Analiza matematyczna II.1

Analiza matematyczna II.1
Zadania – część 12
1. Wykazać następujący fakt, który jest częścią lematu Borela-Cantelliego (przydatnego
w teorii prawdopodobieństwa). Niech (X, F , µ) będzie przestrzenią z miarą spełniającą
µ(X) = 1; dla dowolnego ciągu F -mierzalnych zbiorów (An )∞
n=1 definiujemy zbiory
∞ [
∞
\
lim sup An =
An ,
lim inf An =
m=1 n=m
Wówczas, jeżeli
P∞
n=1
∞ \
∞
[
An .
m=1 n=m
µ(An ) < ∞, to µ(lim sup An ) = 0.
2. Sprawdzić, czy funkcja µ∗ : 2R → {0, 1} określona wzorem
(
∗
µ (A) =
0
1
jeżeli A jest przeliczalny,
jeżeli A jest nieprzeliczalny
jest miarą zewnętrzną. Jeśli tak, to wyznaczyć rodzinę zbiorów mierzalnych w sensie
Carathéodory’ego.
3. Niech µ∗ będzie miarą zewnętrzną na pewnej przestrzeni metrycznej. Wykazać, że jeżeli
każdy zbiór borelowski jest mierzalny w sensie Carathéodory’ego, to µ∗ jest metryczną
miarą zewnętrzną.
4. Wykazać następujące dwa zdania dotyczące mocy ciał/σ-ciał:
(a) Liczba elementów każdego skończonego ciała zbiorów jest potęgą dwójki.
(b)∗ Każde nieskończone σ-ciało ma moc przynajmniej c.
5. Niech (fn )∞
n=1 będzie ciągiem funkcji ciągłych odwzorowujących R w R. Pokazać, że
następujące zbiory są borelowskie:
(a) {x ∈ R : limn→∞ fn (x) = ∞},
(b) {x ∈ R : ciąg (fn (x))∞
n=1 ma granicę, która jest liczbą niewymierną}.
6. Niech (X, F , µ) będzie przestrzenią z miarą. Wykazać, że istnieje tzw. uzupełnienie
miary µ, tzn. taka miara µ0 , określona na pewnym σ-ciele G zawierającym F , że µ0 (A) =
µ(A) dla każdego A ∈ F oraz każdy podzbiór zbioru miary µ0 zero należy do G (tj. µ0
jest zupełna).
7. Dla danego ciągu (δn )∞
n=1 , który jest zbieżny do zera i ma wszystkie wyrazy nieujemne,
zdefiniujmy miarę µ : 2N → [0, ∞] wzorem
µ(A) =
X
δn
dla A ⊂ N.
n∈A
Znaleźć warunek na (δn )∞
n=1 , który jest konieczny i wystarczający na to, aby obrazem
miary µ był przedział [0, µ(N)].
8. Niech X = {0, 1}∞ będzie zbiorem wszystkich ciągów zero-jedynkowych. Udowodnić,
że nie istnieje żadna (σ-addytywna) miara określona na σ-ciele wszystkich podzbiorów X,
która przyjmuje jedynie wartości 0 i 1 oraz znika na wszystkich singletonach.
9. Niech f : R → R będzie dowolną funkcją ciągłą. Pokazać, że jej wykres Gr(f ) ⊂ R2
jest zbiorem miary Lebesgue’a zero.
10. Wykazać, że brzeg dowolnego ograniczonego zbioru wypukłego w Rk ma k-wymiarową
miarę Lebesgue’a równą zeru. Wywnioskować stąd, że wypukłe podzbiory Rk są zawsze
mierzalne w sensie Lebesgue’a.
11. Dla każdej liczby 0 ¬ t < 1 skonstruować nigdziegęsty, zwarty pozbiór odcinka [0, 1],
którego miara Lebesgue’a wynosi t.
12∗ . Niech µ będzie miarą skończoną określoną na pewnym σ-ciele F . Zbiór A ∈ F
nazywamy atomem miary µ, jeżeli µ(A) > 0 oraz dla każdego B ⊂ A, B ∈ F , mamy
µ(B) ∈ {0, µ(A)}. Załóżmy, że dana miara µ jest bezatomowa, tzn. że nie istnieje żaden
atom tej miary. Wykazać, że prawdziwa jest następująca własność Darboux: dla każdego
zbioru A ∈ F i dowolnej liczby t ∈ (0, µ(A)) istnieje taki zbiór B ⊂ A, B ∈ F , że
µ(B) = t.
13∗ . Niech {Bn : n = 1, 2, . . .} będzie rodziną parami rozłącznych kul otwartych zawartych w kuli jednostkowej B0 (o środku w zerze) przestrzeni Rk , przy czym, dla każdego
n ∈ N, kula Bn ma promień rn . Załóżmy, że
λk B0 \
∞
[
Bn = 0
n=1
(λk to k-wymiarowa miara Lebesgue’a). Wykazać, że
∞
X
rnk−1 = ∞.
n=1
2