R q 1/3 R q q

Segment B.IX
Pole elektrostatyczne
Przygotował: mgr Adam Urbanowicz
Zad. 1
W atomie wodoru odległość między elektronem i protonem wynosi około r = 5,3 · 10−11 m. Obliczyć
siłę przyciągania elektrostatycznego i grawitacyjnego między tymi dwiema cząstkami. Porównać je.
Ładunek elementarny e = 1,6 · 10−19 C, przenikalność elektryczna próżni ε0 = 8,85 · 10−12 F/m,
stała grawitacji G = 6,67 · 10−11 m3 /kg · s2 , masa elektronu me = 9,11 · 10−31 kg, masa protonu
mp = 1,67 · 10−27 kg.
Odp.: Fe /Fg =
1
e2
4πε0 Gme mp
≈ 2,27 · 1039
Źrd.: R. Resnick, D. Halliday - Podstawy Fizyki t.2
Zad. 2
Dwa ładunki q1 = 3 · 10−9 C i q2 = 5 · 10−9 C zostały rozsunięte na taką odległość, że siła działająca
między nimi wyniosła 5 N. Na jaką odległość r0 zostały rozsunięte te ładunki?
Odp.: r =
q
q1 q2 /(4πε0 F ) = 1,64 · 10−4 m
Źrd.: R. Resnick, D. Halliday - Podstawy Fizyki t.2
Zad. 3
Znaleźć wypadkowy wektor siły elektrostatycznej F~1 działającej na cząstkę q1 . Ładunki cząstek wynoszą:
q1 = 2 · 10−9 C, q2 = −4 · 10−9 C, q3 = 6 · 10−9 C, odległość R wynosi 3 mm.
R
q1
q2
q3
1/3 R
q1 q2
1
Odp.: F~1 = ( 4πε
2 +
0 (R/3)
1 q1 q3
)~ex
4πε0 R2
= −(5,99 · 10−4 N)~ex
Zad. 4
Znaleźć wartość wypadkowego wektora siły elektrostatycznej F~1 działającej na cząstkę q1 . Ładunki
cząstek wynoszą: q1 = 2 · 10−9 C; q2 = −4 · 10−9 C; q3 = 6 · 10−9 C; θ= 30o , odległość R wynosi 3 mm.
1/
3
R
q2
q
q1
q3
R
s
Odp.: F1 =
q1 q2
1
4πε0 (R/3)2
cos θ +
1 q1 q3
4πε0 R2
2
+
q1 q2
1
4πε0 (R/3)2
1
2
sin θ
= 6,18 · 10−4 N
Zad. 5
Na dwóch nieważkich, nieprzewodzących niciach o długości l zawieszono dwie małe przewodzące kulki
o takich samych masach m i ładunkach q. Siła odpychania elektrostatycznego pomiędzy kulkami jest
na tyle mała, że kulki odchylą się jedynie na niewielką odległość x. Zakładając, że kąt θ jest tak mały,
że tg θ można zastąpić przez sin θ , znajdź odległość x między kulkami w stanie równowagi.
q
x
Odp.: x =
q
3
q2 l
2πε0 mg
Źrd.: R. Resnick, D. Halliday, J. Walker, Podstawy Fizyki t3
Zad. 6
Znajdź potencjał i wartość wektora natężenia pola elektrycznego w punkcie P na osi x. Odległość
b = 2a.
q
2q
P
b
a
Odp.: V =
q 4
,
4πε0 3a
E=
q
11
4πε0 18a2
Zad. 7
W każdym wierzchołku trójkąta równobocznego o boku a = 20 cm umieszczono proton. Oblicz wartość
natężenia pola elektrycznego w środku boku tego trójkąta.
Odp.: E =
1 q
3πε0 a2
= 4,8 · 10−8 N/C
Źrd.: J. Walker - Podstawy fizyki. Zbiór zadań
Zad. 8
Metalowa naelektryzowana kulka o promieniu r = 4 cm wytwarza przy swojej powierzchni potencjał
U = 1000 V. Kulka znajduje się w próżni. Obliczyć natężenie pola elektrycznego przy powierzchni
kulki oraz gęstość powierzchniową łądunku na kuli.
