Tekst spakowany aby zmniejszyć liczbę stron druku

Transkrypt

B.Kamys; Notatki do wykªadu SMOP-I 2014/15
1
Statystyczne Metody Opracowania
Pomiarów I
B. Kamys; Instytut Fizyki UJ
Spis tre±ci
1 Elementy teorii prawdopodobie«stwa
2
1.1
Denicje podstawowych poj¦¢ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.2
Wªasno±ci prawdopodobie«stwa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
2 Podstawowe poj¦cia teorii estymacji
5
3 Ilo±ciowy opis zmiennych losowych
7
4 Funkcje zmiennej losowej
9
5 Charakterystyki rozkªadu prawdopodobie«stwa
11
6 Rozkªad normalny (Gaussa)
15
7 Podstawy rachunku niepewno±ci pomiarowych
17
7.1
Rozkªad pomiarów
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
7.2
Estymator warto±ci oczekiwanej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
7.3
Estymator odchylenia standardowego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
7.4
Zapis wyników pomiarów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
7.5
Rozkªad liczby pozytywnie zako«czonych do±wiadcze«
. . . . . . . . . . . . . .
26
7.6
Niepewno±¢ statystyczna
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
7.7
Pomiary po±rednie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
7.7.1
Estymator E(Y) dla pomiaru po±redniego Y . . . . . . . . . . . . . . . .
29
7.7.2
Niepewno±¢ pomiaru po±redniego
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
7.7.3
Bª¡d maksymalny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
8 Regresja liniowa
31
9 Indeks
34
1
1.1
2
ELEMENTY TEORII PRAWDOPODOBIESTWA
DEFINICJE PODSTAWOWYCH POJ
DEFINICJA: Zbiór zdarze« elementarnych - zbiór takich zdarze«, które sie wzajemnie wykluczaj
a oraz wyczerpuj
a wszystkie mo»liwo±ci (tzn. w ka»dym mo»liwym przypadku przynajmniej jedno z nich musi zachodzi¢).
DEFINICJA: Zdarzeniem jest dowolny podzbiór zdarze« elementarnych E .
DEFINICJA: Zdarzeniem pewnym jest zdarzenie zawierajace wszystkie elementy zbioru E (zachodzi zawsze).
DEFINICJA: Zdarzeniem niemo»liwym jest zdarzenie nie zawierajace »adnego elementu zbioru
E tj. zbiór pusty Ø.
DEFINICJA: Zdarzenie A zawiera sie w zdarzeniu B je»eli ka»de zdarzenie elementarne nale»
ace do zbioru A nale»y do B: 'A ⊂ B'
DEFINICJA: Zdarzenia A i B sa równe
gdy A ⊂ B i B ⊂ A.
DEFINICJA: Suma zdarze« A+B
to zdarzenie zawieraj
ace te i tylko te zdarzenia elementarne, które nale»
a do któregokolwiek
S S
ze zdarze« A, B,... (suma logiczna zbiorów zdarze« elementarnych 'A
B
..').
DEFINICJA: Ró»nica zdarze« A-B
a do zdarzenia A a
nie nale»
a do zdarzenia B.
DEFINICJA: Iloczyn zdarze« A.B
a do wszystkich
T
zdarze« A, B (tzn. w j
ezyku zbiorów 'A
B').
DEFINICJA: Zdarzeniem przeciwnym do A: A nazywamy ró»nice 'E -A'
DEFINICJA: Zdarzeniem losowym - nazywamy zdarzenie speªniajace poni»sze warunki:
1. W zbiorze zdarze« losowych znajduje si
e zdarzenie pewne oraz zdarzenie niemo»-
liwe.
2. Je»eli zdarzenia A1 , A2 ,... w ilo±ci sko«czonej lub przeliczalnej s
a zdarzeniami losowymi
to ich iloczyn i ich suma s
a równie» zdarzeniami losowymi.
3
3. Je»eli A1 i A2 s
a zdarzeniami losowymi to ich ró»nica jest równie» zdarzeniem losowym.
INTUICYJNE OKRELENIE: Zdarzenie losowe to takie, o którym nie mo»emy powiedzie¢ czy zajdzie w danych warunkach czy te» nie zajdzie.
DEFINICJA: Zmienna losowa nazywamy jednoznaczna funkcje rzeczywista X(e) okre±lon
a na zbiorze E zdarze« elementarnych tak
a, »e ka»demu przedziaªowi warto±ci funkcji
X typu (-∞,x) odpowiada zdarzenie losowe.
DEFINICJA: Zmienna losowa typu skokowego (dyskretnego) to taka, która przyjmuje
tylko co najwy»ej przeliczalny zbiór warto±ci. Zmienna losowa typu ci
agªego - mo»e przyjmowa¢ dowolne warto±ci od minus do plus niesko«czono±ci.
DEFINICJA: Denicja prawdopodobie«stwa
Aksjomat 1: Ka»demu zdarzeniu losowemu przyporzadkowana jest jednoznacznie nieujemna liczba rzeczywista zwana prawdopodobie«stwem.
Aksjomat 2: Prawdopodobie«stwo zdarzenia pewnego jest równe jedno±ci.
Aksjomat 3: Je»eli zdarzenie losowe Z jest suma sko«czonej lub przeliczalnej liczby rozªacznych
zdarze« losowych Z1 ,Z2 ,.. to prawdopodobie«stwo zrealizowania sie zdarzenia Z jest
równe sumie prawdopodobie«stw zdarze« Z1 ,Z2 , ..
Aksjomat 4: Prawdopodobie«stwo warunkowe zdarzenia A pod warunkiem, »e zachodzi
zdarzenie B; 'P(A|B)' wyra»a si
e wzorem:
P(A|B) =
P (A.B)
P (B)
Prawdopodobie«stwo to jest nieokre±lone, gdy prawdopodobie«stwo zdarzenia B wynosi zero.
1.2
WASNOCI PRAWDOPODOBIESTWA
1.) Zdarzenie przeciwne do A :
P(A) = 1 - P(A)
Dowód:
A+A = E a wiec P(A+A) = P(E ) = 1,
z drugiej strony A i A wykluczaj
a sie wiec
P(A+A) = P(A) + P(A).
St
ad P(A) = P( E ) - P(A) czyli P(A) = 1 - P(A) c.b.d.o.
4
2.) Zdarzenie niemo»liwe :
P(Ø) = 0
Dowód:
E i Ø wykluczaja sie wiec P(E +Ø)=P(E )+P(Ø) oraz E +Ø=E a wiec P(E +Ø)=P(E ), czyli
P(Ø) = 0
c.b.d.o.
3.) Zdarzenie A zawiera si
ewB :
P(A) ≤ P(B)
Dowód: P(B) = P(A+(A.B)) = P(A)+P(A.B) ≥ P(A) c.b.d.o.
4.) Dowolne zdarzenie losowe :
0 ≤ P(A) ≤ 1
Dowód: Dla ka»dego zdarzenia jest prawdziwe:
Ø ⊂ A+Ø = A = A.E ⊂ E
a wiec prawdopodobie«stwa zdarze« Ø,A i E speªniaj
a:
0 ≤ P(A) ≤ 1 c.b.d.o.
5.) Suma dowolnych zdarze« A+B :
P(A+B) = P(A) + P(B) - P(A.B)
Dowód:
Zarówno A+B jak i B mo»emy zapisa¢ jako sumy rozª
acznych (wykluczaj
acych si
e) zdarze«:
A+B
=
A + (B − A.B) oraz
B
=
A.B + (B − A.B),
stosujemy aksjomat nr 3 denicji prawdopodobie«stwa,
P (A + B)
=
P (A) + P (B − A.B),
P (B)
=
P (A.B) + P (B − A.B)
odejmujemy stronami: P(A+B) = P(A) + P(B) - P(A.B) c.b.d.o.
6.) Iloczyn zdarze« A.B :
P(A.B) = P(B).P(A|B) = P(A).P(B|A)
Dowód:
Wynika to automatycznie z 4 aksjomatu denicji prawdopodobie«stwa.
5
DEFINICJA: Zdarzenie A jest niezale»ne od B gdy P(A|B) = P(A).
7.) Je»eli A nie zale»y od B to B nie zale»y od A.
Dowód:
Korzystamy z dwu wzorów na prawdopodobie«stwo A.B podanych wy»ej, przy czym w pierwszym z nich uwzgl
edniamy, »e A jest niezale»ne od B. Wówczas z porównania obu wzorów
dostajemy P(B|A) = P(B).
c.b.d.o.
