xf - Beata Milczek

RACHUNEK RÓŻNICZKOWY
FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ
Wykorzystano:
MATEMATYKA
Wykład dla studentów Część 1
Krzysztof KOŁOWROCKI
Przyjmijmy, że y = f ( x), x ∈ D, jest funkcją określoną w zbiorze
D ⊂ R oraz niech x0 ∈ D
Definicja 1
Jeżeli istnieje granica
f ( x0 + h) − f ( x0 )
f ' ( x0 ) = lim
h →0
h
to nazywamy ją pochodną funkcji f (x) w punkcie x0
Jeśli granica ta nie istnieje, to funkcja f (x)
nie posiada pochodnej w punkcie x0
Pochodną funkcji f (x) w punkcie oznaczamy też symbolem y ' ( x0 )
Interpretacja geometryczna pochodnej funkcji
(…)
Z interpretacji geometrycznej pochodnej funkcji wynika, że
f ( x0 + h) − f ( x0 )
= tgβ ,
h
gdzie β jest kątem nachylenia siecznej krzywej y = f (x)
przechodzącej przez punkty ( x0 , f ( x0 )) i ( x0 + h, f ( x0 + h)),
do osi OX
Biorąc granicę wyrażeń znajdujących się po obu stronach
powyższej równości przy h → 0, otrzymujemy
f ' ( x0 ) = tgα ,
gdzie α jest kątem nachylenia stycznej do krzywej y = f (x)
poprowadzonej w punkcie ( x0 , f ( x0 )) do osi OX
natomiast tgα jest współczynnikiem kierunkowym tej stycznej.
Wniosek 1
Równanie stycznej do krzywej, poprowadzonej w punkcie o
odciętej x0 , ma postać
y − y0 = f ' ( x0 )( x − x0 ),
gdzie y0 = f ( x0 ).
Definicja 2
Funkcję f (x) posiadającą pochodną f ' ( x0 ) w punkcie x0
nazywamy różniczkowalną w tym punkcie. Jeśli funkcja f (x)
posiada pochodną f ' ( x) w każdym punkcie zbioru D
to nazywamy ją różniczkowalną w tym zbiorze. Znajdowanie
pochodnych funkcji nazywamy różniczkowaniem.
Pochodną f ' ( x) oznaczamy także symbolem y ' ( x) lub krótko y '.
Przykład
Z definicji pochodnej wyprowadzić wzory na pochodną f ' ( x) jeśli
1.
f ( x) = sin x, x ∈ R
2.
f ( x) = log a x, a > 0, a ≠ 1, x > 0
Podobnie można wyprowadzić wzory na pochodne innych funkcji.
Twierdzenie 1 (wzory podstawowe)
Prawdziwe są następujące wzory: …(Tab.1)
Twierdzenie 2 (podstawowe)
Jeżeli funkcje f (x) oraz g (x) są różniczkowalne dla x ∈ D,
to w zbiorze tym
[a ⋅ f ( x)]′ = a ⋅ f ′( x)
[ f ( x) + g ( x)]′ =
[ f ( x) ⋅ g ( x)]′ =
f ′( x) + g ′( x)
f ′( x) ⋅ g ( x) + f ( x) ⋅ g ′( x)
′
f ′( x) ⋅ g ( x) − f ( x) ⋅ g ′( x)
 f ( x) 
 g ( x)  =
g 2 ( x)


