Lista zadań 5

Zadania z fizyki
Wydział Elektroniki
5
Praca i energia kinetyczna
Uwaga: Zadania oznaczone przez ‘(c)’ należy w pierwszej kolejności rozwiązać na ćwiczeniach.
Zadania (lub ich części) opatrzone gwiazdką są (zdaniem wykładowcy) nieco ambitniejsze, ale
również obowiązkowe.
Zad. 1(c). Pracownik magazynu przesuwa skrzynię o masie 30 kg ze stałą szybkością po poziomej
podłodze na odległość 4,5 m, popychając ją ze stałą siłą skierowaną poziomo w kierunku ruchu.
Współczynnik tarcia kinetycznego pomiędzy skrzynią a podłogą wynosi 0,25. (a) Jaka musi być
wartość siły, z jaką pracownik popycha skrzynię? (b) Jaką pracę wykonuje na skrzyni ta siła? (c)
Jaką pracę wykonuje na skrzyni siła tarcia? (d) Jaką pracę wykonuje na skrzyni siła ciężkości? (e)
Jaka jest całkowita praca wykonana na skrzyni?
Zad. 2. Rozwiąż poprzednie zadanie w przypadku, gdy pracownik popycha skrzynię siłą skierowaną ukośnie w dół, pod kątem 30◦ do poziomu.
Zad. 3(c). Oblicz pracę wykonaną przez siłę F = −î − ĵ + k̂ N przy przemieszczeniu obiektu z
punktu (0, 0, 0) do punktu o współrzędnych (1, 1, 0) m (a) po bokach kwadratu: najpierw o 1 m
wzdłuż osi y, a następnie o 1 m równolegle do osi x; (b) po odcinku prostej.
Zad. 4. Dwie skrzynie o ciężarach 20 N i 12 N połączono bardzo
lekką liną przerzuconą przez nieważki i obracający się bez tarcia bloczek jak na rysunku. Skrzynie przemieszczają się ze stałą
prędkością o 75 cm (skrzynia na stole w prawo, a wisząca skrzynia w dół). Jaką pracę wykonuje w tym ruchu na lżejszej skrzyni
siła ciężkości, a jaką siła naprężenia liny łączącej skrzynie? Jaką
pracę wykonuje na cięższej skrzyni każda z sił: ciężkości, naprężenia liny, tarcia, reakcji podłoża? Jaka jest całkowita praca
wykonana przez wszystkie siły na każdej ze skrzyń?
Zad. 5. Sanki o masie m zsuwają się z górki o kącie nachylenia α i wysokości h. Współczynnik
tarcia sanek o śnieg wynosi µ. Oblicz pracę siły ciężkości oraz pracę siły tarcia do momentu
osiągnięcia przez sanki podstawy stoku. Jaka jest energia kinetyczna sanek w tym punkcie?
Zad. 6(c). Dziecko działa siłą F skierowaną równolegle do
osi x na 10-kilogramowe sanki poruszające się po zamarzniętej
powierzchni stawu. Podczas gdy dziecko kontroluje prędkość
sanek, wartość siły zmienia się w zależności od położenia, jak
pokazano na rysunku. Oblicz pracę, jaką wykonuje siła F przy
przemieszczeniu sanek (a) od x = 0 do x = 8 m; (b) od
x = 8 m do x = 12 m; (c) od x = 0 do x = 12 m.
1
Zad. 7. Blok o masie m = 5 kg porusza się z prędkością
v0 = 6 m/s po poziomej idealnie gładkiej płaszczyźnie w kierunku zamocowanej do ściany sprężyny (rysunek). Sprężyna ma
zaniedbywalną masę. (a) Korzystając z twierdzenia o pracy i
energii kinetycznej, znajdź największą długość, o jaką skróci
się sprężyna. (b) Jeśli sprężyna ma się skrócić nie więcej niż
o lmax = 0,15 m, to jaka może być największa wartość v0 ?
Zad. 8. Na zdalnie sterowany model samochodu poruszający się
po prostej działa siła F , której składowa w kierunku ruchu (niech
będzie to kierunek x) zmienia się w zależności od położenia samochodu jak pokazano na wykresie obok. Znajdź pracę wykonaną
przez siłę F podczas gdy model samochodu przemieszcza się (a)
od x = 0 do x = 3 m; (b) od x = 3 m do x = 4 m; (c) od
x = 4 m do x = 7 m; (d) od x = 0 do x = 7 m; (e) od x = 7 m
do x = 2 m.