Odp.: E = U/r = 25 kV/m
Zad. 9
W doświadczeniu Millikana kropla oleju o promieniu R = 2,76 µm ma ładunek nadmiarowy równy
ładunkowi trzech elektronów. Wyznacz wartość natężenia E pola elektrycznego potrzebnego do unieruchomie
2
tej kropli. Gęstość oleju ρ wynosi 920 kg/m3 , ładunek elektronu e = 1,60 · 106 N/C.
Odp.: E =
(4πR3 ρg)
9e
= 1,65 · 106 N/C
Źrd.: J. Walker - Podstawy fizyki. Zbiór zadań
Zad. 10
W odległości L (na osi x) od cząstki o ładunku +9q znajduje się cząstka o ładunku -q. Znajdź punkt
w którym wypadkowe pole elektryczne tych dwóch cząstek ma natężenie równe zeru.
y
+9q
-q
x
L
Odp.: x = 1,5 L
Źrd.: J. Walker - Podstawy fizyki. Zbiór zadań
Zad. 11
Pośrodku między dwoma ładunkami q umieszczono trzeci ładunek Q. Należy znaleźć wartość ładunku
Q, dla której układ pozostaje w równowadze. odległość między ładunkami q i Q wynosi r.
Odp.: Q = −q/4
Źrd.: Gonczarenko, Zbiór zadań z fizyki
Zad. 12
W wierzchołkach kwadratu umieszczono ładunki q. W środku kwadratu umieszczono dodatkowy
ładunek Q. Należy znaleźć wartość ładunku Q, dla której układ pozostaje w równowadze. Długość
boku kwadratu wynosi a.
Odp.: Q = −5q/4
Zad. 13
W wierzchołkach sześcianu umieszczono ładunki q. W środku sześcianu umieszczono dodatkowy ładunek
Q. Należy znaleźć wartość ładunku Q, dla której układ pozostaje w równowadze. Długość boku
sześcianu wynosi a.
Odp.: Q = −3 58 q
Zad. 14
Cienki pierścień o promieniu R jednorodnie naładowano ładunkiem Q. Znaleźć potencjał w odległości
r od środka na osi pierścienia gdy r = R.
3
R
P
r
Odp.: V =
Q
1
√
4πε0 r 2
Zad. 15
Znaleźć potencjał i wartość wektora natężenia pola elektrycznego dipola o momencie dipolowym p =
qd, w odległości r > d na osi dipola.
r
-q
+q
P
d
Odp.: V =
p
1
,
4πε0 (r2 −d2 /4)
E=
pr
1
2πε0 (r4 −r2 d2 /2+d4 /16)
Zad. 16
Znajdź potencjał oraz wartość wektora natężenia pola elektrycznego dipola w odległości r > d, w
punkcie leżącym na prostej prostopadłej do osi dipola
Odp.: V = 0, E =
p
1
4πε0 (r2 +d2 /2) 32
Zad. 17
Oblicz prędkość jaką uzyska elektron przyspieszony w polu elektrycznym o różnicy potencjałów U =
20000V. Jaką stanowi ona część prędkości świartła. Masa elektronu me = 9,11 · 10−31 kg, ładunek
q = 1,6 · 10−19 C
q
Odp.: v =
2qU
,
m
≈ 83,8 · 106 m/s
Źrd.: K. Chyla - Zbiór prostych zadań z fizyki
Zad. 18
Elektron znajduje się w jednorodnym polu elektrycznym o natężeniu równym 1,4 · 106 N/C. Po jakim
czasie jego prędkość wzrośnie do jednej dziesiątej prędkości światła. Prędkość początkowa elektronu
jest równa zeru. Masa elektronu m = 9,11 · 10−31 kg, ładunek q = 1,6 · 10−19 C
Odp.: t =
1 cm
10 qE
= 0,122ns
Źrd.: J. Walker - Podstawy fizyki. Zbiór zadań
Zad. 19
Znaleźć wartość siły F jaka działa pomiędzy dwoma dipolami. Odległość między środkami obu dipoli
wynosi r, odległość między ładunkami dipoli wynosi d.
