ćwiczenie nr 15

INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA
Temat:
Pomiary mocy czynnej w obwodach jednofazowego prądu
przemiennego
Wiadomości ogólne
Moc chwilowa, moc czynna, bierna i pozorna
Mocą chwilową nazywamy iloczyn wartości chwilowych napięcia i prądu
p=u(t)i(t)
(3.1)
Jeżeli napięcie u(t) oraz prąd i(t) są sinusoidalnymi funkcjami czasu, czyli
u( t) = U m sin(ωt + ϕ u )
i( t) = I m sin(ωt + ϕ i )
(3.2)
(3.3)
gdzie ϕu i ϕi - fazy początkowe odpowiednio napięcia i prądu, to po uwzględnieniu równań (3.2)
i (3.3) w równaniu (3.1), otrzymuje się zależność
p = U m sin(ωt + ϕ u )I m sin(ωt + ϕ i ) = U m I m
1
[cos(ϕ u − ϕ i ) − cos(2ωt + ϕ u + ϕi )] (3.4)
2
Po uwzględnieniu, że
Um = U 2
i
Im = I 2
oraz po wprowadzeniu kąta przesunięcia fazowego ϕ=ϕu - ϕi równanie mocy chwilowej przybiera
postać:
p = UI cos ϕ − UI cos(2ωt + ϕ u + ϕ i )
(3.5)
Ze wzoru (3.5) wynika, że moc chwilowa p oscyluje z podwójną pulsacją 2π wokół stałej wartości
mocy równej UIcosϕ. Moc ta, równa wartości średniej mocy chwilowej obliczonej w okresie T, nazywa
się mocą czynną P. Tak więc
1 T
P = ∫ pdt = UI cosϕ
(3.6)
T 0
Jednostką mocy czynnej jest 1W (wat). Energia elektryczna czynna odpowiadająca mocy czynnej jest
energią elektryczną, która przemieniona w inne rodzaje energii jak: cieplną, mechaniczną, chemiczną,
świetlną, opuszcza (w odbiornikach) obwód elektryczny.
Z wykresu wskazowego przedstawionego na rys.3.1 wynika, że
UI cos ϕ = U cos ϕI = U cz I = P
(3.7)
gdzie Ucz* - składowa czynna napięcia.
*
Składowe: czynna i bierna napięcia (prądu) są wielkościami w ogólnym przypadku czysto matematycznymi, wynikającymi z
rozkładu wskazu U lub I na dwie składowe. Nie należy więc ich kojarzyć z określonymi wartościami napięcia lub prądu
występującymi w układzie.
Rys.3.1. Wykres wskazowy napięcia i prądu opisanych równaniami (3.2) i (3.3)
Druga ze składowych napięcia to składowa bierna Ub* - odpowiada ona mocy biernej Q, którą oblicza
się ze wzoru:
Q = U b I = U sin ϕI = UI sin ϕ
(3.8)
Jednostką mocy biernej jest 1var (war). W odróżnieniu od energii czynnej, energia bierna nie jest
rozpraszana w odbiorniku. Odpowiadająca jej moc bierna pozostaje w układzie źródło-odbiornik
powodując dodatkowe obciążenie linii zasilającej. Mimo to jest ona potrzebna do wytworzenia np.
zmiennego pola magnetycznego w urządzeniach takich jak transformatory, silniki elektryczne itp.
Mocą pozorną (S) nazywa się iloczyn wartości skutecznych napięcia i prądu
S = UI = P 2 + Q 2
(3.9)
Jednostką mocy pozornej jest 1 V ⋅ A (woltoamper).
Na podstawie zależności (3.6), (3.8) i (3.9) można zauważyć, że wielkości P, Q i S są bokami trójkąta
prostokątnego o kącie ostrym ϕ. Nazwano go trójkątem mocy (rys.3.2).
Rys.3.2. Trójkąt mocy
Poprawa współczynnika mocy
Bilans energetyczny w sieci prądu przemiennego jest bardziej skomplikowany niż w układzie prądu
stałego. Polega on bowiem na pokryciu potrzeb zarówno w zakresie mocy czynnej (P) jak i mocy biernej
(Q) (rys. 3.3a).
