − x2 y dx + x 1 + y 2 dy, gdzie Γ jest okręgiem x2 + y 2 = R2 , zorientowanym dodatnio;
Γ
Z
b) x2 + y dx + x + y 2 dy, gdzie Γ jest brzegiem trójkąta o wierzchołkach A = (1, 1), B = (3, 2),
Γ
C = (2, 5), zorientowanym dodatnio;
Z
c) ex (1 − cos y) dx − ex (y − sin y) dy, gdzie Γ jest brzegiem obszaru 0 ¬ x ¬ π, 0 ¬ y ¬ sin x, zorientoΓ
wanym dodatnio.
106
Obliczyć podane całki powierzchniowe zorientowane:
ZZ
⊃ xy dydz + yz dzdx + xz dxdy , gdzie Σ jest zewnętrzną stroną powierzchni czworościanu ograniczoa) ⊂
Σ
nego płaszczyznami x = 0, y = 0, z = 0, x + y + z = 1;
ZZ
b) ⊂
⊃ xy2 dydz + yz 2 dzdx + zx2 dxdy , gdzie Σ jest zewnętrzną stroną powierzchni sześcianu 0 ¬ x ¬ 1,
Σ
0 ¬ y ¬ 1, 0 ¬ z ¬ 1;
ZZ
p
c)
x2 dydz + y 2 dzdx + z 2 dxdy ; gdzie Σ jest górną stroną powierzchni stożka z = x2 + y 2 , z ¬ 1;
Σ
15
d)
ZZ
⊂⊃ z 2 dxdy , gdzie Σ jest zewnętrzną stroną sfery x2 + y2 + z 2 = 4.
Σ
107
Uzasadnić podane wzory:
g grad f − f grad g
f
=
;
a) grad
g
g2
~
b) rot (grad U ) = O;
~ =G
~ ◦ rot ~
~
c) div ~
F×G
F−~
F ◦ rot G.
108
Przy pomocy twierdzenia Gaussa–Ostrogradskiego obliczyć podane całki powierzchniowe. Sprawdzić otrzymane
wyniki obliczając te całki bezpośrednio:
ZZ
a) ⊂
⊃ 2xy dydz − y2 dzdx + 2z dxdy ,
Σ
gdzie Σ jest zewnętrzną stroną brzegu obszaru V : x2 + y 2 + z 2 ¬ 9, x ­ 0, y ­ 0, z ­ 0;
ZZ
b) ⊂
⊃ (x + z) dydz + (x + y) dzdx + (y + z) dxdy ,
Σ
gdzie Σ jest zewnętrzną stroną brzegu obszaru V : x2 + y 2 ¬ R2 , x + y + z ¬ 2R, z ­ 0;
ZZ
c) ⊂
⊃ x3 dydz + y3 dzdx + z 3 dxdy ,
Σ
gdzie Σ jest wewnętrzną stroną powierzchni walca V : x2 + y 2 ¬ R2 , 0 ¬ z ¬ H.
109
Korzystając z twierdzenia Stokesa obliczyć podane całki krzywoliniowe. Sprawdzić otrzymane wyniki obliczając
te całki bezpośrednio:
Z
a) x2 y 3 dx + dy + z dz, gdzie Γ jest okręgiem x2 + y 2 = R2 , z = 0, zorientowanym dodatnio;
Γ
Z
b) x dx + (x + y) dy + (x + y + z) dz, gdzie Γ : x = sin t, y = cos t, z = sin t + cos t dla t ∈ [0, 2π];
Γ
Z
c) (y + z) dx + (z + x) dy + (x + y) dz, gdzie Γ jest okręgiem x2 + y 2 + z 2 = R2 , x = y.
Γ
Opracowanie: dr Marian Gewert, doc. Zbigniew Skoczylas
Konsultacja: dr Jolanta Sulkowska
16