8.) WKW niezale»nosci: P(A.B) = P(A).P(B)
Dowód:
Wynika to automatycznie ze wzoru na prawdopodobie«stwo iloczynu zdarze«.
c.b.d.o
9.) Formuªa 'caªkowitego prawdopodobie«stwa': Je»eli istnieje zbiór zdarze« A1 , A2
... wykluczaj
acych si
e wzajemnie i wyczerpuj
acych wszystkie mo»liwo±ci wówczas prawdopodobie«stwo dowolnego zdarzenia B mo»e by¢ zapisane nast
epuj
aco:
P(B) =
P
| Ai )
i P (Ai ).P (B
Dowód:
B=
P
i
B.Ai (suma rozª
acznych zdarze«) a wiec P(B) =
P
i
P(B.Ai ) a ka»dy skªadnik mo»na
zapisa¢ jako P(Ai ).P(B|Ai ). c.b.d.o.
2
PODSTAWOWE POJCIA TEORII ESTYMACJI
DEFINICJA: W statystyce sko«czony zespóª do±wiadcze« nazywamy próba a wnioskowanie na podstawie próby o wªasno±ciach niesko«czonego (zwykle) zespoªu wszystkich mo»-
a.
liwych do±wiadcze« zwanego populacj
a generaln
a , nazywamy estymacj
DEFINICJA: Przez próbe prosta rozumiemy ciag niezale»nych do±wiadcze« odnoszacych
si
e do tej samej populacji generalnej.
DEFINICJA: Statystyka nazywamy taka funkcje zmiennych losowych obserwowanych w
próbie, która sama jest zmienn
a losow
a.
DEFINICJA: Estymatorem Tn (x1 , x2 , ..xn ; θ) parametru θ lub w skrócie Tn (θ ) nazywamy statystyk
e o rozkªadzie prawdopodobie«stwa zale»nym od θ . Tu x1 , x2 , .. oznaczaj
a
wyniki pomiarów próby a przez rozkªad prawdopodobie«stwa rozumiemy przyporz
adkowanie
6
prawdopodobie«stw ró»nym warto±ciom statystyki Tn .
DEFINICJA: Estymacja punktowa to taka estymacja, która polega na oszacowaniu warto±ci danego parametru θ przez warto±¢ jego estymatora.
DEFINICJA: Estymacja przedziaªowa polega na szukaniu przedziaªu liczbowego, wewnatrz
którego z zaªo»onym prawdopodobie«stwem le»y prawdziwa warto±¢ parametru.
DEFINICJA: Estymator Tn (θ ), jest zgodny je»eli dla ka»dego > 0 jest speªniony
warunek:
limn→∞ P (| Tn (θ) − θ |< ) = 1
W takim przypadku u»ywa si
e cz
esto okre±lenia, »e estymator speªnia prawo wielkich liczb .
PRZYKAD: TWIERDZENIE (Bernoulli): Wzgl
edna cz
esto±¢ pojawiania si
e zdarzenia
'A' w ci
agu 'n' do±wiadcze« speªnia prawo wielkich liczb czyli jest zgodnym estymatorem
prawdopodobie«stwa zdarzenia A: P(A).
limn→∞ P( | nA /n - P(A) |< ) = 1
DEFINICJA:
Estymator speªniaj
acy mocne prawo wielkich liczb to taki, który jest zbie»ny do estymowanego parametru z prawdopodobie«stwem równym jedno±ci.
P( limn→∞ Tn (θ) = θ ) = 1
PRZYKAD:
TWIERDZENIE: F.P.Cantelli udowodniª w 1917 roku, »e wzgledna czesto±¢ pozytywnego zako«czenia do±wiadczenia; nA /n jest zbie»na do prawdopodobie«stwa zdarzenia A;
P(A) z prawdopodobie«stwem równym jedno±ci:
P( limn→∞ (nA /n) = P(A) ) = 1
czyli wzgl
edna cz
esto±¢ speªnia mocne prawo wielkich liczb.
3
7
ILOCIOWY OPIS ZMIENNYCH LOSOWYCH
Ilo±ciowy opis zmiennych losowych uzyskujemy stosuj
ac
• Dystrybuante (Zwana czesto przez statystyków funkcja rozkªadu)
• Rozkªad prawdopodobie«stwa (Tylko dla zmiennych dyskretnych)
• Funkcje gesto±ci prawdopodobie«stwa (Tylko dla zmiennych ciagªych) oraz wielko±ci
charakteryzuj
ace te powy»ej wymienione twory.
DEFINICJA: Dystrybuanta F(x) nazywamy prawdopodobie«stwo tego, »e zmienna losowa X przyjmie warto±¢ mniejsz
a od x. ('X' - to symbol zmiennej losowej a 'x' to jej
konkretna warto±¢). Oczywi±cie dystrybuanta jest funkcj
a x.
F(x) ≡ P( X < x )
Wªasno±ci dystrybuanty:
1. 0 ≤ F(x) ≤ 1
2. F(-∞) = 0
3. F(+∞) = 1
4. F(x) jest niemalej
ac
a funkcj
a
5. F(x) nie posiada wymiaru
Przykªad:
Dla rzutu kostk
a do gry, gdzie jako zmienn
a losow
a przyj
eto liczb
e wyrzuconych punktów:
F (x) = 0 dla x ≤ 1,
= 1/6 dla 1 < x ≤ 2,
= 2/6 dla 2 < x ≤ 3,
= 3/6 dla 3 < x ≤ 4,
= 4/6 dla 4 < x ≤ 5,
= 5/6 dla 5 < x ≤ 6,
= 1 dla x > 6
8
DEFINICJA: Rozkªad prawdopodobie«stwa : Je»eli xi (i=1,2,...) sa warto±ciami dyskretnej zmiennej losowej to rozkªadem prawdopodobie«stwa nazywamy zespóª prawdopodobie«stw:
P(X=xi ) = pi ,
P
i
pi = 1
Przykªad:
Rozkªad prawdopodobie«stwa dla rzutu kostk
a do gry omawianego powy»ej: pi = 1/6 dla
i = 1,2 .. 6.
DEFINICJA:
Funkcja gesto±ci prawdopodobie«stwa f(x)
f(x)dx ≡ P(x ≤ X < x+dx)
Wªasno±ci funkcji g¦sto±ci prawdopodobie«stwa:
1. f(x) ≥ 0,
2. f(x) jest unormowana tj.
R +∞
−∞
f (x)dx = 1
dF (x)
3.
f(x)= dx
4.
Wymiar f(x) = wymiar (1/x)
Przykªad:
Rozkªad jednorodny w przedziale [a,b]:
f (x) =
0
dla x < a
= 1/(b − a) dla a ≤ x ≤ b
=
0
dla b < x
4
9
FUNKCJE ZMIENNEJ LOSOWEJ
Funkcja Y zmiennej losowej X: Y = Y(X) jest równie» zmienn
a losow
a. Dlatego te» mo»na
dla niej okre±li¢ dystrybuant
e, rozkªad prawdopodobie«stwa lub funkcj
e g
esto±ci prawdopodobie«stwa. S
a one prosto zwi
azane z odpowiednimi wielko±ciami dla zmiennej X. Nale»y
rozpatrzy¢ niezale»nie przypadek, gdy funkcja Y(X) jest monotoniczna oraz gdy nie posiada
tej wªasnosci.
a) Funkcja Y = Y(X) jest monotoniczna.
Mo»na wówczas jednoznacznie okre±li¢ funkcj
e odwrotn
a X=X(Y).
1. Dystrybuanta funkcji Y(X): G(y)
Y(X) jest rosn
aca :
G(y) = F(x(y))
Y(X) jest malej
aca :
G(y) = 1 - F(x(y)) - P(x;y=y(x)
Dowód: Wychodz
ac z denicji dla Y(X) rosn
acej:
G(y)
= P (Y < y)
= P (X(Y ) < x)
=
F (x(y))
dla Y(X) malej
acej:
G(y)
=
P (Y < y)
=
P (X(Y ) > x)
=
1 − P (X(Y ) ≤ x)
=
1 − P (X(Y ) < x) − P (X(Y ) = x)
=
1 − F (x(y)) − P (x; Y = y(x)) c.b.d.o.
2. Rozkªad prawdopodobie«stwa P(y):
P(yi ) = P(xi ;yi =Y(xi ))
10
3. Funkcja g
esto±ci prawdopodobie«stwa g(y):
g(y) = f(x(y)) |
dx(y)
dy
|
gdzie X(Y) jest funkcj
a odwrotn
a do Y(X).
Z denicji: f(x) dx = P(x ≤ X < x+dx) a to prawdopodobie«stwo przy jednoznacznym
zwi
azku mi
edzy X i Y wynosi P(y ≤ Y < y+dy)=g(y) dy.