−1
D
Jeżeli ponadto f jest różniczkowalna na zbiorze g , to dla x ∈ D,
′
[ f ( g ( x) )] = f ′( g ( x) )g ′( x)
Definicja 3
Przyrostem funkcji y = f (x) w punkcie x0 odpowiadającym
przyrostowi dx argumentu x nazywamy liczbę
∆y ( x 0 ) ≡ ∆f ( x 0 ) = f ( x 0 + dx) − f ( x 0 ).
Definicja 4
Różniczką funkcji y = f (x) w punkcie x0 odpowiadającym
przyrostowi dx argumentu x, nazywamy liczbę
dy ( x0 ) ≡ df ( x0 ) = f ' ( x0 )dx.
Pomiędzy przyrostem i różniczką funkcji zachodzi następująca
przybliżona zależność
∆f ( x0 ) ≅ df ( x0 ),
skąd otrzymujemy następujące przybliżenie
f ( x 0 + dx) ≅ f ( x 0 ) + f ' ( x 0 )dx.
Interpretacja geometryczna różniczki funkcji: (…)
Definicja 5
Jeżeli pochodna y ' = f ' ( x) funkcji y = f (x) jest funkcją
różniczkowalną w zbiorze D, to jej pochodną ( y ' )' = ( f ' ( x))'
nazywamy pochodną rzędu drugiego funkcji y = f (x)
w tym zbiorze i oznaczamy symbolem y ' ' lub symbolem f ' ' ( x)
Podobnie definiujemy pochodne wyższych rzędów funkcji y = f (x),
czyli pochodną n-tego rzędu funkcji y = f (x), nazywamy pochodną
jej pochodnej n-1-go rzędu, tzn.
y ( n ) = ( y ( n −1) )' lub
f ( n ) ( x) = ( f ( n −1) ( x ))' dla n ≥ 1.
Obok oznaczeń pochodnych
y ' , y ' ' , y ' ' ' , y ( 4) ,. . ., y ( n ) ,...L, f ' ( x), f ' ' ( x), f ' ' ' ( x), f ( 4) ( x), . . ., f ( n ) ,...
stosujemy także oznaczenia
dy d 2 y d 3 y
, 2 , 3 , . . . oraz
dx dx dx
df ( x) d 2 f ( x) d 3 f ( x)
,
,
, ...
2
3
dx
dx
dx
Twierdzenie 3 (reguła de L’Hospitala)
Jeżeli
i) Funkcje f (x), g ( x ), f ' ( x ) i g ' ( x )
są określone w pewnym
sąsiedztwie punktu x0
ii) lim f ( x) = lim g ( x) = 0 albo lim f ( x) = ±∞ i lim g ( x) = ±∞
x → x0
x → x0
f ' ( x)
iii) Istnieje granica lim
x→ x0 g ' ( x )
x → x0
x → x0
(właściwa albo niewłaściwa),
f ( x)
to istnieje granica lim
x→ x0 g ( x )
i ponadto
f ( x)
f ' ( x)
lim
= lim
x → x0 g ( x )
x → x0 g ' ( x )
Uwaga
Twierdzenie de L’Hospitala służy do obliczania granic ilorazów
∞
0
będących tzw. symbolami nieoznaczonymi typu
oraz typu
0
∞
Jest ono słuszne także w przypadku granic jednostronnych
w punkcie x0 oraz w przypadkach gdy x zmierza do ± ∞,
tzn. gdy x 0 = −∞ lub x 0 = +∞
Twierdzenie 4 (o monotoniczności funkcji)
Jeśli f ' ( x) > 0 dla każdego x ∈ (a, b), to f (x) jest rosnąca
w tym przedziale, natomiast jeśli f ' ( x) < 0 dla każdego x ∈ (a, b), to
f (x) jest malejąca w tym przedziale, jeżeli f ' ( x) = 0, dla każdego
x ∈ (a, b) to f (x) jest stała w przedziale (a, b).
Uzasadnienie:
Prawdziwość twierdzenia wynika z interpretacji geometrycznej
pochodnej (styczna do wykresu ma dodatni współczynnik
kierunkowy dla funkcji rosnącej…)
Definicja 6
Funkcja f (x) ma w punkcie x0 maksimum lokalne,
gdy dla każdego x z pewnego sąsiedztwa tego punktu zachodzi
nierówność
f ( x ) ≤ f ( x0 )
Funkcja f (x) ma w punkcie x0 minimum lokalne,
gdy dla każdego x z pewnego sąsiedztwa tego punktu zachodzi
nierówność
f ( x ) ≥ f ( x0 )
Maksima i minima nazywamy ekstremami. Zamiast ekstremum
lokalne mówimy także krótko ekstremum.
Twierdzenie 5 (warunek konieczny istnienia ekstremum)
Jeżeli funkcja f (x) ma ekstremum w punkcie x0
i ma w tym punkcie pochodną pierwszego rzędu, to f ' ( x0 ) = 0.