*
patrz poprzedni przypis
Rys.3.3. Schematyczne przedstawienie przepływu mocy w układzie źródło-odbiornik:
a) sieć prądu stałego
b) sieć prądu przemiennego;
W sieci prądu stałego bilans dotyczy tylko mocy jednego rodzaju (P). Sytuację tę przedstawiono na
rys.3.3a. Najczęściej odbiorniki w praktyce są charakteru rezystancyjno -indukcyjnego i dlatego w
układzie prądu przemiennego (rys.3.3b) źródło musi dysponować oprócz mocy czynnej, również
pewnym "zapasem" mocy biernej indukcyjnej. Wzajemna relacja między wartościami P i Q źródła,
zależy od mocy pozornej źródła oraz od cos zwanego współczynnikiem mocy, przy czym (rys.3.2)
P = S cosϕ,
Q = S sin ϕ
(3.10)
Jeżeli współczynnik mocy odbiornika cosϕ0 ma wartość mniejszą od współczynnika mocy źródła
cosϕ, to występuje:
1. niepełne wykorzystanie mocy czynnej generatora,
2. zwiększenie natężenia prądu przy danej mocy czynnej odbiornika, a w konsekwencji wzrost
spadku napięcia i strat mocy w liniach przesyłowych.
Obydwa skutki zostaną dokładniej omówione poniżej
Ad.1 Na rysunku 3.4 przedstawiono trójkąt mocy generatora (P,Q,S) oraz równoważnego pod
względem mocy pozornej, ale niedopasowanego pod względem współczynnika mocy odbiornika
(P0,Q0,S0).
Rys.3.4. Trójkąt mocy: a) generatora; b) odbiornika
W tym przypadku, pomimo spełnienia warunku S0=S, zbyt mała wartość cosϕ0 powoduje następujące
negatywne zjawiska:
• niedociążenie generatora mocą czynną (P0<P),
• przeciążenie generatora mocą bierną (Q0>Q).
Tak więc mamy do czynienia z ,,zamrożeniem'' części mocy czynnej generatora oraz przekroczeniem
jego znamionowych możliwości dotyczących mocy biernej. Wskutek rozmagnesowującego
oddziaływania zbyt dużej składowej indukcyjnej prądu obciążenia maleje napięcie na zaciskach
generatora, co w ostatecznym wyniku może doprowadzić do jego wypadnięcia z synchronicznej pracy w
sieci elektroenergetycznej.
Ad.2 Wartość skuteczna prądu pobieranego przez odbiornik o mocy czynnej P0 może być obliczona
ze wzoru
P0
I=
(3.11)
U cosϕ0
Mniejsza wartość cosϕ0, której odpowiada większa wartość Q0 przy P0=const wywołuje więc większą
wartość prądu, a tym samym wzrost spadku napięcia ∆U oraz strat mocy ∆P w sieci przesyłowej,
bowiem obowiązują zależności
∆U ≅ IZ p ,
∆P = I 2 R p
(3.12)
gdzie Rp, Zp - rezystancja i impedancja linii przesyłowej.
Przyczyną zbyt małej wartości współczynnika mocy są te odbiorniki, których zasada działania
wymaga udziału strumienia magnetycznego. Odzwierciedleniem tego faktu jest odpowiednio duży
przepływ mocy biernej indukcyjnej. Do głównych urządzeń elektrycznych kreujących moc bierną
indukcyjną zalicza się silniki asynchroniczne oraz transformatory. Współczynnik mocy silników
indukcyjnych w warunkach znamionowych waha się w granicach 0,8...0,9, przy mniejszych obciążeniach
maleje, a podczas biegu jałowego osiąga wartość poniżej 0,3.
Poprawa współczynnika mocy równoważna kompensacji mocy biernej indukcyjnej (zmniejszenie
wartości Q0) polega na zastosowaniu sposobów naturalnych lub specjalnych.