Znak moduªu przy pochodnej pojawia si
e st
ad, »e przy malej
acej funkcji Y(X) pochodna
b
edzie ujemna co powodowaªoby, »e g(y) byªaby ujemna a zgodnie z denicj
a musi by¢ nieujemna.
Przykªad dla funkcji monotonicznej:
Y(X) = a X + b; a i b to rzeczywiste staªe
1. Rozkªad prawdopodobie«stwa:
P(Y=yi ) = P(a xi + b =yi ) = P(xi =
yi −b
)
a
2. Dystrybuanta:
y−b
),
a
y−b
F(x= a )
dla a > 0, G(y) = F(x =
dla a < 0, G(y)=1 -
y−b
- P(x= a )
3. G
esto±¢ prawdopodobie«stwa:
y−b
1
g(y)= |a|
f(x= a )
b.) Funkcja Y(X) nie jest monotoniczna .
Wówczas dzielimy obszar zmienno±ci X na przedziaªy, w których Y(X) jest monotoniczna i powtarzamy powy»sze rozwa»ania sumuj
ac przyczynki od rozª
acznych przedziaªów.
11
Przykªad dla funkcji niemonotonicznej:
Y(X)=X2
1. Rozkªad prawdopodobie«stwa:
P(yi ) = P(X2 =yi ) = P(X=-
√
√
yi )+P(X=+ yi )
2. Dystrybuanta:
G(y) = P(Y <y) = P(X2 < y) =
P(-
√
√
y < X < + y)
G(y) = 0 dla y ≤ 0
√
√
G(y) = F ( y) − F (− y) dla y ≥ 0
3. Rozkªad g
esto±ci prawdopodobie«stwa:
g(y) = 0 dla y < 0
−1
1
√
√
g(y) = | √ | f ( y) + √ f (− y)
2 y
2 y
1
√
√
=
√ (f ( y) + f (− y)) dla y ≥ 0
2 y
5
CHARAKTERYSTYKI ROZKADU PRAWDOPODOBIESTWA
W praktycznych zastosowaniach cz
esto wystarcza poznanie warto±ci pewnych wielko±ci, które
charakteryzuj
a rozkªad prawdopodobie«stwa zamiast peªnej informacji o rozkªadzie.
Oto najcz¦±ciej stosowane:
DEFINICJA: fraktyl xq (zwany równie» kwantylem) jest to warto±¢ zmiennej losowej, dla
której dystrybuanta przyjmuje warto±¢ 'q'.
F(xq ) = q
Najwa»niejsze fraktyle to dolny kwartyl: x0.25 , górny kwartyl: x0.75 oraz mediana: x0.5 .
12
DEFINICJA: Moda (zwana równie» warto±cia modalna jest to taka warto±¢ zmiennej losowej, dla której rozkªad prawdopodobie«stwa (lub funkcja g
esto±ci prawdopodobie«stwa) przyjmuje
maksimum.
DEFINICJA: Rozkªady prawdopodobie«stwa posiadajace jedna mode zwane sa
a wi
ecej ni» jedn
a - wielomodalnymi.
jednomodalnymi a te, które maj
DEFINICJA: Momentem rozkªadu rzedu 'k'
wzgledem punktu x0 , nazywamy nastepuj
ac
a wielko±¢:
(x - x0 )k f(x) dx
P
mk (x0 ) ≡ i (xi -x0 )k p(xi )
mk (x0 ) ≡
R
dla zmiennych ci
agªych i dyskretnych odpowiednio.
Najwa»niejszymi momentami s
a te, które liczone s
a wzgl
edem pocz
atku ukªadu wspóªrz
ednych
tj. x0 =0 - (b
edziemy je oznaczali przez ' mk ' ) oraz momenty liczone wzgl
edem X0 = m1 tj.
wzgl
edem pierwszego momentu wzgl
edem pocz
atku ukªadu wspóªrz
ednych. Te ostatnie momenty
edziemy je oznacza¢ przez ' µk ').
nazywa si
e momentami centralnymi (b
DEFINICJA: m1 zwany warto±cia oczekiwana, warto±cia ±rednia lub nadzieja matematyczna.
B
edziemy go oznaczali przez E(X) (stosuje si
e równie» oznaczenie M(X) lub X̂ ).
E(X) ≡
P
E(X) ≡
R
pi xi
dla zmiennych dyskretnych,
f(x) x dx
dla zmiennych ci
agªych
i
Je»eli powy»sza caªka (lub suma) sa bezwzgl
ednie zbie»ne to mówimy, »e istnieje warto±¢ oczekiwana. W przeciwnym wypadku (nawet je»eli caªka jest zbie»na) mówimy, »e warto±¢ oczekiwana
nie istnieje !
Interpretacja E(X):
E(X) jest wspóªrz
edn
a punktu, który byªby ±rodkiem masy rozkªadu prawdopodobie«stwa (lub
pola pod funkcj
a g
esto±ci prawdopodobie«stwa) gdyby prawdopodobie«stwa poszczególnych warto±ci "xi "traktowa¢ jako masy (lub odpowiednio g¦sto±¢ prawdodobie«stwa jako zwykª
a g
esto±¢).
13
Wªasno±ci E(X):
E(X) jest operatorem liniowym a wi
ec:
1.
E(
P
i
Ci Xi ) =
P
i
Ci E(Xi )
Co w szczególnych przypadkach daje:
(a) E(C)=C
(b) E(CX)=C.E(X)
(c) E(X1 + X2 )=E(X1 )+E(X2 )
2. Dla zmiennych niezale»nych X1 , ... , Xn
E(Πi Xi ) = Πi E(Xi )
UWAGA: Warunkiem koniecznym i wystarczajacym by zmienne byªy niezale»ne jest aby
wspólny rozkªad prawdopodobie«stwa faktoryzowaª si
e: f(X1 ,X2 ,..,Xn ) = f1 (X1 ) . f2 (X2 )
... f3 (Xn ). Rozkªady wielu zmiennych losowych omówimy pó¹niej.
3. Dla funkcji zmiennej X; Y=Y(X)
warto±¢ oczekiwana E(Y) mo»e by¢ znaleziona przy pomocy rozkªadu zmiennej X bez konieczno±ci szukania rozkªadu f(y):
R
P
E(Y) = i y(xi ) pi , E(Y) = y(x) f(x) dx
dla zmiennej dyskretnej i dla zmiennej ci
agªej odpowiednio.
Korzystaj
ac z tej wªasno±ci zauwa»amy natychmiast,
»e dowolny moment mk (x0 ) mo»e by¢ potraktowany jako warto±¢ oczekiwana
funkcji Y(X)=(X-x0 )k :
mk (x0 ) ≡
R
dx f(x) (x-x0 )k = E((x-x0 )k )
DEFINICJA: µ2 , zwany wariancja lub dyspersja
B
edziemy go oznacza¢ przez ' σ 2 (X) ' lub ' var(X) ' (stosuje si
e równie» oznaczenie ' D(X) ').
Pierwiastek z wariancji nazywany jest odchyleniem standardowymi oznaczany ' σ (X)' ale czasami
u»ywa si
e równie» nazwy ' dyspersja '.
σ 2 (X) ≡
P
σ 2 (X)
R
≡
i pi
(xi - E(x))2
f(x)(x-E(x))2
dx
zmienna dyskretna
zmienna ci
agªa
14
Wªasno±ci wariancji:
1. Wariancja mo»e by¢ wyra»ona przez momenty liczone wzgl
edem pocz
atku ukªadu wspóªrzednych:
σ 2 (X) = m2 − m21
σ 2 (X) = E(X 2 ) − E 2 (X)
Dowód: Korzystamy z trzeciej wªasno±ci warto±ci oczekiwanej tj.
m2 (E(X))
=
E((X − E(X))2 )
= E(X 2 − 2X.E(X) + E 2 (X))
= E(X 2 ) − 2E(X).E(X) + E 2 (X)
= E(X 2 ) − E 2 (X)
c.b.d.o.
Posªugujac si
e tym przedstawieniem wariancji dostajemy natychmiast nast
epuj
ace wªasno±ci:
(a)
var(C)=0 .
bo E(C2 )-E2 (C)=C2 -C2 =0 c.b.d.o.
(b)
var(CX)=C2 var(X)
jest to nast
epstwo liniowo±ci E(X), przez któr
a deniowali±my var(X).
(c)
var(C1 X+C2 ) = C2 var(X)
2. Dla zmiennych niezale»nych
P
P
var( i Ci Xi ) = i C2
i var(X)
Wzór ten ªatwo wyprowadzi¢ korzystaj
ac z 3 wªasno±ci warto±ci oczekiwanej:
P
var(y= i Ci Xi ) ≡ E((y − E(Y ))2 ).
