Md04 - Rachunek prawdopodobienstwa

Matematyka Dyskretna
Andrzej Szepietowski
25 czerwca 2002 roku
Rozdział 1
Rachunek prawdopodobieństwa
1.1 Zdarzenia
Podstawowym pojȩciem rachunku prawdopodobieństwa jest przestrzeń zdarzeń elementarnych, która̧ najczȩściej bȩdziemy oznaczać przez . W tej ksia̧żce ograniczymy siȩ do
przypadków, gdy jest zbiorem skończonym. Dziȩki temu bȩdziemy mogli ograniczyć
siȩ to prostych rozważań.
Elementy przestrzeni nazywamy zdarzeniami elementarnymi.
Przestrzeń zdarzeń czȩsto zwia̧zana jest z jakimś eksperymentem losowym (probabilistycznym).
Przykład 1.1
a) Przypuśćmy, że rzucamy moneta̧. Przestrzeń zdarzeń elementarnych
może być wtedy określona jako
, gdzie oznacza wypadniȩcie orła, a
reszki.
b) W przypadku rzutu dwoma (rozróżnialnymi) monetami przestrzeń zdarzeń elementarnych może być określona jako
, gdzie
oznacza, że
wypadły dwa orły;
, że na pierwszej monecie wypadł orzeł, a na drugiej reszka;
, że na pierwszej reszka, a na drugiej orzeł; a
, że na obu monetach wypadły
reszki.
c) Przypuśćmy, że mamy urnȩ z sześcioma ponumerowanymi kulami, i że kule o numerach 1 i 2 sa̧ białe, a kule o numerach 3,4,5 i 6 sa̧ czarne. Przestrzeń zdarzeń
elementarnych może być zdefiniowana jako
.
d) Przy rzucie kostka̧
'*)",+(+
"#$%
#
!# .
!
&('*)",+(-/.021)"3+41!5
)
e) Przy rzucie dwiema (rozróżnialnymi) kostkami
. Zdarzenie
odpowiada wynikowi, gdzie na pierwszej kostce wypadło oczek, a na
drugiej .
!
#"5"6$
5
!$ 55
6$5!# ;
f) Przy rzucie moneta̧ i kostka̧
na przykład
opisuje wynik, gdzie na monecie wypadł orzeł, a na kostce 6 oczek.
3
4
Rozdział 1. Rachunek prawdopodobieństwa
g) W przypadku rzutu (rozróżnialnymi) monetami przestrzeń zdarzeń elementarnych
może być określona jako zbiór wszystkich elementowych cia̧gów z wartościami
lub .
h) Przypuśćmy, że mamy urnȩ z dwoma kulami białymi i trzema czarnymi, i że losujemy dwie kule z tej urny. Oznaczmy te kule przez , , ,
i . Przestrzenia̧
zdarzeń elementarnych może tu być albo zbiór dwuelementowych podzbiorów zbioru kul, lub zbiór dwuelementowych cia̧gów bez powtórzeń. Zależy to od tego, czy
bȩdziemy rozpatrywać zdarzenia, w których rozróżniamy wylosowane kule, czy nie
rozróżniamy.
Można też rozpatrywać przestrzenie zdarzeń nie zwia̧zane z eksperymentem:
Przykład 1.2 Przestrzenia̧ zdarzeń elementarnych może być:
a) Zbiór liter lub słów wystȩpuja̧cych w jakimś tekście, ksia̧żce lub liście.
b) Zbiór możliwych haseł potrzebnych do uzyskania dostȩpu do danych lub systemu.
Jeżeli zbiór możliwych haseł jest zbyt mały, to łatwo można złamać zabezpieczenia.
c) Zbiór możliwych wyliczeń algorytmu probabilistycznego (algorytmu, który korzysta
z funkcji losuja̧cej).
