17.12.2010 r. Zadanie 1 (Twierdzenie o koniach wyścigowych

17.12.2010 r.
Zadanie 1 (Twierdzenie o koniach wyścigowych). Niech f, g : [a, b] → R będą funkcjami
ciągłymi i różniczkowalnymi na (a, b). Załóżmy, że f (a) = g(a) oraz f (b) = g(b). Udowodnić,
że istnieje punkt c ∈ (a, b) taki, że f 0 (c) = g 0 (c). Jak można wyjaśnić nazwę tego twierdzenia?
Zadanie 2. Niech h : R → R będzie funkcją różniczkowalną w zerze taką ,że
• h(ax) = bh(x) dla wszystkich x ∈ R, gdzie a, b ∈ R i 0 6= |a| =
6 1;
• h0 (0) 6= 0.
Wykazać, że a = b oraz istnieje c ∈ R taka, że h(x) = cx.
Zadanie 3 (Wskazówka 1 ). Niech f : (0, +∞) → R będzie funkcją różniczkowalną oraz
lim (f (x) + f 0 (x)) = g.
x→∞
Wykazać, że lim f (x) = g.
x→∞
Zadanie 4. Niech n ∈ N będzie ustaloną liczbą. Dla jakich k ∈ N wyrażenie
największą wartość?
nk
k!
przyjmuje
Zadanie 5 (Wskazówka 2 ). Udowodnić, że zachodzą nierówności
nn
nn
< en < (2n + 1) .
n!
n!
Jako wniosek wykazać, że
√
n
1
n!
lim
= .
n→∞ n
e
x
Pomnożyć wyrażenie f (x) + f 0 (x) przez eex a następnie skorzystać z reguły de L’Hospitala.
2
Zapisać (zob. Zadanie 7. w zad151210)
1
en =
n−1
X
k=0
∞
nk X nk
+
=: A + B.
k!
k!
k=n
Składnik A oszacować korzystając z poprzedniego zadania. Składnik B oszacować przez szereg geometryczny.
1