Po wstawieniu do wzoru oraz podniesieniu do kwadratu otrzymamy sum
e kwadratów wyra»e«
' Ci (Xi - E(Xi )) ' oraz iloczyny mieszane tych wyra»e«. Iloczyny mieszane znikn
a w chwili gdy
podziaªa na nie zewn
etrzny operator warto±ci oczekiwanej (poniewa» E(X-E(X))=E(X)-E(X)=0).
Zaªo»enie niezale»no±ci jest potrzebne przy liczeniu warto±ci oczekiwanej z iloczynów mieszanych
(wówczas warto±¢ oczekiwana iloczynu równa jest iloczynowi warto±ci oczekiwanych). Suma warto±ci oczekiwanych z kwadratów wyra»e« 'Ci (Xi -E(Xi ))' jest wªa±nie oczekiwanym przez nas
wyra»eniem.
15
Interpretacja wariancji wynika z nierówno±ci Czebyszewa, któr
a mo»na zapisa¢ nast
epuj
aco:
P( | X-E(X) | ≥ a.σ (X)) ≤ a−2
TWIERDZENIE:
Prawdopodobie«stwo odchylenia warto±ci zmiennej losowej od warto±ci oczekiwanej E(X) o 'a'
-krotn
a warto±¢ odchylenia standardowego jest mniejsze lub równe od a12 .
Twierdzenie to jest sªuszne dla wszystkich rozkªadów, które posiadaj
a wariancje (a wiec, co za tym
idzie i warto±¢ oczekiwan
a). Liczba ' a ' jest dowoln
a dodatni
a rzeczywist
a liczb
a.
Interpretacja wariancji
Korzystaj
ac z powy»szego twierdzenia dochodzimy do wniosku, »e wariancja (lub odchylenie
standardowe) jest miar
a rozrzutu zmiennej losowej dokoªa warto±ci oczekiwanej.
Jest to bardzo wa»ny wniosek bo w analizie danych do±wiadczalnych uto»samiamy
warto±¢ oczekiwan
a pomiarów wykonanych w obecno±ci bªedów przypadkowych z
warto±ci
a prawdziw
a mierzonej wielko±ci. Wtedy miar
a bª
edu przypadkowego
jest odchylenie standardowe bo ono okre±la rozrzut wyników dokoªa warto±ci prawdziwej.
6
ROZKAD NORMALNY (Gaussa)
DEFINICJA:
Ci
agªa zmienna losowa X, której funkcja g
esto±ci prawdopodobie«stwa ma nast
epuj
ac
a posta¢:
f (X) =
√ 1
2π B
nazywa si
e zmienn
a o rozkªadzie normalnym N(A,B).
Wªasno±ci rozkªadu normalnego f(X) ≡ N(A,B):
Warto±¢ oczekiwana:
E(X) = A
Odchylenie standardowe:
σ (X) = B
2
)
exp( −(X−A)
2B 2
16
St
ad ªatwo wida¢, »e N(A,B) ≡ N( E(X),σ (X) )
Dystrybuanta rozkªadu normalnego nie wyra»a sie przez funkcje elementarne.
Warto zapami
eta¢ nast
epuj
ace warto±ci prawdopodobie«stwa znalezienia zmiennej X
w danym przedziale:
P( E(X) - σ (X) ≤ X < E(X) +
σ (X) ) = 0.6827
P( E(X) - 2σ (X) ≤ X < E(X) + 2σ (X) ) = 0.9545
P( E(X) - 3σ (X) ≤ X < E(X) + 3σ (X) ) = 0.9973
Uwaga:
Dowoln
a zmienn
a Y o rozkªadzie normalnym mo»na standaryzowa¢ tworz
ac wielko±¢ Z o rozkªadzie 'standardowym normalnym' N(0,1):
Z = (Y - E(Y))/σ (Y).
Standaryzacja jest wa»na ze wzgl
edu na mo»liwo±¢ tablicowania zarówno funkcji g
esto±ci prawdopodobie«stwa, jak i dystrybuanty rozkªadu N(0,1) a potem wykorzystania faktu, »e maj
ac
zmienn
a X o rozkªadzie N(0,1) mo»emy stworzy¢ zmienn
a Y o rozkªadzie N(A,B) przez prost
a
transformacj
e: Y = B*X+A .
Co wi¦cej, przez standaryzacj¦ sprowadzamy wszystkie warto±ci oryginalnej zmiennej do obszaru
w pobli»u zera a jednostk¡ jest odchylenie standardowe. Dzi¦ki temu mo»na porównywa¢ rozkªady
wielko±ci ró»ni¡ce si¦ znacznie poªo»eniem centrum i skal¡ warto±ci.
Centralne Twierdzenie Graniczne (Intuicyjne sformuªowanie)
Zmienna Z bed
aca standaryzowan
a sum
a niezale»nych zmiennych losowych bedzie miaªa standardowy rozkªad normalny gdy liczba skªadników w sumie d
a»y do niesko«czono±ci oraz w sumie nie
wystepuj
a zmienne o wariancjach dominuj
acych w stosunku do reszty skªadników.
Wªa±nie to twierdzenie powoduje, »e rozkªad normalny jest wyró»nionym rozkªadem
- bardzo cz¦sto stosowanym w statystyce.
7
17
PODSTAWY RACHUNKU NIEPEWNOCI POMIAROWYCH
Wynik pomiaru bez podania dokªadno±ci do±wiadczenia (niepewno±ci pomiaru)
jest bezwarto±ciowy.
DEFINICJA: Pomiarem bezpo±rednim nazywamy do±wiadczenie, w którym przy pomocy odpowiednich przyrz
adow mierzymy (porównujemy z jednostk
a) interesuj
ac
a
nas wielko±¢ zyczn
a.
Przykªad:
• Pomiar dªugo±ci przedmiotu przy pomocy linijki
• Pomiar dªugo±ci odcinka czasu przy pomocy zegara
DEFINICJA: Pomiarem po±rednim nazywamy do±wiadczenie, w którym wyznaczamy
warto±¢ interesuj
acej nas wielko±ci zycznej przez pomiar innych wielko±ci zycznych
zwi
azanych z dan
a wielko±ci
a znanym zwi
azkiem funkcyjnym.
Przykªad:
• Pomiar oporu elektrycznego przewodnika: mierzymy spadek napi
ecia 'U' na
przewodniku i pr
ad 'I' przez niego pªyn
acy a opór 'R' wyznaczamy z prawa
Ohma: R=U/I.
• Pomiar g
esto±ci stopu, z którego zbudowany jest prostopadªo±cian: mierzymy
bezpo±rednio dªugo±¢ kraw
edzi 'a','b' i 'c' prostopadªo±cianu i jego mas
e 'm' a
g
esto±¢ wyznaczamy ze wzoru: ρ = m/(a . b . c).
e pomi
edzy warto±ci
a
DEFINICJA: Tradycyjnie bªedem pomiaru 'e' nazywano ró»nic
'X' uzyskan
a w do±wiadczeniu a prawdziw
a (nieznan
a) warto±ci
a 'X0 ' danej wielko±ci:
e = X-X0
Bª
edy dzielono na grube, systematyczne i przypadkowe
18
Zgodnie z NORM ISO (Mi¦dzynarodowej Organizacji Normalizacyjnej) wprowadzon¡ w
1995 roku nale»y unika¢ sªowa bª¡d zast¦puj¡c go sªowami niepewno±ci pomiarowe.
Bª¡d nale»y zarezerwowa¢ tylko dla pomyªek eksperymentatora (tj. do bª¦dów grubych)
lub niewªa±ciwej metody pomiarowej (tj. do bª¦dów systematycznych) - patrz poni»ej.
Norma zaleca u»ywanie symbolu u(x) dla niepewno±ci pomiaru zmiennej x. Symbol ten
pochodzi od angielskiego sªowa uncertainty ≡ niepewno±¢.
DEFINICJA: Bªedy grube to bª
edy, które pojawiaj
a si
e w wyniku pomyªki eksperymentatora (np. odczyt na niewªa±ciwej skali przyrz
adu) lub w wyniku niesprawno±ci
aparatury pomiarowej. Zwykle s
a one na tyle du»e, »e mo»na je ªatwo zauwa»y¢.
Dla unikniecia tych bªedów nale»y starannie zorganizowa¢ proces pomiaru i u»ywa¢ do do±wiadcze« tylko wªa±ciwie wytestowanych przyrz
adów.
DEFINICJA: Bªedy systematyczne to takie, które podczas wykonywania pomiaru
systematycznie przesuwaj
a wyniki pomiarów w jedn
a stron
e w stosunku do prawdziwej warto±ci.
