Kolokwium ze Wstępu do teorii miary

Kolokwium ze Wstępu do teorii miary
SPPI, rok II
wersja demo
1. Opisz algebrę i σ-algebrę podzbiorów R generowane przez wszystkie półproste postaci
(n, +∞), n ∈ Z.
Wskazówka: Zauważyć, że (n, n + 1] = (n, +∞) \ (n + 1, +∞) muszą należeć i do
algebry, i do σ-algebry generowanej przez półproste. Trzeba sprawdzić, że rodzina
S
n ∈ N, mk < nk ,
wszystkich sum postaci K
k=1 (mk , nk ], gdzie m1 , ..., mK ∈ N, n1 , ...,
S∞K
jest algebrą zbiorów, a rodzina wszystkich sum przeliczalnych k=1 (mk , nk ], gdzie
m0 , m1 , ... ∈ N, n0 , n1 , ... ∈ N, mk < nk , jest σ-algebrą zbiorów.
2. Niech µ i ν będą miarami na przestrzeni mierzalnej (X, F). Udowodnić, że funkcja
zbioru m określona na F wzorem
m(A) = µ(A) + ν(A)
jest również miarą. Czy l(A) = µ(A) · ν(A) jest miarą?
Wskazówka: Sprawdzić, że m(φ) = 0 i że m
parami rozłączne.
S
∞
k=1
Ak =
P∞
k=1
m(Ak ), gdy Ak są
Funkcja l może nie być miarą, np. jeśli X = {a, b}, µ({a}) = µ({b}) = ν({a}) =
ν({b}) = 1, to l(X) = 4, ale l({a}) + l({b}) = 2.
3. Dla zbioru A ⊂ R niech −A = {−a : a ∈ A}. Załóżmy, że wiemy iż jeśli A jest
mierzalny w sensie Lebesgue’a, to −A też. Udowodnić, że λ(−A) = λ(A).
Wskazówka: Ustalamy > 0 i pokrywamy A odcinkami In tak, że λ(A)+ >
Wtedy −In pokrywają −A i
λ(−A) ¬
X
| − In | =
n
X
P
n
|In |.
|In | < λ(A) + .
n
Wobec dowolności mamy λ(−A) ¬ λ(A). A druga nierówność wynika z tej:
λ(A) = λ(−(−A)) ¬ λ(−A).
4. Pokaż, że jeśli f : X → R jest mierzalna i A jest zbiorem mierzalnym, to funkcja
h : X → R określona wzorem
h(x) =

f (x)
0
dla x ∈ A
dla x ∈
6 A
też jest mierzalna.
Wskazówka: Wystarczy zauważyć, że h(x) = f (x) · 1A (x), gdzie 1A jest funkcją
charakterystyczną zbioru A. Skoro A jest mierzalny, to 1A jest mierzalna, a iloczyn
funkcji mierzalnych jest mierzalny.
1
5. Które z poniższych zdań są fałszywe, a które prawdziwe? Odpowiedzi nie trzeba
uzasadniać. Za dobrą odpowiedź dodajemy 1 punkt, za złą odejmujemy 1 punkt.
Brak odpowiedzi nie jest punktowany.
(a) Zbiór liczb wymiernych jest miary zero względem każdej miary określonej na R.
Nie – można wziąć miarę skupioną w 0.
(b) Suma σ-ciał jest zawsze σ-ciałem.
Nie – np. X = {a, b, c}, F1 = {∅, {a}, {b, c}, X}, F2 = {∅, {c}, {a, b}, X}
(c) Dla każdej pary zbiorów mierzalnych A, B zachodzi nierówność
µ(A ∩ B) ¬ µ(A)µ(B).
Nie – dla A = B, 0 < µ(A) < 1 mamy µ(A) > µ(A)2
(d) Jeśli µ(A) ¬ µ(B) = 0, to A ⊂ B.
Nie – A i B mogą być nawet rozłączne.
(e) Ciąg fn zbiega do f według miary wtedy tylko wtedy, gdy
lim µ{x : |fn (x) − f (x)| < } = µ(X).
n→∞
Nie – X = R, µ-miara Lebesgue’a, f ≡ 0, fn (x) = 1 dla x < 0, fn (x) =
x ­ 0.
1
n
dla
(f) Iloczyn dwóch funkcji niemierzalnych nie może być mierzalny.
Nie, tzn. może być mierzalny – 1A · (1 − 1A ) = 0 nawet dla A niemierzalnego.
2