Do naturalnych sposobów należą:
1. prawidłowy dobór mocy silników - zastosowanie silnika asynchronicznego o zbyt dużej mocy w
stosunku do istniejących potrzeb zmniejsza cosϕ0, gdyż moc czynna pobierana przez silnik nie
dostosowany do obciążenia mechanicznego jest w przybliżeniu taka sama jak dla silnika o
mniejszej mocy (przy takim samym zapotrzebowaniu na moc mechaniczną) - większa jest
natomiast moc bierna,
2. unikanie stanu jałowego silników i transformatorów, gdyż w tym przypadku cosϕ0 ma bardzo małą
wartość.
Do specjalnych sposobów poprawy cosϕ0 (kompensacji mocy biernej) należą:
1. stosowanie kompensatorów zainstalowanych w centralnych punktach sieci elektroenergetycznej,
najlepiej w pobliżu dużych odbiorników energii elektrycznej; kompensatory te, to silniki
synchroniczne o bardzo dużej mocy, pracujące w warunkach przewzbudzenia. Ich zadaniem jest
dostarczanie mocy biernej indukcyjnej do sieci; w tym przypadku poprawa polega na zmniejszeniu
cosϕ układu zasilającego,
2. włączanie równolegle do odbiornika o charakterze rezystancyjno-indukcyjnym kondensatora
kompensującego częściowo moc bierną odbiornika.
Rys.3.5. Poprawa cosϕ: a)schemat połączeń; b) wykres wskazowy
Z wykresu wskazowego przedstawionego na rys.3.5b wynika, że wartość skuteczna prądu w sieci (I)
po włączeniu kondensatora jest mniejsza niż przed włączeniem (I0).
Jednocześnie jest spełniony warunek
cos ϕ′0 > cos ϕ0
(3.13)
Przy niezmienionej mocy czynnej odbiornika jednofazowego (UI cos ϕ′0 = UI 0 cos ϕ0 ), pojemność
kondensatora jaki należy włączyć, ażeby ,,poprawić'' współczynnik mocy do wartości cos ϕ′0 wynosi
C=
P
ωU 2
( tgϕ0 − tgϕ′0 )
(3.14)
Pomiar mocy odbiorników jednofazowych metodą techniczną
Pomiar ten przeprowadza się za pomocą watomierza, woltomierza i amperomierza w układzie jak na
rys.3.6a lub 3.6b.
Rys.3.6. Schemat układu do pomiaru mocy prądu jednofazowego:
a) układ dla odbiorników o małej impedancji Z0;
b) układ dla odbiorników o dużej impedancji Z0
W układzie jak na rys.3.6a moc czynna mierzona za pomocą watomierza jest większa od mocy
czynnej odbiornika o moc wydzielaną w woltomierzu i obwodzie napięciowym watomierza
 cos ϕ 0  1
 1
1 
1 
 = U 2v 

Pw = P0 + U 2v 
+
+ 
+
 R wn R v 
 R wn R v 
 Z 0
(3.15)
przy czym Rwn, Rv - rezystancja odpowiednio obwodu napięciowego watomierza i woltomierza, Z0 impedancja odbiornika.
W układzie jak na rys.3.6b moc mierzona watomierzem jest większa od mocy czynnej odbiornika
o moc wydzielaną w obwodzie prądowym watomierza i w amperomierzu.
Pw = P0 + I 2a ( R wi + R a ) = I 2a [ Z0 cos ϕ0 + ( R wi + R a )]
(3.16)
przy czym Rwi, Ra - rezystancja odpowiednio obwodu prądowego watomierza i amperomierza, Z0 impedancja odbiornika.
Wybór określonego układu musi być dokonany tak, aby zminimalizować dodatkowe moce mierzone.
I tak układ a) powinien być stosowany przy małych, zaś układ b) przy dużych impedancjach odbiornika.
Jako impedancję graniczną umożliwiającą podział na małą i dużą impedancję można w przybliżeniu
przyjąć wartość równą R wn ⋅ R wi .
Przy prawidłowym wyborze układu moce pobierane przez przyrządy pomiarowe są znacznie mniejsze
cos ϕ 0
1
1
od mocy odbiornika, gdyż: w układzie a)
>>
+
oraz w układzie
Z0
R wn R v
b)Z 0 cosϕ0 >> R wi + R a .