Dowolny podzbior
nazywamy zdarzeniem. Pami˛etajmy, że rozważamy tylko skończone przestrzenie zdarzeń elementranych. W przypadku, gdy nie jest zbiorem
skończonym, konieczna jest inna definicja zdarzenia. Cały zbiór nazywamy zdarzeniem
pewnym, a zbiór pusty zdarzeniem niemożliwym. Zdarzenia rozła̧czne,
, nazywamy wykluczaja̧cymi siȩ. Zdarzenie
nazywamy zdarzeniem przeciwnym
do zdarzenia .
!4 "
,
Przykład 1.3
a) W przykładzie 1.1b, z rzutem dwoma monetami,
mamy
zdarzeń. Zbiór
jest zdarzeniem polegaja̧cym na
tym, że na pierwszej monecie wypadł orzeł.
b) W przykładzie 1.1e, z rzutem dwoma kostkami, mamy
zdarzeń. Zbiór
jest zdarzeniem, że suma oczek na obu kostkach wynosi 5.
c) W przykładzie 1.1c, z kulami,
biała̧.
" ' - ' 5- ' 5
- '*$ - oznacza zdarzenie, że wylosowano kulȩ
""
"
6
d) Rzut czteroma monetami, przykład 1.1g z
, zdarzenie, że na pierwszej i trzeciej
monecie wypadły orły to
, a zdarzenie, że na
pierwszej i trzeciej monecie wypadło to samo to
.
1.2. Prawdopodobieństwo
5
1.2 Prawdopodobieństwo
' -
Definicja 1.4 Prawdopodobieństwo, lub rozkład prawdopodobieństwa, jest funkcja̧ określona̧
na zbiorze zdarzeń (w naszym przypadku na zbiorze wszystkich podzbiorów ). Każde
mu zdarzeniu
przypisujemy liczbȩ rzeczywista̧
, jego prawdopodobieństwo.
Funkcja ta musi spełniać warunki:
' - 5
,' - ,
Aksjomaty prawdopodobieństwa
A1)
A2)
dla każdego
A3) Jeżeli zdarzenia
i
,
sa̧ rozła̧czne, to
- ' - ' -
' .
Zbiór zdarzeń elementarnych wraz z określonym na nim prawdopodobieństwem bȩdziemy
nazywać przestrzenia̧ probabilistyczna̧. W przypadku, gdy przestrze ń zdarzeń elementarnych jest zbiorem skończonym, wystarczy określić prawdopodobieństwa dla zdarzeń
elementarnych. Musza̧ być tylko spełnione dwa warunki:
A4)
A5)
' - $
'
- ,
dla każdego
,
' - Prawdopodobieństwo dowolnego zdarzenia jest wtedy równe
' - Łatwo można sprawdzić, że tak zdefiniowane prawdopodobieństwo spełnia aksjomaty
definicji 1.4.
W przypadku, gdy przestrzeń zdarzeń elementarnych jest zbiorem wszystkich możliwych wyników jakiegoś eksperymentu, najczȩściej przyjmuje siȩ, że funkcja prawdopodobieństwa przypisuje, każdemu zdarzeniu elementarnemu taka̧ sama̧ wartość. Mamy
wtedy do czynienia z klasyczna̧ definicja̧ prawdopodobie ństwa. W tej ksia̧żce bȩdziemy
najczȩściej używać klasycznej definicji, a w razie odstȩpstwa od tej umowy, bȩdziemy to
specjalnie zaznaczać.
Definicja 1.5 Rozkład prawdopodobieństwa, w którym każde zdarzenie elementarne
ma takie samo prawdopodobieństwo
' - . .
nazywamy rozkładem jednostajnym.