Przykªad: Przy pomiarze oporu mo»emy zastosowa¢ dwa ró»ne schematy podªaczenia woltomierza i amperomierza:
1. Woltomierz podª
aczony równolegle do oporu a szeregowo do nich amperomierz. Wówczas spadek napi
ecia mierzony jest rzeczywi±cie na oporniku ale pr
ad mierzony przez
amperomierz odpowiada nie samemu pr
adowi pªyn
acemu przez przewodnik lecz sumie
pr
adów - opornika i woltomierza. Systematycznie zawy»amy warto±¢ pr
adu 'I' co w
przypadku gdy opór woltomierza nie jest wielokrotnie wi
ekszy od oporu przewodnika
mo»e prowadzi¢ do znacz
acego bª
edu.
A
V
2. Woltomierz podª
aczony jest równolegle do ukªadu szeregowo poª
aczonego opornika i
amperomierza. Wówczas woltomierz mierzy spadek napi
ecia na przewodniku oraz na
amperomierzu równocze±nie. Systematycznie zawy»amy napi
ecie 'U' co w przypadku
gdy opór wewn
etrzny amperomierza nie jest wielokrotnie mniejszy od oporu przewodnika mo»e prowadzi¢ do znacz
acego bª¦du.
19
A
V
Bªedy systematyczne s
a trudne do zauwa»enia i oszacowania. Dla ich unikni
ecia
stosuje si
e:
• staranne przemy±lenie metody pomiaru w poszukiwaniu mo»liwych ¹ródeª bª
edów
systematycznych i rezygnacja z metod, które prowadz
a do takich bª
edów,
• zmian
e metody pomiaru np. opór w powy»szym przykªadzie mo»na mierzy¢ me-
tod
a mostka, która nie wprowadza takich systematycznych bª
edów jak omówione
najprostsze schematy pomiaru. Wa»ne staªe zyczne takie jak pr
edko±¢ ±wiatªa
'c' byªy wielokrotnie mierzone ró»nymi metodami, gªównie po to by upewni¢
si
e, »e unikni
eto bª
edów systematycznych,
• unikanie oczywistych ¹ródeª bª
edu jak np. "bª
ad paralaksy"polegaj
acy na od-
czytaniu skali nie patrz
ac na ni
a z kierunku prostopadªego,
• pomiary wzgl
edne polegaj
ace na tym, »e mierzymy równocze±nie, t
a sam
a me-
tod
a dwie wielko±ci - jedn
a dobrze znan
a a drug
a - t
e, któr
a chcemy zmierzy¢.
Odnosz
ac wynik pomiaru nieznanej wielko±ci do wyniku pomiaru znanej wielko±ci zwykle mo»emy wyeliminowa¢ bª
edy systematyczne.
DEFINICJA: Przypadkowe niepewno±ci pomiarowe (zwane tradycyjnie bª¦dami przy-
padkowymi ) to niepewno±ci, które zmieniaj
a si
e od pomiaru do pomiaru, powoduj
ac
odchylenia od warto±ci prawdziwej zarówno w dóª jak i w gór¦. Zakªada si
e, »e spowodowane s
a one przez wiele niezale»nych przyczyn o porównywalnym znaczeniu.
Metody statystyki pozwalaj
a na oszacowanie tego typu niepewno±ci zarówno jako±ciowo jak i ilo±ciowo. Nie mówi
a jednak nic o bª
edach systematycznych czy grubych.
Dlatego dalsze rozwa»ania dotyczy¢ b¦d¡ tylko niepewno±ci przypadkowych.
Je»eli mamy do czynienia tylko z niepewno±ciami przypadkowymi to s
a speªnione
zaªo»enia centralnego twierdzenia granicznego a wi
ec:
Rozkªad niepewno±ci przypadkowej u to rozkªad N(0,σ (u)).
f (u) =
7.1
√
1
2π σ(u)
20
2
exp( 2σ−u
2 (u) )
ROZKAD POMIARÓW
Poniewa» warto±¢ oczekiwana niepewno±ci przypadkowej jest z denicji równa zero
i rozrzut niepewno±ci dokoªa warto±ci oczekiwanej niepewno±ci jest okre±lony przez
odchylenie standardowe σ(u) a wynik pomiaru 'X ' ró»ni si
e od niepewno±ci pomiarowej 'u' tylko przesuni
eciem skali wspóªrz
ednych o 'X0 ' (warto±¢ prawdziw
a mierzonej
wielko±ci) to rozkªad warto±ci mierzonej 'X ' jest rozkªadem Gaussa N (X0 , σ(u)):
f (X) =
√
2
1
0)
).
exp( −(X−X
2σ 2 (u)
2π σ(u)
WANE WNIOSKI:
• Warto±¢ prawdziwa mierzonej wielko±ci jest równa warto±ci oczekiwanej pomia-
rów (je»eli s
a tylko niepewno±ci przypadkowe) .
• Rozrzut pomiarów dokoªa warto±ci prawdziwej jest okre±lony przez odchylenie
standardowe σ (e) rozkªadu niepewno±ci przypadkowych .
• Miar
a niepewno±ci pojedynczego pomiaru jest odchylenie standardowe pomia-
rów.
Z powy»szych faktów wynika, »e:
Szukanie prawdziwej warto±ci mierzonej wielko±ci i jej niepewno±ci to
estymacja warto±ci oczekiwanej i odchylenia standardowego pomiarów
DEFINICJA: Estymatorem nieobcia»onym Tn (θ ) parametru θ nazywamy taki estymator,
którego warto±¢ oczekiwana równa jest warto±ci estymowanego parametru niezale»nie
od rozmiarów próby:
E(Tn (θ )) = θ
21
DEFINICJA: Obcia»eniem estymatora 'Bn ' nazywamy ró»nic
e jego warto±ci oczekiwanej
i warto±ci estymowanego parametru:
Bn = E(Tn (θ )) - θ
DEFINICJA: Estymatorem obcia»onym nazywamy taki estymator, którego obci
a»enie
jest ró»ne od zera.
DEFINICJA: Estymatorem asymptotycznie nieobcia»onym nazywamy taki estymator obci
a»ony,
którego obci
a»enie zmierza do zera gdy rozmiary próby niesko«czenie rosn
a:
limn→∞ Bn = 0
TWIERDZENIE:
Je»eli wariancja estymatora nieobci
a»onego lub asymptotycznie nieobci
a»onego d
a»y
do zera gdy rozmiary próby rosn
a nieograniczenie wówczas estymator ten jest zgodny.
TWIERDZENIE:
Je»eli Tn (θ ) jest zgodnym estymatorem θ i je»eli h(θ ) jest wielomianem lub ilorazem
wielomianów to estymator h(Tn (θ )) jest estymatorem zgodnym dla h(θ ).
DEFINICJA:
(2)
(k)
Je»eli mamy zbiór estymatorów tego samego parametru θ : T(1)
n (θ ),Tn (θ ), ... Tn (θ ),
a
wówczas ten spo±ród nich nazywany jest najbardziej efektywnym, który ma najmniejsz
wariancj
e.
OD 'DOBREGO' ESTYMATORA A
DAMY ABY:
• speªniaª mocne prawo wielkich liczb lub byª zgodny
• O ile to mo»liwe chcemy by byª:
Nieobci
a»ony,
Najbardziej efektywny.
7.2
22
ESTYMATOR WARTOCI OCZEKIWANEJ
Jako estymator warto±ci oczekiwanej Tn (E(X)) przyjmuje si
e ±redni
a arytmetyczn
a niezale»nych pomiarów wielko±ci X. B
edziemy j
a oznacza¢ przez X :
1
Tn (E(X)) ≡ X = n
Pn
i=1
Xi
Estymator ten posiada optymalne wªasno±ci:
1. Koªmogorow pokazaª, »e X speªnia mocne prawo wielkich liczb a wi
ec oczywi±cie
jest zgodny,
a»ony.
2. Estymator X jest nieobci
1
E( n
P
i
Xi ) =
1
n
P
i
E(Xi ) =
1
n
(n.E(X)) = E(X) c.b.d.o.
Tu wykorzystano fakt, »e wszystkie warto±ci oczekiwane s
a równe E(Xi )=E(X).
3. Mo»na pokaza¢, »e X jest najbardziej efektywnym estymatorem E(X).
TWIERDZENIE:
σ(X)
Estymator X warto±ci oczekiwanej E(X) ma rozkªad normalny N(E(X), √n ) gdzie 'n'
jest liczb
a pomiarów w próbie.
WNIOSKI:
1. Odchylenie standardowe ±redniej arytmetycznej X jest
√
n - krotnie mniejsze
od odchylenia standardowego pojedynczego pomiaru.