Zad. 9. Pudło ślizgające się po poziomej powierzchni z prędkością 4,5 m/s wjeżdża w obszar
szorstkiej nawierzchni. Współczynnik tarcia w punkcie P , w którym nawierzchnia stała się szorstka, wynosi 0,1, a następnie rośnie liniowo z odległością od punktu P , osiągając wartość 0,6 w
odległości 12,5 m od tego punktu. (a) Korzystając ze związku pracy z energią kinetyczną, znajdź
odległość, na jaką przemieści się to pudło, zanim się zatrzyma. (b) Jaki jest współczynnik tarcia
w puncie zatrzymania? (c) Jak daleko przemieściłoby się pudło, gdyby współczynnik tarcia był
stały i wynosił 0,1?
Zad. 10*. Przemieszczamy koralik o masie m z bardzo małą prędkością po drucie o dowolnym
kształcie, leżącym w płaszczyźnie pionowej, działając na niego poziomą siłą o odpowiedniej wartości. Wykaż, że praca tej siły zawsze równa jest mgh, gdzie h jest wysokością, na jaką podniesie
się koralik ponad swoje początkowe położenie. W układzie nie występuje tarcie, a drut w żadnym
punkcie nie jest pionowy. Wskazówka: Sparametryzuj drut wysokością.
Zad. 11(c). Krater meteorytowy. Krater w pobliżu miejscowości Flagstaff (Arizona, USA – zdjęcie obok) powstał ok. 50 000
lat temu w wyniku uderzenia meteorytu żelazowo-niklowego o
promieniu ok. 50 m i masie ok. 1,4 · 108 kg, który uderzył w
Ziemię z prędkością ok. 12 km/s. (a) Jaką ilość energii kinetycznej dostarczył ten meteor? (b) Jak się ma ta wartość do energii
wyzwalanej w wyniku wybuchu 1-megatonowej bomby atomowej
(1-megatonowa bomba wyzwala taką energię, jak 106 ton trotylu; 1 tona trotylu dostarcza 4,184 · 109 J energii).
Zdjęcie: Wikipedia – ”Meteorcrater” by Shane.torgerson, CC BY 3.0
Zad. 12. Typowe energie kinetyczne. (a) Jaką energię kinetyczną (w dżulach) ma 75-kilogramowa
osoba idąca, a jaką biegnąca? (b) W modelu Bohra atomu wodoru elektron na orbicie o najniższej
energii ma prędkość 2190 km/s. Jaka jest jego energia kinetyczna? (c) Jeśli upuścisz kilogramowy
ciężar z wysokości ramion, to jaką będzie on miał energię kinetyczną w momencie uderzenia o
ziemię? (d) Czy rozsądne jest założenie, że 30-kilogramowe dziecko może biec na tyle szybko, by
mieć energię kinetyczną 100 J?
2
Zad. 13. Załóżmy, że model samochodu z zadania 8 znajduje się początkowo w spoczynku w
x = 0, a siła F jest wypadkową działających na niego sił. Korzystając z twierdzenia o pracy i
energii kinetycznej znajdź prędkość tego pojazdu w (a) x = 3,0 m, (b) x = 4,0 m, (c) x = 7,0 m.
Zad. 14(c). W tabeli poniżej podano wyniki komputerowej symulacji lotu piłki baseballowej o
masie 143 g, w której uwzględniono opór powietrza. (a) Jaką pracę wykonała siła oporu powietrza
w czasie ruchu piłki z początkowego położenia do punktu o maksymalnej wysokości? (b) Jaką
pracę wykonała siła oporu powietrza w czasie ruchu piłki z punktu o maksymalnej wysokości do
punktu leżącego na poziomie punktu początkowego? (c) Wyjaśnij, dlaczego ta druga wielkość jest
mniejsza od pierwszej.
t (s) x (m) y (m) vx (m/s) vy (m/s)
0
0
0
30,0
40,0
3,05 70,2
53,6
18,6
0
6,59 124,4
0
11,9
−28,7
Zad. 15. Profesor fizyki siedzi na biurowym krześle na kółkach (poruszającym się bez tarcia) i
wciągany jest po pochylni o długości 2,50 m i nachyleniu 30◦ przez grupę studentów. Łączna masa
profesora i krzesła wynosi 85,0 kg. Studenci przemieszczają profesora w górę pochylni, działając
łączną siłą o stałej wartości 600 N, skierowaną poziomo. Prędkość profesora u podnóża pochylni
wynosi 2,00 m/s. Korzystając z twierdzenia o pracy i energii kinetycznej znajdź jego prędkość na
szczycie pochylni.
