Wstęp do równań różniczkowych

SYLABUS - Karta programu przedmiotu
WYDZIAŁ FIZYKI, MATEMATYKI I INFORMATYKI
Rodzaj studiów: studia stacjonarne pierwszego stopnia
Kierunek: MATEMATYKA
Rok akad.: 2010/2011
Przedmiot podstawowy
Przedmiot: WSTĘP DO RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH
Rok studiów:
Semestr:
II
4
ECTS: 6
Rodzaj zajęć:
W
Ć
Liczba godzin w semestrze:
30
15
S
L
15
Przedmioty wprowadzające / wymagania wstępne:
Analiza matematyczna I, Analiza matematyczna II, Elementy algebry liniowej
Założenia i cele przedmiotu:
rozwiązywanie podstawowych typów równań różniczkowych i ich układów; dostrzegania,
interpretowania i wykorzystywania związków i zależności wyrażonych za pomocą równań
różniczkowych; stosowania zdobytej wiedzy, zarówno do rozwiązywania zagadnień teoretycznych jak
i zagadnień praktycznych, w innych dziedzinach – w fizyce, chemii, technice,
ekonomii – w szczególności do modelowania matematycznego; wykorzystywanie
metod numerycznych i metod algebry komputerowej do rozwiązywania równań różniczkowych
Metody dydaktyczne:
wykład audytoryjny ze wspomaganiem technikami audiowizualnymi, ćwiczenia audytoryjne, laboratorium komputerowe
Forma i warunki zaliczenia przedmiotu:
pozytywna ocena z ćwiczeń i laboratorium, egzamin pisemny i ustny.
TREŚCI PROGRAMOWE
Wykłady:
1. Równania różniczkowe zwyczajne. Podstawowe pojęcia i definicje. Przykłady zjawisk
prowadzących do równań różniczkowych.
2. Równania różniczkowe I rzędu elementarnie całkowalne: równania o zmiennych rozdzielonych,
równania jednorodne, równania liniowe, równanie Bernoulliego, równanie Riccatiego. Czynnik
całkujący.
3. Twierdzenia o istnieniu i jednoznaczności rozwiązania równania różniczkowego I rzędu. Metoda
kolejnych przybliżeń.
4. Równania różniczkowe rzędu n całkowalne za pomocą kwadratur.
5. Równanie liniowe różniczkowe rzędu n. Przestrzeń liniowa rozwiązań, fundamentalny układ
rozwiązań równań jednorodnych. Wzór Liouville’a. Równanie liniowe niejednorodne. Równanie
liniowe rzędu n o stałych współczynnikach.
6. Układy normalne równań różniczkowych. Twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności rozwiązania
zagadnienia Cauchy’ego. Twierdzenie o ciągłości i różniczkowalności rozwiązania jako funkcji
parametrów i danych początkowych.
7. Układy równań różniczkowych liniowych I rzędu. Podstawowe własności rozwiązań. Układy
liniowe niejednorodne. Metoda uzmienniania stałych dowolnych. Układy liniowe o stałych
współczynnikach.
8. Jakościowa teoria równań różniczkowych zwyczajnych: pojęcie stabilności, punkty krytyczne
układów autonomicznych.
9. Informacja na temat równań różniczkowych cząstkowych.
Ćwiczenia audytoryjne
1. Rozwiązywanie równań różniczkowych pierwszego rzędu: równań o rozdzielających się
zmiennych, równań jednorodnych, równań liniowych, równania Bernoullego, równania Riccatiego,
równania w postaci różniczki zupełnej. Znajdowanie czynnika całkującego. Konstruowanie
rozwiązań równań pierwszego rzędu za pomocą metody kolejnych przybliżeń.
2. Rozwiązywanie równań różniczkowych rzędu n za pomocą kwadratur. Zbudowanie ogólnego
rozwiązania liniowego równania. Budowanie równania liniowego jednorodnego mającego dany
układ fundamentalny. Rozwiązywanie liniowego niejednorodnego równania drugiego rzędu o stałych współczynnikach.
3. Budowanie rozwiązania ogólnego układu liniowych równań różniczkowych pierwszego rzędu.
Konstruowanie ogólnego rozwiązania układu liniowych równań różniczkowych o stałych
współczynnikach. Całkowanie układu liniowego niejednorodnego o stałych współczynnikach
metodą uzmienniania stałych dowolnych.
4. Badanie stabilności rozwiązań, wyznaczanie i analiza punktów krytycznych.
5. Zadania związane z podstawami równań różniczkowych cząstkowych.
Laboratorium:
1. Zapoznanie z obsługą wybranego pakietu algebry komputerowej pod kątem wspomagania teorii
równań różniczkowych,
2. Wizualizacja pojęć związanych z równaniami różniczkowymi, m.in. wykresy krzywych całkowych,
pola kierunków, rodziny ortogonalne,
3. Komputerowe rozwiązywanie równań różniczkowych I rzędu – matematyczna analiza poprawności otrzymanych rozwiązań, implementacja metody kolejnych przybliżeń,
4. Komputerowe wspomaganie rozwiązywania równań wyższych rzędów i układów równań I rzędu,
5. Implementacja procedur związanych z jakościową teorią równań różniczkowych zwyczajnych.
6. Wizualizacja rozwiązań równań różniczkowych cząstkowych.
Wykaz literatury podstawowej:
[1] J. Ombach, Wykłady z równań różniczkowych wspomagane komputerowo- Maple, Wyd. UJ,
Kraków 1999.
[2] A. Palczewski , Równania różniczkowe zwyczajne, teoria i metody numeryczne z wykorzystaniem
komputerowego sytemu obliczeń symbolicznych, WNT, Warszawa, 2004.
Wykaz literatury uzupełniającej:
[1] W. I. Arnold, Równania różniczkowe zwyczajne, PWN, Warszawa 1975.
[2] N. M. Matwiejew, Metody całkowania równań różniczkowych zwyczajnych, PWN, Warszawa 1986.
[3] A. Pelczar, J. Szarski, Wstęp do teorii równań różniczkowych, część I, PWN, Warszawa, 1987.
Osoba(y) odpowiedzialna(e) za przedmiot:
dr Lech SŁAWIK
Zatwierdził:
dr hab. Teresa WINIARSKA, prof. PK