2. Odchylenie standardowe σ (X ) czyli standardowa niepewno±¢ pomiaru ±redniej
arytmetycznej u(X̄) (wg tradycyjnej nomenklatury
bª
ad ±redni kwadratowy
±redniej arytmetycznej ) charakteryzuje dokªadno±¢ wyznaczenia prawdziwej warto±ci X w danym pomiarze skªadaj
acym si
e z n niezale»nych do±wiadcze«.
3. Aby charakteryzowa¢ dokªadno±¢ metody pomiarowej nale»y jako miar
e dokªadno±ci poda¢ standardow¡ niepewno±¢ pojedynczego pomiaru u(X) ≡ σ(X) (wg
tradycyjnej nomenklatury - bª¡d pojedynczego pomiaru ) .
4. W granicach wyznaczonych przez σ (X) powinno le»e¢ 68.27% wszystkich pomiarów a nie wszystkie pomiary.
7.3
23
ESTYMATOR ODCHYLENIA STANDARDOWEGO
(1)
S(X) ≡
q
1
n−1
Pn
i=1 (Xi
− X)2
Jest to zgodny, asymptotycznie nieobci
a»ony estymator.
UWAGA: zaleca si¦ u»ywa¢ tego estymatora odchylenia standardowego.
(2)
s(X) ≡
q
1
n
Pn
i=1 (Xi
− X)2
Jest to zgodny, asymptotycznie nieobci
a»ony i najbardziej efektywny estymator
(3)
S(X) ≡ kn S(X)
gdzie kn =
q
n−1
n−1 Γ( 2 )
2
Γ( n
)
2
Jest to zgodny i nieobci
a»ony estymator σ (X).
Wspóªczynnik "kn "mo»na zast
api¢ z niezªym przybli»eniem przez wstawienie do
wzoru na S(X) zamiast 1/(n-1) czynnika 1/(n-1.45).
Poni»ej podajemy w tabelce przykªadowe warto±ci wspóªczynnika kn dla ró»nych
'n':
q
n
kn
3
1.1284
1.1359
4
1.0853
1.0847
5
1.0640
1.0615
6
1.0506
1.0482
7
1.0423
1.0397
10
1.0280
1.0260
15
1.0181
1.0165
20
1.0134
1.0121
25
1.0104
1.0095
50
1.0051
1.0046
n−1
n−1.45
7.4
24
ZAPIS WYNIKÓW POMIARÓW
Poniewa» z do±wiadczenia nie uzyskujemy prawdziwej warto±ci oczekiwanej E(X)
oraz odchylenia standardowego σ (X) a tylko ich estymatory wi
ec nie podaje si
e ich
warto±ci z peªn
a (uzyskan
a z oblicze«) liczb
a cyfr znacz
acych.
KONWENCJA: Stosuje si
e nast
epuj
ac
a konwencje zapisu wyników, gdzie jako miar¦
niepewno±ci pomiaru podaje si¦ niepewno±¢ standardow¡ u(x) ≡ S(x).
• Pozostawia si
e tylko dwie cyfry znacz
ace standardowej nie-
pewno±ci pomiarowej, np. 0,023.
• Wynik pomiaru obliczamy tak aby wyznaczy¢ jedno
miejsce dziesi
etne dalej ni» miejsce dziesi
etne, na którym zaokr
aglono niepewno±¢ pomiarow¡, a nast
epnie zaokr
aglamy do tego samego miejsca dziesi
etnego, do którego
wyznaczono niepewno±¢ pomiarow¡, np. zamiast 1,9024
bierzemy 1,902.
• Wynik wraz z niepewno±ci¡ pomiarow¡ podajemy w ten
sposób, »e po wypisaniu wyniku dopisujemy w nawiasie dwie
cyfry znacz¡ce reprezentuj¡ce niepewno±¢ pomiaru i podajemy
jednostk¦, np.
m = 1,902(23) kg
lub
m = 1,902(0,023) kg
INNA FORMA ZAPISU:
Stosuje si¦ równie» zapis:
x = (wynik(x) ± U (x)) jednostka(x) , gdzie U (x) ≡ k · u(x)
•
tzw. niepewno±¢ rozszerzona.
Wspóªczynnik rozszerzenia k przyjmuje warto±ci 2 ≤ k ≤ 3
przy czym domy±lnie, tzn. je»eli nie podaje si¦ tego jawnie,
przyjmuje si¦ k = 2.
• UWAGA: ten zapis jest identyczny jak zapis stosowany dawniej (przed przyj¦-
ciem aktualnej konwencji zapisu) ale wtedy podawaªo si¦ standardow¡ niepewno±¢
u(x) zamiast rozszerzonej niepewno±ci U (x) ≡ k · u(x).
25
Zapis przykªadowy przytaczanego
powy»ej wyniku:
•
masa = (1,902 ± 0.046) kg .
UWAGA: Zastosowanie formy zapisu: (wynik ± niepewno±¢ pomiaru) mo»e prowadzi¢ do nieporozumienia, gdy nie napiszemy wyra¹nie, »e stosujemy now¡ konwencj¦ i »e jako wspóªczynnik rozszerzenia niepewno±ci bierzemy k = 2.
Zaleca si¦ wi¦c stosowanie zapisu, w którym podaje si¦ w nawiasie
2 cyfry znacz¡ce standardowej niepewno±ci pomiarowej. W przeciwnym wypadku nale»y wyra¹nie zaznaczy¢, »e podajemy rozszerzon¡ niepewno±¢ standardow¡ oraz wypisa¢ warto±¢ k.
UWAGA: Poniewa» omawiana metoda szacowania niepewno±ci opiera si¦ o statystyczny rozrzut pomiarów rz¡dzony rozkªadem Gaussa, to
• Niepewno±¢ standardowa pomiaru okre±la przedziaª warto±ci mierzonej wielko±ci
gdzie
z prawdopodobie«stwem ≈ 0.68 znajduje si¦ prawdziwa warto±¢ mierzonej wielko±ci.
• Rozszerzona niepewno±¢ z czynnikiem rozszerzenia k=2 okre±la przedziaª,
gdzie
z prawdopodobie«stwem ≈ 0.95 znajduje si¦ prawdziwa warto±¢.
Norma ISO okre±lania niepewno±ci pomiarowych proponuje zastosowanie dwu metod do tego celu:
Metoda A szacowania niepewno±ci pomiarowych to opisane powy»ej wnioskowanie o
niepewno±ci pomiaru z rozrzutu statystycznego wyników pomiaru
Metoda B stosuje si¦, gdy nie mo»emy takiego rozrzutu zaobserwowa¢ , np. gdy
• Dziaªka skali przyrz¡du pomiarowego jest wi¦ksza od obserwowanego roz-
rzutu,
• Pomiar mo»na wykona¢ tylko jednokrotnie bo, np. towarzyszy mu znisz-
czenie badanego obiektu, itp.
26
W metodzie B: post¦pujemy nast¦puj¡co:
• Szukamy takiego przedziaªu [a, b] warto±ci mierzonej wielko±ci x, »e wszyst-
kie warto±ci x ∈ [a, b] (np. dªugo±¢ [a, b] to wielko±¢ dziaªki skali przyrz¡du).
• Zakªadamy funkcj¦ g¦sto±ci prawdopodobie«stwa zmiennej x; najcz¦±ciej
zakªada si¦ jednostajny rozkªad: f (x) = 1/(b − a).
• Odchylenie standardowe tej wielko±ci bierzemy jako warto±¢ niepewno±ci
standardowej, np. dla rozkªadu jednostajnego
√
u(x) ≡ σ(x) = (b − a)/(2 3).
UWAGA: Poniewa» (b − a)/2 ≡ ∆x, gdzie ∆x to (tradycyjnie) tzw. bª¡d maksymalny
wi¦c wtedy standardowa niepewno±¢
√
u(x) = ∆x/ 3.
7.5
ROZKAD LICZBY POZYTYWNIE ZAKOCZONYCH DOWIADCZE
TWIERDZENIE: Je»eli prawdopodobie«stwo zrealizowania si
e danego zdarzenia losowego w pojedynczym do±wiadczeniu jest równe 'p' to liczba 'k' zrealizowanych
zdarze« w 'N ' niezale»nych do±wiadczeniach rz
adzona jest rozkªadem Bernoulliego
( dwumianowym, binomialnym):
P (k) =
N!
pk (1
k!(N −k)!