Wniosek
Funkcja może mieć ekstrema tylko w punktach, w których jej
pochodna jest równa zeru, albo w punktach w których jej
pochodna nie istnieje.
Twierdzenie 6 (pierwszy warunek wystarczający istnienia ekstremum)
Jeżeli funkcja f (x) posiada w pewnym sąsiedztwie punktu x0
pochodną oraz f ' ( x0 ) = 0, to funkcja f (x) ma w punkcie x0
i) minimum lokalne y min = f ( x 0 ), gdy f ' ( x) < 0 dla x < x0
oraz f ' ( x) > 0 dla x > x0
ii) maksimum lokalne y max = f ( x 0 ), gdy f ' ( x) > 0 dla x < x0
oraz f ' ( x) < 0 dla x > x0
(w pewnym sąsiedztwie punktu x0)
Uwaga
Powyższe twierdzenie oznacza, że na to aby w punkcie x0 funkcja
f (x) posiadała ekstremum lokalne wystarcza aby pochodna
f ' ( x) pierwszego rzędu była równa zero w tym punkcie i zmieniała
w nim znak.
Przykład
Wyznaczyć przedziały monotoniczności i ekstrema funkcji
4 −2 x 2
y=x e
Twierdzenie 7 (drugi warunek wystarczający istnienia ekstremum)
Jeżeli funkcja f (x) ma w pewnym otoczeniu x0 punktu pochodne
do rzędu n , pochodna f ( n ) ( x) jest ciągła w punkcie x0 , n jest
liczbą parzystą, a ponadto
f ( k ) ( x0 ) = 0 dla k = 1,2,..., n − 1 oraz f ( n ) ( x0 ) ≠ 0,
to funkcja f (x) ma w punkcie x0
i) maksimum lokalne, gdy
f ( n ) ( x0 ) < 0,
f ( n ) ( x0 ) > 0.
ii) minimum lokalne, gdy
Definicja 7
Ekstremum absolutnym funkcji f(x) w przedziale domkniętym [a,b]
nazywamy jej wartość największą lub odpowiednio wartość
najmniejszą w tym przedziale.
Wniosek
Funkcja ciągła określona w przedziale domkniętym osiąga
ekstrema absolutne tylko w punktach, w których ma ekstrema
lokalne lub na końcach tego przedziału.
Definicja 8
Jeśli styczna do krzywej w każdym punkcie przedziału (a,b)
znajduje się pod tą krzywą, to krzywą nazywamy wypukłą w dół w
tym przedziale. Jeśli natomiast styczna do krzywej w każdym
punkcie przedziału (a,b) znajduje się nad tą krzywą, to krzywą
nazywamy wypukłą w górę w tym przedziale.
Twierdzenie 8 (wypukłość krzywej)
Jeżeli
f ' ' ( x) > 0 dla każdego x ∈ (a, b), to krzywa y = f (x)
jest wypukła w dół w przedziale (a, b)
f ' ' ( x) < 0 dla każdego x ∈ (a, b) , to krzywa y = f (x) jest wypukła
w górę w przedziale (a, b)
Definicja 9
Punkt P0 ( x0 , f ( x0 )) nazywamy punktem przegięcia krzywej y = f (x)
jeżeli
i) istnieje styczna do tej krzywej w punkcie P0
ii) krzywa ta jest wypukła w pewnym lewostronnym sąsiedztwie
punktu x0 oraz jest wklęsła w pewnym prawostronnym sąsiedztwie
tego punktu, albo na odwrót.
Przykład
(brak zgodnego z definicją punktu przegięcia)
f ( x) = ln x
Twierdzenie 9 (warunek konieczny istnienia punktu przegięcia)
Jeśli
i) funkcja f (x) ma w pewnym otoczeniu punktu x 0 pochodną 2-go
rzędu f ' ' ( x) ciągłą w tym punkcie
ii) punkt P0 ( x0 , f ( x0 )) jest punktem przegięcia krzywej y = f (x)
to
f ' ' ( x0 ) = 0.
Twierdzenie 10 (warunek wystarczający istnienia punktu przegięcia)
Jeśli
i) funkcja f (x) ma w pewnym otoczeniu punktu x 0 pochodną 2-go
rzędu f ' ' ( x) ciągłą w tym punkcie,
ii) f ' ' ( x ) zmienia znak w punkcie x0 ,
to
P0 ( x0 , f ( x0 )) jest punktem przegięcia krzywej y = f (x)
Twierdzenie 11
(drugi warunek wystarczający istnienia punktu przegięcia)
Jeżeli funkcja f (x) ma w pewnym otoczeniu punktu x0