Przykład 1.6
a) Dla rzutu dwoma monetami (przykład 1.1b możemy określić prawdopodobieństwo według klasycznej definicji: mamy wtedy
',- #
' - 5
' - #
' - 6
Rozdział 1. Rachunek prawdopodobieństwa
Ale oczywiście funkcja prawdopodobieństwa może być dowolna̧ funkcja̧ spełniaja̧ca̧
warunki A4 i A5. Na przykład
lub
' - #
' - $
' - 5 ' - 5" #
',- $
' - 5 ' - 5
' - .
b) W przykładzie 1.2a, ze zbiorem wszystkich liter w tekście, prawdopodobieństwo
może być zdefiniowane jako czȩstości wystȩpowania poszczególnych liter w tym
tekście. Na podstawie czȩstości wystȩpowania liter można zgadywać w jakim jȩzyku
napisany jest tekst. Podobnie można rozpatrywać czȩstość wystȩpowania słów w
tekście i na tej podstawie zgadywać autorstwo tekstu.
W nastȩpuja̧cym twierdzeniu zebrano kilka prostych wniosków wynikaja̧cych z aksjomatów prawdopodobieństwa.
' - , to ' - 1 ' - oraz ' - ' b) Jeżeli
' - ' - ' - ' -
c)
' - 1 ' - ' - d)
Twierdzenie 1.7
a)
- ' - ' ' - ' - ' - ' - ' - ' - ' ' -- ' ' -- c) ' -/ ' - ' ' - ' ' -- ' - ' -
Dowód:
a) Z aksjomatu A3 mamy
spełniaja̧ca̧ równość b) Jeżeli
, to ' - Mamy
A3
mamy
d) wynika bezpośrednio z c).
.
'
' -
, a 0 jest jedyna̧ liczba̧
oraz
, a wiȩc z aksjomatu A3
oraz
, a ponieważ
a wiȩc z aksjomatu
, z wniosku 1.7b
Przykład 1.8 (kontynuacja przykładu 1.3d) z czteroma monetami). Jeżeli założymy rozkład jednostajny,
to prawdopodobieństwo że na pierwszej i trzeciej monecie wypadł orzeł
wynosi , a prawdopodobieństwo, że na pierwszej i trzeciej monecie wypadnie to samo
wynosi
.
Podobnie w przypadku, gdy rzucamy monetami
(przykład 1.1g). Przestrzeń
zdarzȩ elementarnych zawiera
cia̧gów,
z
czego
sprzyja
zdarzeniu, że na pierw
szej i trzeciej monecie wypadnie orzeł, a
sprzyja zdarzeniu, że na pierwszej i trzeciej
monecie jest to samo. Tak wiȩc otrzymamy takie same prawdopodobieństwa jak w przypadku rzutu czteroma monetami.
1.3. Prawdopodobieństwo warunkowe i zdarzenia niezależne
) +
bȩdzie rodzina̧ parami rozła̧cznych zdarzeń (
Twierdzenie
1.9 Niech ). Wtedy
dla każdej pary indeksów
' 3-
7
Dowód przez indukcjȩ:
Dla
twierdzenie zachodzi w sposób trywialny.
Załóżmy, że twierdzenie jest prawdziwe dla dowolnej rodziny zbiorów. Rozpatrzmy
Ponieważ
z aksjomatu A3 i z założenia indukcyjnego wynika
6
'
' 3-
-
'
1 ' -
' ,-
Twierdzenie 1.10 Dla dowolnej rodziny zbiorów
mamy
-
(niekoniecznie parami rozła̧cznych)
Dowód przez indukcjȩ: Dla
twierdzenie zachodzi w sposób trywialny. Załóżmy,
że twierdzenie jest prawdziwe dla dowolnej rodziny zbiorów. Z twierdzenia 1.7c i z
założenia indukcyjnego mamy
1
'
-1
' -
1.3 Prawdopodobieństwo warunkowe i zdarzenia niezależne
' . ' . - ' ' - - Definicja 1.11 Prawdopodobieństwo warunkowe zajścia zdarzenia
zaszło zdarzenie oznaczane przez
określamy jako
Ma to sens tylko wtedy gdy
' -
.
pod warunkiem, że
8
Rozdział 1. Rachunek prawdopodobieństwa
' . -
Możemy powiedzieć, że jest to prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia w sytuacji, gdy
mamy pewność, że zaszło zdarzenie . Przy klasycznej definicji, gdy prawdopodobie ń
stwo oznacza czȩstość wysta̧pienia, to prawdopodobieństwo
oznacza jaka czȩść
elementów zbioru należy do zbioru .