− p)N −k ; k = 0, 1, ..N
atwo mo»na pokaza¢, »e
E(k) = N · p
σ(k) =
p
N · p · (1 − p)
W zyce cz
esto zdarza si
e sytuacja gdy 'N ' jest bardzo du»e, 'p' bardzo maªe a
warto±¢ oczekiwana rejestrowanych zdarze« E(k) ≡ N · p jest staªa. np. N - liczba
radioaktywnych j
ader w badanej próbce, p - prawdopodobie«stwo rozpadu pojedynczego radioaktywnego j
adra w jednostce czasu, k - liczba rejestrowanych rozpadów w jednostce czasu
27
W takiej sytuacji rozkªad Bernoulliego przechodzi w rozkªad Poissona:
P (k) =
λk
exp(−λ)
k!
Warto±¢ oczekiwana i odchylenie standardowe wyra»aj
a si
e wzorem:
E(k) = λ
√
σ(k) = λ
Mo»na pokaza¢, »e dla dla N ⇒ ∞ rozkªad Bernoulliego i rozkªad Poissona d
a»
a
√
p
do rozkªadu normalnego N(N.p, N.p.(1 − p)) i N(λ, λ) odpowiednio.
7.6
NIEPEWNO STATYSTYCZNA
Liczba rejestrowanych w danym okresie czasu zdarze« 'k' rz
adzonych powy»szymi
prawami jest zmienn
a losow
a a wi
ec prawdziwa liczba zdarze« to E(k) a jej niepewno±¢ to σ(k). T¦ niepewno±¢ nazywana jest niepewno±ci¡ statystyczn¡ (tradycyjnie
bª¦dem statystycznym ).
ESTYMATOR prawdziwej liczby zdarze« i jej niepewno±ci statystycznej.
Jako estymator prawdziwej liczby zdarze« przyjmuje si
e liczb
e k zarejestrowanych zdarze« podczas pojedynczego pomiaru:
Tn (E(k)) = k
a jako estymator niepewno±ci statystycznej pierwiastek z tej liczby:
√
Tn (σ(k)) = k
POZORNY PARADOKS: Im dªu»ej mierzymy tym statystyczna niepewno±¢ liczby
zarejestrowanych zdarze« jest wi
eksza.
WYTUMACZENIE: Istotna jest statystyczna niepewno±¢ wzgl
edna a nie bezwzgl
edna:
σ(k)
Tn ( E(k)
)=
√1
k
.
28
NOMENKLATURA: Pomiar z maª¡ statystyczn¡ niepewno±ci¡ wzgl
edn¡ to pomiar z
DOBRA
a z du»¡ statystyczn¡ niepewno±ci¡ wzgl¦dn¡ to pomiar ze ZA
STATYSTYKA
.
W praktyce do opisu rejestracji liczby zdarze« stosujemy rozkªad Poissona. Interesuje nas jednak nie tylko odpowied¹ na pytanie:
'Ile zdarze« zachodzi w okre±lonym czasie ?'
ale równie» odpowied¹ na inne pytanie:
'Ile zachodzi zdarze« DANEGO TYPU ?'
PRZYKAD: Rejestrujemy produkty reakcji j
adrowej. Chcemy wiedzie¢ nie tylko
ile reakcji zachodzi ale tak»e ile jest produktów posiadaj
acych okre±lon
a energi
e.
PYTANIA:
1. Jakim rozkªadem rz
adzona jest liczba zdarze« w ka»dym przedziale (kanale)
energii?
2. Co by si
e staªo gdyby±my dodali liczby zdarze« z kilku s
asiednich kanaªów (dla
poprawienia statystyki liczby zdarze«) ?
ODPOWIEDZI:
ad 1 Liczba zdarze« w ka»dym kanale jest rz
adzona rozkªadem Poissona ale ka»dy z
tych rozkªadów ma zwykle ró»ny parametr λ.
ad 2 Korzystaj
ac z poni»szego twierdzenia:
TWIERDZENIE
Rozkªad prawdopodobie«stwa sumy sko«czonej liczby niezale»nych skªadników,
z których ka»dy rz
adzony jest rozkªadem Poissona o parametrze λi jest równie»
rozkªadem Poissona ale o nowym parametrze λ =
P
λi .
i
stwierdzamy, »e liczba zdarze« w kilku wysumowanych kanaªach k =
P
i
ki b
edzie
dalej rz
adzona rozkªadem Poissona z parametrem λ, którego estymator jest
równy Tn (E(k)) =
P
i
ki .
7.7
29
POMIARY POREDNIE
Je»eli w do±wiadczeniu mierzymy wielko±ci X1 , X2 , .. XN a nast
epnie wyliczamy
warto±¢ funkcji Y = Y(X1 , X2 , .. XN ) to tak
a procedur
e nazywamy pomiarem po±rednim.
7.7.1
ESTYMATOR E(Y) POMIARU POREDNIEGO Y
Estymatorem E(Y) jest warto±¢ funkcji Y wyliczona dla argumentów, które s
a estymatorami X1 , X2 , .. XN tzn. dla ±rednich arytmetycznych X1 , X2 , ..., XN :
Tn (E(Y(X1 , X2 , ..XN ))) = Y(X1 , X2 , ..., XN )
lub inaczej
E(Y(X1 , X2 , ..XN )) ≈ Y(X1 , X2 , ..., XN )
7.7.2
NIEPEWNO POMIARU POREDNIEGO
Przy zaªo»eniu, »e pomiary X1 , X2 , .. XN byªy wykonywane niezale»nie odpowiednio n1 , n2 , .. nN razy, niepewno±¢ pomiaru po±redniego nazywana wg NORMY
ISO niepewno±ci¡ zªo»on¡ (tradycyjnie bª¦dem ±rednim kwadratowym ) oszacowuje
si
e nast
epuj
aco:
s
N
P
∂Y 2
)
σ(Y ) ≈
( ∂X
i
i
Xi =Xi
· σ 2 (X i )
UWAGA:
1. X1 , X2 , .. XN to ró»ne wielko±ci a nie kolejne pomiary wielko±ci "X",
2. Pochodne liczone wzgl
edem 'Xi ' to pochodne cz
astkowe tzn. liczone przy zaªo»eniu, »e pozostaªe zmienne 'X' s
a ustalone,
3. Zamiast wariancji zmiennej σ 2 (X i ) u»ywa si
e jej estymatora tzn. S2 (X i ) Nkrotnie mniejszego od estymatora S2 (Xi ).
Je»eli pomiary wielko±ci mierzonych bezpo±rednio byªy wykonywane jednokrotnie
to nie mo»emy oszacowa¢ σ(X̄) z rozrzutu (tj. metod¡ A wg NORMY ISO) lecz
stosujemy metod¦ B oszacowania niepewno±ci standardowej pomiaru bezpo±redniego
opisan¡ powy»ej.
7.7.3
30
BA
D MAKSYMALNY
Bª¡d maksymalny pomiaru po±redniego to tradycyjne poj¦cie, które stosowano, gdy
nie mo»na byªo oszacowa¢ niepewno±ci pomiaru bezpo±redniego z rozrzutu wyników.
Liczono go wg poni»szego wzoru, tzn. metoda
ró»niczki zupeªnej.
∆(Y ) ≈
N
P
∂Y
| ∂X
| · ∆(Xi )
i
i
Tu moduªy pochodnych s
a wyliczane dla jednokrotnie zmierzonych wielko±ci Xi a
symbol ∆(Xi ) oznacza maksymalny bª
ad tej wielko±ci mierzonej bezpo±rednio.
Zgodnie z NORM ISO : Nie nale»y u»ywa¢ poj¦cia bª¦du maksymalnego pomiaru po±redniego lecz liczy¢ niepewno±¢ pomiaru po±redniego jako zªo»on¡ niepewno±¢ pomiarow¡ wstawiaj¡c zamiast niepewno±ci pomiarów bezpo±rednich otrzyma-
nych "metod¡ A"(tzn. z rozrzutu pomiarów) niepewno±ci oszacowane "metod¡ B".
Nale»y tak post¦powa¢ bo:
• W odró»nieniu od zªo»onej niepewno±ci standardowej bª
ad maksymalny nie ma
interpretacji statystycznej.
• atwo mo»na pokaza¢ , »e bª¡d maksymalny obliczony metod
a ró»niczki zupeªnej
jest zawsze wiekszy od zªo»onej niepewno±ci standardowej.
8
31
REGRESJA LINIOWA
DEFINICJA Regresja liniowa zmiennej Y wzgledem zmiennej X to linia prosta
Y = a · X + b,
której parametry a i b dobiera si¦ tak aby minimalizowa¢ sum
e kwadratów
odchyle« wspóªrz
ednych (Yi , i = 1, 2, ..n) zespoªu 'n' punktów o wspóªrz
ednych
(X1 , Y1 ),(X2 , Y2 ),... (Xn , Yn ) od linii.