pochodne do rzędu n , pochodna f ( n ) ( x) jest ciągła
w punkcie x0 , n jest liczbą nieparzystą, a ponadto
f ( k ) ( x0 ) = 0 dla k = 1,2,..., n − 1 oraz f ( n ) ( x0 ) ≠ 0,
to x0 jest punktem przegięcia funkcji
f (x).
Definicja 10
Prostą o równaniu y = mx + k nazywamy asymptotą ukośną
(poziomą, gdy m=0) gdy
f ( x)
m = lim
, k = lim ( f ( x) − mx)
x →∞ x
x →∞
(analogicznie dla x → −∞ )
Definicja 11
Prostą o równaniu x = c nazywamy asymptotą pionową, gdy
lim− f ( x) = ∞ lub lim+ f ( x) = ∞
x →c
x →c
Badanie przebiegu zmienności krzywej
1. Określenie dziedziny (punkty nieciągłości)
2. Punkty przecięcia z osiami układu
3. Granice na krańcach dziedziny, prawostronne
i lewostronne w punktach nieciągłości
4. Asymptoty ukośne
5. Monotoniczność i ekstrema
6. Przedziały wypukłości i punkty przegięcia
7. Szkic wykresu
Przykłady:
1.
x3
f ( x) =
(1 + x) 2
2x
2. g ( x) = arcsin
1 + x2
D f : x ∈ R \ {− 1}
Dg : x ∈ R
Twierdzenie Rolle’a
Założenia:
(i) y=f(x) jest funkcją ciągłą w przedziale [a,b]
(ii) y=f(x) jest funkcją różniczkowalną w każdym punkcie
przedziału (a,b)
(iii) f(a)=f(b)
Teza:
∃ c ∈ ( a , b ) : f ' (c ) = 0
Twierdzenie Cauchy’ego
Założenia:
(i) y=f(x), y=g(x) są funkcjami ciągłymi w przedziale [a,b]
(ii) y=f(x), y=g(x) są funkcjami różniczkowalnymi w każdym
punkcie przedziału (a,b)
(iii) g’(x) ≠ 0 dla dowolnego x ∈ (a, b)
Teza:
f (b) − f (a ) f ' (c)
∃ c ∈ ( a, b) :
=
g (b) − g (a ) g ' (c)
Twierdzenie Lagrange’a
Założenia:
(i) y=f(x) jest funkcją ciągłą w przedziale [a,b]
(ii) y=f(x) jest funkcją różniczkowalną w każdym punkcie
przedziału (a,b)
f (b) − f (a )
Teza:
∃ c ∈ ( a, b) :
Twierdzenie Taylora
b−a
= f ' (c )
Założenia:
(i) y=f(x) jest funkcją n+1-krotnie różniczkowalną w każdym
punkcie przedziału (a,b)
( n+1)
( x )ciągła w (a,b)
(ii) f
Teza:
(i )
( n+1)
f (a)
f
(c)
i
n+1
∃ c ∈ (a, b) : f (b) = ∑
(b − a) +
(b − a)
i =0
(n + 1)!
i!
n
Wyrażenie
f
( n+1)
(c)
n+1
Rn (b, a) =
(b − a)
(n + 1)!
nazywamy resztą w postaci Lagrange’a.
Jeżeli zastosujemy twierdzenie Taylora do funkcji na
odcinku [ 0, x ], to otrzymane wyrażenie nazywane jest
wzorem Maclaurina:
n
f ( x) = ∑
i =0
f
(i )
( n +1)
( 0) i f
(c) n +1
x +
x
i!
(n + 1)!
Przykład
Rozwinąć według wzoru Taylora funkcję f(x)=xlnx w przedziale
[1,2] oraz dla n=3
Przykład
Obliczyć
e
z dokładnością do 0,01
Krzywizna krzywej
Założenia:
(i) y=f(x) jest funkcją 2-krotnie różniczkowalną w każdym
punkcie przedziału (a,b)
(ii) f (x ) ciągła w [a,b] (<a,b>)
Wiemy, że równanie stycznej do krzywej y=f(x) w punkcie
( x0 , f ( x0 )), gdzie x0 ∈ ( a, b) ma postać:
y − f ( x0 ) = f ' ( x0 ) ⋅ ( x − x0 )
Prostopadłą do stycznej w punkcie styczności nazywamy
normalną do krzywej y=f(x) i jej równanie ma postać:
1
y − f ( x0 ) = −
⋅ ( x − x0 ), f ' ( x0 ) ≠ 0
f ' ( x0 )
Niech ( x0 + h, f ( x0 + h)), gdzie x0 + h ∈ ( a, b)
będzie punktem na krzywej y=f(x).
Normalna w punkcie ( x0 + h, f ( x0 + h)) ma postać:
1
y − f ( x0 + h) = −
⋅ ( x − x0 − h)
f ' ( x0 + h)
Rys.:(…)
Niech normalne do krzywej y=f(x) poprowadzone w punktach
( x0 , f ( x0 )) i ( x0 + h, f ( x0 + h)) przecinają się w punkcie ( xw , yw )
Po rozwiązaniu układu równań:
 y − f (x ) = − 1 ⋅ (x − x )
0
0