' - ' . - ' - .
' . - ' - , to mówimy, że zdarzenie Wniosek 1.12
' . - ' ' - ' - ' ' - - ' . - ' - ' - ' - ! ' - ' . - ' - ' -
Jeżeli
jest niezależne od zdarzenia
. W takim przypadku zajście zdarzenia nie zależy od tego, czy zaszło zdarzenie .
Jeżeli i sa̧ zdarzeniami o niezerowych prawdopodobieństwach i jest niezależne
od
niezależne od . Rzeczywiście
pocia̧ga
, to jest
, a to pocia̧ga
Dlatego można mówić, że w takim przypadku zdarzenia
Definicja 1.13 Mówimy, że zdarzenia
i
i
sa̧ niezależne.
sa̧ niezależne, jeżeli
Przykład 1.14 (Kontynuacja przykładu 1.1c, z sześcioma kulami). Zdarzenie
wylosowania kuli białej i zdarzenie
wylosowania kuli z parzystym numerem sa̧ niezależne, ponieważ
oraz
. Po prostu czȩstość
wystȩpowania kuli białej wśród kul o parzystych numerach (1 na 3) jest taka sama jak
czȩstość wystȩpowania kuli białej wśród wszytkich kul (2 na 6).
'
- ' ,- ' , to mówimy, że sa̧ one parami niezależne,
Jeżeli mamy wiȩcej zdarzeń jeżeli każde dwa zdarzenia
sa̧ niezależne, to znaczy gdy
dla każdej pary
.
) +
Definicja
1.15 Zdarzenia
mamy
, sa̧ niezależne jeżeli dla każdego podzbioru
' -
Przykład 1.16 (Kontynuacja przykładu 1.1b, z rzutem dwoma monetami). Niech bȩdzie
zdarzeniem, że na pierwszej monecie wypadł orzeł, , że na drugiej monecie wypadł
orzeł, a , że na obu monetach wypadło to samo. Mamy
'
' - ' - ' - ' - ' - '
- 1 ) zdarzenia
każdej pary indeksów
- ' ponieważ
+Jak1 widać
mamy
- ' niezależne,
- . Aledlazdarzenia
' te sa̧ parami
te nie sa̧ niezależne,
ponieważ
' - ' - ' - ' - 1.4. Prawdopodobieństwo całkowite
Przykład 1.17 W przypadku rzutu wypadł orzeł. Wtedy zdarzenia dla każdego ,
,
9
)
monetami, niech
oznacza, że na -tej monecie
sa̧ niezależne. Łatwo sprawdzić, że
) ' - ) + , ' - dla każdej pary
) + , ' - , itd.
dla każdej trójki
prawdopodobieństwo, że wypadna̧ same orły, wynosi
1.4 Prawdopodobieństwo całkowite
Twierdzenie 1.18 (wzór na prawdopodobieństwo całkowite.) Niech
bȩda̧ zdarzeniami takimi, że:
' 3-
,
61) 1 ,
, dla 1) + 1 (zdarzenia sa̧ parami rozła̧czne),
0 (zdarzenia daja̧ w sumie cała̧ przestrzeń).
, dla każdego
Wtedy prawdopodobieństo dowolnego zdarzenia
Dowód Mamy
' - '
Ponadto
3- ' - wiȩc na mocy twierdzenia 1.9 mamy
dla
'
-
) +
-
- ' - ' . - ' ' - ' . - ' - ' . - ' - ' - wynosi
' . - ' -
'
Z wniosku 1.12 mamy
; co daje tezȩ twierdzenia.