Moc czynną mierzoną za pomocą watomierza wyznacza się ze wzoru
Pw = k w α
(3.17)
gdzie kw - stała watomierza [W/dz], αzn- liczba działek odpowiadająca wychyleniu wskazówki
miernika.
Stałą watomierza wyznacza się następująco
kw =
U zn I zn cosϕ zn
α zn
(3.18)
gdzie Uzn, Izn - znamionowa wartość odpowiednio napięcia i prądu zakresów watomierza,
cosϕzn - znamionowy współczynnika mocy watomierza (jeżeli nie jest podany tzn., że cosϕzn=1),
ϕzn - znamionowa liczba działek skali watomierza.
W celu uniknięcia przeciążenia obwodu napięciowego lub prądowego watomierza włącza się zawsze
woltomierz i amperomierz.
Na podstawie wskazań woltomierza i amperomierza można wyznaczyć moc pozorną odbiornika
S0 = U v I a
(3.19)
Q = S20 − Pw2
(3.20)
oraz moc bierną
1. Schemat ideowy:
Pomiar mocy metodą watomierza (rys.1)
2. Polecenia:
1.) Zbuduj układ pomiarowy wg rys. 1.
2.) Dla dowolnego obciążenia (żarówka 100W) dokonaj pomiarów pobieranej mocy dla 4
różnych wartości napięcia zasilającego ustawianych za pomocą autotransformatora.
3.) Jako innego obciążenie użyj np. 2 żarówek odpowiednio połączonych.
4.) Wyniki pomiarów zapisz w tabeli 1.
3. Przykłady tabel:
tabela 1.
odbiornik
α
[dz]
U=50[V]
Cw
[W/dz]
P
[W]
α
[dz]
U=100[V]
Cw
[W/dz]
P
[W]
α
[dz]
U=150[V]
Cw
[W/dz]
P
[W]
α
[dz]
U=200[V]
Cw
P
[W/dz] [W]
Poprawa współczynnika mocy
Przeprowadzić pomiary napięć, prądów i mocy bez kondensatora i z załączonym kondensatorem
w układzie przedstawionym na rys.3.9.
Pomiary wykonać przy otwartym oraz przy zamkniętym wyłączniku dla różnych wartości pojemności
kondensatora. Wyniki pomiarów i obliczeń zestawić w tablicy 3.2. Podać przykłady obliczeń według
poniższych zależności:
cos ϕ =
C=
Pw
,
U ν I3
I2
2πfU V
cos ϕ′ =
lub
C=
Pw
U ν I1
Pw
(tg ϕ − tg ϕ′)
ωU 2
Rys.3.9. Układ do poprawy współczynnika mocy
A1, A2, A3 - amperomierze, V - woltomierz, W - watomierz,
C - kondensator, Odb. R,L - cewka indukcyjna
Na podstawie wyników pomiarów i obliczeń wykonać wykres wskazowy prądów i napięć dla każdego
przypadku.
Uwaga: odbiornik R,L stanowi szeregowe połączenie elementów R oraz L.
Tablica 3.2
Lp
.
Uv
I1
I2
I3
V
A
A
A
cos ϕ cos ϕ’
Pw
α
dz
kw
W/dz
Pw
W
-
-
ϕ
ϕ’
C
deg
deg
µF
1
2
3
4
Włączenie zasilania badanych obwodów oraz urządzeń służących do przeprowadzenia
badań może zostać wykonane tylko za wyraźną zgodą prowadzącego zajęcia. Zgoda taka musi
zostać uzyskana przed każdym włączeniem zasilania.
W celu wykonania ćwiczenia przeprowadzić wszystkie czynności opisane w punkcie 3 Polecenia.
Zaliczenie ćwiczenia dokonywane jest na podstawie oceny przebiegu prac w trakcie zajęć
(na koniec zajęć należy przedstawić prowadzącemu zajęcia wyniki pracy) oraz sporządzonego
sprawozdania (każdy uczeń oddaje swoje sprawozdanie w zeszycie format A4) zawierającego informacje
opisane we „Wskazówkach do wykonania sprawozdania”.