4
+q
-q
-q
+q
r
2
2 2
4
q
6r d +2d
Odp.: F = − 2πε
6
4 2
2 4
0 (r −2r d +r d )
Zadania domowe:
Zad. 20
Dla podanego układu ładunków znajdź: a) poziomą, b) pionową składową wypadkowej siły elektrostatycznej,
działającej na naładowaną cząstkę w dolnym lewym rogu kwadratu, jeśli q = 1 · 10−7 C i a = 5 cm.
+q
-q
a
+2q
Odp.:
a) Fx =
1 q2
4πε0 a2
−
√
2
2
− 4 = −0,17 N, b) Fy =
-2q
a
1 q2
4πε0 a2
2−
√
2
2
= 0,046 N
Źrd.: R. Resnick, D. Halliday, J. Walker, Podstawy Fizyki t3
Zad. 21
Między dwoma równoległymi płytkami umieszczono kulkę o masie m = 1,3 · 10−10 kg i ujemnym
ładunku o wartości q = 1,5 · 10−13 C. Płytki o długości L=1,6 cm są naładowane i wytwarzają
jednorodne pole elektryczne między nimi, takie że wektor natężenia E jest skierowany w dół i ma
wartość E = 1,4 · 10−6 N/C. Cząstka porusza się początkowo wzdłuż osi x z prędkością vx =
18 m/s. Jakie jest pionowe odchylenie cząstki po przejściu przez całą długość płyty. Siła grawitacyjna
działajaca na cząstkę jest mała w porównaniu z siłą elektrostatyczną i można ją pominąć.
Odp.: y =
qEL2
2mvx2
= 0,64 mm
Źrd.: R. Resnick, D. Halliday, J. Walker, Podstawy Fizyki t3
Zad. 22
Obojętna elektrycznie moneta o masie m = 3,11 g zawiera w sobie jednakową ilość ładunku dodatniego
i ujemnego. Obliczyć wartość q całkowitego ładunku dodatniego (lub ujemnego) w monecie przy
założeniu że jest ona miedziana (masa molowa miedzi M = 63,5 g/mol, liczba atomowa miedzi
Z = 29).
m
Odp.: q = NA Ze M
= 1,37 · 105 C
Źrd.: J. Walker - Podstawy fizyki. Zbiór zadań
5
Zad. 23
Cztery naładowane cząstki umieszczono w wierzchołkach kwadratu o boku L = 15 cm. Ładunki cząstek
wynoszą q1 = Q, q2 = −2Q, q3 = 3Q, q4 = −4Q. Znaleźć potencjał i natężenie pola elektrycznego
w punkcie przecięcia przekątnych kwadratu. W którą stronę będzie skierowany wypadkowy wektor
natężenia. Przyjmij, że L = 20 cm oraz Q = 2 µC.
q
q2
3
L
q
4
1
Odp.: V = − 2πε
0
√
2Q
L
= 338,9 kV; E =
√
L
q1
2Q/πε0 L2 = 2,54 · 106 N/C
Źrd.: J. Walker - Podstawy fizyki. Zbiór zadań
Zad. 24
W każdym z wierzchołków kwadratu o boku o długości a = 20cm umieszczono proton. Znaleźć
potencjał i natężenie pola elektrycznego w środku jednego z boków kwadratu.
Odp.: V =
4q
a
1
4πε0
+√
2q
a2 +a2 /4
= 4,16 · 10−8 V, E =
√
q
3
4πε0 (a2 +a2 /4)
= 4,98 · 10−8 N/C
Zad. 25
W każdym z wierzchołków kwadratu o boku o długości a = 20cm umieszczono proton. Znaleźć
potencjał w punkcie leżącym na przecięciu przekątnych kwadratu na wysokości a/2 nad płaszczyzną
kwadratu.
Odp.: V =
q
√2
3πε0 a
= 3,32 · 10−8 V
Zad. 26
Z jaką siłą oddziaływują na siebie dwa dipole pokazane na rysunku? Odległość pomiędzy dipolami
wynosi r, a odległość między ładunkami obu dipoli wynosi d, r > d.
Odp.: F =
q2
2πε0
+q
-q
-q
+q
1
r2 +d2
−
1
r2
6