Zad. 16(c). Gdy ciężarówka o masie 10 ton przemieszcza się po poziomej drodze z prędkością
60 km/h, jej silnik przekazuje kołom moc 28 kW. (a) Jaka całkowita siła oporu działa na tę
ciężarówkę? (b) Załóżmy, że 65% siły oporu związane jest z toczeniem kół po asfalcie, a reszta
pochodzi od oporu powietrza. Jeśli opór toczenia jest stały, a opór powietrza rośnie proporcjonalnie
do kwadratu prędkości, to jaka moc będzie napędzać ten pojazd przy prędkości 30 km/h? A przy
120 km/h? (c) Jaka moc jest potrzebna, by ciężarówka wjechała z prędkością 60 km/h pod górę
przy nachyleniu 10% (10 m różnicy wysokości na 100 m przemieszczenia w poziomie)?
Zad. 17. Student podjął pracę zarobkową polegającą na ładowaniu 30-kilogramowych paczek na
samochód, co wymaga podniesienia każdej z nich na wysokość 90 cm nad ziemię. (a) Ile paczek
ładowałby student w ciągu minuty, gdyby średnia moc, z jaką wykonuje tę pracę, wynosiła 0,5 KM?
(b) Ile paczek ładowałby, gdyby wykonywał pracę ze średnią mocą 100 W?
Uwaga: 1 koń mechaniczny to ok. 745,7 W, podobno faktycznie odpowiada to mocy konia (tak
twierdził James Watt, choć to nieco zawyżona wielkość1 .). Zdrowy człowiek potrafi wygenerować
ok. 1,2 KM przez krótki czas, ale w dłuższych okresach czasu jest w stanie utrzymać zaledwie
0,1 KM generowanej mocy. W przypadku sportowców wielkości te są 2–3 razy wyższe.
Zad. 18. Ludzkie serce jest bardzo wydajną i niezawodną pompą. Każdego dnia rozprowadza ono
ok. 7500 l krwi. Załóżmy, że praca wykonywana przez serce odpowiada podniesieniu tej ilości krwi
na wysokość równą przeciętnemu wzrostowi kobiety (165 cm). Gęstość krwi wynosi 1,05·163 kg/m3 .
(a) Jaką pracę wykonuje serce w ciągu jednego dnia? (b) Jaka jest moc serca?
1
R. D. Stevenson and R. J. Wassersug, Nature 364, 195-195 (15 July 1993)
3
Zad. 19*. Sześć połączonych lokomotyw spalinowych2 zapewnia 13,4 MW mocy dostarczanej
pierwszemu wagonowi składu towarowego. Łączna masa lokomotyw wynosi 1,10 · 106 kg. Typowy
wagon ma masę 8,2 · 104 kg i wymaga poziomej siły o wartości 2,8 kN, by poruszał się ze stałą
prędkością 27 m/s po poziomym torze. (a) Ile wagonów może liczyć pociąg w tych warunkach?
(b) W tej sytuacji nie ma dodatkowej mocy niezbędnej do przyspieszenia lub pokonania wzniesienia. Wykaż, że dodatkowa siła niezbędna do nadania pociągowi przyspieszenia 0,10 m/s2 jest
w przybliżeniu taka sama, jak siła potrzebna do pokonania wzniesienia o nachyleniu 1,0% (1 m
różnicy wyskości na 100 m odległości w poziomie). (c) Pokaż, że przy nachyleniu 1,0% do utrzymania prędkości 27 m/s potrzebne jest dodatkowe 2,9 MW mocy. (d) Ile wagonów byłyby w stanie
uciągnąć lokomotywy z prędkością 27 m/s na podjeździe o nachyleniu 1,0% bez tej dodatkowej
mocy?
2
Łączenie lokomotyw jest częstą praktyką w USA, gdzie zestawia się bardzo ciężkie pociągi. W Europie stosuje
się to rzadko.
4