UWAGA Regresja liniowa X wzgl
edem Y tj. prosta X = c · Y + d pokrywa
si
e z regresj
a liniow
a Y wzgl
edem X tj. prost
a Y = a · X + b znalezion
a dla tego
samego zespoªu punktów do±wiadczalnych tylko wtedy gdy zwi
azek pomi
edzy X i Y
jest funkcyjnym zwi
azkiem liniowym (a nie zale»no±ci
a statystyczn
a).
Rozwa»ymy tu specyczn
a sytuacj
e polegaj
ac
a na tym, »e:
• zmienna X ma zaniedbywalnie maªe niepewno±ci pomiarowe
(mówimy wtedy, »e 'X jest zmienn
a kontrolowan
a')
• zmienna obja±niana Y jest zmienn
a losow
a o znanej niepewno±ci standardowej σ(yi )
dla ka»dego punktu o wspóªrz¦dnych (xi , yi ).
Wtedy dostajemy nast¦puj¡ce estymatory parametrów regresji:
n
P
Tn (a) =
wi yi (xi − x̄w )
i=1
n
P
wi (xi − x̄w )2
i=1
Tn (b) = ȳw − Tn (a) · x̄w
gdzie
n
P
2
wi ≡ 1/σ (yi ),
x̄w ≡
n
P
wi xi
i=1
n
P
i=1
,
wi
ȳw ≡
wi yi
i=1
n
P
i=1
wi
32
Niepewno±ci standardowe estymatorów parametrów a i b równie» wyra»aj
a si
e analitycznymi wzorami:
σ (Tn (a)) =
v
u n
uX
1/t
wi (xi − x̄w )2
i=1
σ (Tn (b)) =
v
u 1
u
u n
tP
wi
+ P
n
i=1
x̄2w
wi (xi − x̄w )2
i=1
Niepewno±¢ standardowa warto±ci Y przewidzianej przez lini
e regresji (zale»na od x):
v
u
u 1
σ (y (x)) = u
uP
t n
wi
(x − x̄w )2
+ P
n
i=1
wi (xi − x̄w )2
i=1
Mo»emy spotka¢ si¦ z jeszcze prostsz¡ sytuacj¡ polegaj¡c¡ na tym, »e:
• Zmienna X jest zmienn¡ kontrolowan¡ a niepewno±¢ standardowa zmiennej Y
jest taka sama dla wszystkich punktów i wynosi σ(Y ).
Wtedy dostajemy proste, analityczne wzory na estymatory parametrów regresji:
Tn (b) =
Tn (a) =
W
(
P
i
Xi 2 ) · (
n·(
≡ n·
P
i
Yi ) − (
i Xi · Yi ) − (
P
X
i
Xi2
−(
X
P
W
P
i
i
Xi ) · (
Xi ) · (
P
P
i
i
Xi · Yi )
Yi )
W
Xi )2
i
Wska¹nik sumowania i przebiega warto±ci od 1 do n.
33
Niepewno±ci standardowe estymatorów parametrów a i b równie» wyra»aj
a si
e
analitycznymi wzorami:
sP
i
u(b) ≡ Tn (σ(b)) = σ(Y ) ·
r
u(a) ≡ Tn (σ(a)) = σ(Y ) ·
Xi2
W
n
W
Mo»emy równie» poda¢ wzór na niepewno±¢ standardow¡ warto±ci Y przewidzianej przez lini
e regresji (zale»n¡ od X):
u(Y (X)) ≡ Tn (σ(Y (X))) =
v
u
u1
(X − X)2
σ(Y ) · t + P
(Xi − X)2
n
i
Symbol X oznacza tu ±redni¡ arytmetyczn¡.
• Tn (σ(Y (X))) to estymator niepewno±ci standardowej warto±ci Y (X) przewi-
dzianej przez regresj
e,
• σ(Y ) to niepewno±c pomiaru wspóªrz
ednej Yi (z zaªo»enia taka sama dla wszyst-
kich punktów).
Gdy jej nie znamy wpisujemy tu (i do wzorów na niepewno±ci parametrów a i b) estymator
Tn (σ(Y )),
ednych
• X to ±rednia arytmetyczna warto±ci zmiennej kontrolowanej wyliczona ze wspóªrz
punktów X1 ,X2 ,... Xn ,
• X - to warto±¢ zmiennej kontrolowanej X , dla której wyliczamy warto±¢ regresji
liniowej Y (X) oraz estymator niepewno±ci regresji liniowej Y (X) dla tej warto±ci
argumentu X .
9
34
INDEKS
- Bª¡d
denicja
17,
gruby
18,
maksymalny
30,
przypadkowy
19,
systematyczny
18,
statystyczny
27,
- Centralne twierdzenie graniczne 16
- Dystrybuanta
zmiennej losowej
funkcji zmiennej losowej
- Estymacja
punktowa
przedziaªowa
7,
9,
6,
6
- Estymator
asymptotycznie nieobci¡»ony
21,
standardowej niepewno±ci pojedynczego pomiaru
24,
standardowej niepewno±ci pomiaru po±redniego
29,
standardowej niepewno±ci parametrów regresji liniowej
32,
standardowej niepewno±ci regresji liniowej
33,
standardowej niepewno±ci ±redniej arytmetycznej
22,
niepewno±ci statystycznej
27,
najbardziej efektywny
21,
nieobci¡»ony
20,
obci¡»ony
21,
odchylenia standardowego
23,
prawdopodobie«stwa
6,
speªniaj¡cy mocne prawo wielkich liczb
6,
warto±ci oczekiwanej
zgodny (speªniaj¡cy prawo wielkich liczb)
- Kwantyl (fraktyl)
dolny kwartyl
11,
górny kwartyl
11,
mediana
11
22,
6,
35
- Moda 12
- Moment 12
- Niepewno±¢ pomiarowa
metoda A wyznaczania
25,
metoda B wyznaczania
25,
rozszerzona
24,
rozszerzona - zapis
24,
standardowa pomiaru bezpo±redniego
20,
standardowa pomiaru po±redniego (niepewno±¢ zªo»ona)
29,
standardowa - zapis
24,
statystyczna
27,
statystyczna - wzgl¦dna
27,
- Prawdopodobie«stwo
denicja
3,
estymator
6,
g¦sto±¢
8,
rozkªad
8,
wªasno±ci
3,
- Regresja liniowa 31
- Rozkªad
Bernoulliego (dwumianowy, binomialny)
26,
Gaussa (normalny)
15,
Poissona
27,
- Statystyka 5
- Warto±¢ oczekiwana
(nadzieja matematyczna, warto±¢ ±rednia) 12
- Wariancja
(dyspersja, kwadrat odchylenia standardowego) 13
- Wspóªczynnik rozszerzenia (niepewno±ci pomiarowej), 24
- Zapis wyników, 24
- Zdarzenia 2
elementarne
36
2,
iloczyn zdarze«
2,
losowe
2, 3,
niemo»liwe
2,
niezale»ne
5,
pewne
2,
przeciwne
2,
ró»nica zdarze«
2,
suma zdarze«
2,
- Zmienna
losowa
3,
losowa skokowa
3
SZANOWNY CZYTELNIKU !
• Notatki, które czytasz nie maj¡ zast¡pi¢ wykªadu SMOP-I, co najlepiej wi-
da¢ po tym, »e prawie nie zawieraj¡ komentarzy. S¡dz¦ jednak, »e mog¡ by¢
po»yteczne dla tych, którzy chc¡ znale¹¢ w jednym miejscu podstawowe denicje i wzory niezb¦dne do analizy statystycznej danych na poziomie Pierwszej Pracowni Fizycznej. Mog¡ równie» stanowi¢ wst¦p do nauki bardziej
zaawansowanych metod statystycznych - wykªadanych w ramach wykªadu
SMOP-II.
• Mam nadziej¦,
ªek.
»e w tych notatkach jest stosunkowo maªo pomy-
Jednak»e wielokrotnie przekonaªem si¦,
»e bª¦dów nie robi¡
tylko ci co nic nie robi¡ a wi¦c z pewno±ci¡ znajd¡ si¦ tu bª¦dy.
B¦d¦ wdzi¦czny za powiadomienie mnie o tych bª¦dach oraz za wszelkie
uwagi, które pomog¡ poprawi¢ te notatki oraz jako±¢ wykªadu na nich opartego.
(B. Kamys; [email protected])

Tekst spakowany aby zmniejszyć liczbę stron druku

Transkrypt

Podobne dokumenty

Jewtuszenko styczniową porą Wznosiła się jutrzenka

PDF - World Challenge

BIO 40508, pula

Lista 1 (Estymacja parametrów)

1. Zmienna losowa S ma zªo»ony rozkªad Poissona CPoiss(10,p

Zadania różne