f ' ( x0 )

1
 y − f ( x0 + h) = −
⋅ ( x − x0 − h)

f ' ( x0 + h)
Otrzymujemy:
 x = x − f ' ( x ) ⋅ h + f ' ( x0 + h)[ f ( x0 + h) − f ( x0 )]
0
0
 w
f ' ( x0 + h) − f ' ( x0 )

h + f ' ( x0 + h)[ f ( x0 + h) − f ( x0 )]
 yw = f ( x0 ) +

f ' ( x0 + h) − f ' ( x0 )
co można zapisać w postaci:
f ( x0 + h) − f ( x0 )

1
+
f
'
(
x
0 + h)

h
x
=
x
−
f
'
(
x
)
⋅
0
0
 w
f ' ( x0 + h) − f ' ( x0 )

h

f ( x0 + h) − f ( x0 )

1 + f ' ( x0 + h)
h
 yw = f ( x0 ) +
f ' ( x0 + h) − f ' ( x0 )


h
Przechodząc do granicy przy h→0 otrzymujemy współrzędne
środka krzywizny:

1 + [ f ' ( x0 )]
 xs = x0 − f ' ( x0 ) ⋅ f ' ' ( x )
0

2
 ys = f ( x0 ) + 1 + [ f ' ( x0 )]

f ' ' ( x0 )
2
Odległość punktów ( x0 , f
promieniem krzywizny:
( x0 )) i ( xs , ys )
[
1 + [ f ' ( x )] ]
r=
0
f ' ' ( x0 )
3
2 2
nazywamy
Krzywizną krzywej y = f ( x ) w punkcie ( x0 , f ( x0 ))
Nazywamy odwrotność promienia krzywizny w tym punkcie:
1
K= =
r
f ' ' ( x0 )
[1 + [ f ' ( x )] ]
0
3
2 2
Przykład
Znaleźć równanie okręgu krzywiznowego w punkcie, w którym
parabola
y = 2x − 8
2
ma największą krzywiznę.