W przypadku dwóch zdarzeń uzupełniaja̧cych siȩ
i
wzór z twierdzenia 1.18
wygla̧da nastȩpuja̧co:
(1.1)
10
Rozdział 1. Rachunek prawdopodobieństwa
Przykład 1.19 Wyobraźmy sobie urnȩ z trzema kulami: 1 biała̧ i 2 czarnymi. Przypuśćmy,
że pierwsza osoba wylosowała jedna̧ kulȩ i schowała ja̧. Jakie jest prawdopodobieństwo,
że druga osoba wylosuje kulȩ biała̧? Niech oznacza, że pierwsza osoba wylosowała
biała̧ kulȩ, wtedy oznacza, że wylosowała czarna̧ kulȩ. Niech oznacza, że druga
osoba wylosowała biała̧
kulȩ.
Mamy
,
,
oraz
. Razem
daje to
' - ' - ' . - ' - ' . - A jakie jest prawdopodobieństwo, że po drugim losowaniu w urnie zostanie biała kula?
Zajdzie to wtedy, gdy obie osoby wylosuja̧ kulȩ czarna̧. Z wniosku 1.12 mamy
'
- ' . - ' - Jak widać prawdopodobieństwo wylosowania białej kuli jest takie samo dla pierwszego,
drugiego i trzeciego losuja̧cego.
Ponieważ przestrzeń zdarzeń jest tutaj mała, wiȩc można nasz wynik sprawdzić bezpośrednio. Oznaczmy kule przez , i . Niech przestrzeń zdarzeń elementarnych bȩdzie
(' - ' - ', - ' - ' - ' - ' - ' -" (' - ' - - (' - ' " - ' - ' . - 5' '
Zakładamy, że każdy z tych wyników jest równie prawdopodobny. Widać teraz, że zdarze nia: , oraz
sa̧ równo prawdopodobne.
Rozważmy teraz przypadek, gdy w urnie jest kul z czego białych. Znowu zakłada
my,
losowań jest równie
prawdopodobny.
Mamy ,
że każdy wynik dwóch
,
oraz
. Razem
daje to
' - ' 5 -
' . - ' - #' ' - Czyli w tym przypadku, również druga osoba ma taka̧ sama̧ szansȩ wylosowania kuli
białej co pierwsza.
Przykład 1.20 Wyobraźmy sobie dwie urny z kulami. W pierwszej urnie jest jedna kula
biała i jedna czarna, a w drugiej urnie dwie białe i jedna czarna. Rzucamy moneta̧. Jeżeli
wypadnie orzeł, to losujemy kulȩ z pierwszej urny, jeżeli reszka, to losujemy z drugiej
urny.
Jakie jest prawdopodobieństwo, że wylosujemy kulȩ biała̧? Niech oznacza wylosowanie kuli białej, a wypadniȩcie
wtedy
oznacza, że na monecie
orła na monecie,
wypadła reszka. Mamy
oraz
-jest to prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej pod warunkiem,
że wypadł orzeł i losowaliśmy
z pierwszej urny.
-jest to prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej pod warunkiem, że wypadła reszka i losowaliśmy z drugiej urny.
Korzystaja̧c teraz ze wzoru (1.1) mamy
' - ' - ' . - ' . -2 1.5. Zmienna losowa
11
' - Zastanówmy siȩ teraz jak powinna wygla̧dać przestrzeń probabilistyczna w tym przykładzie. Niech zawiera wszystkie możliwe wyniki eksperymentu.
(' - ' " - ' - ' " - ' - Aby być w zgodzie z intuicja̧ i naszymi poprzednimi wyliczeniami rozkład prawdopodobieństwa powinien być nastȩpuja̧cy:
(R,1b)
! (R,2b)
! (R,3c)}
!
Rozkład jednostajny nie jest wtym
przykładzie dobry, bo mielibyśmy prawdopodobień.
stwo, wypadniȩcia orła równe
(O,1b)
(O,2b)
1.5 Zmienna losowa
Definicja 1.21 Zmienna losowa jest to dowolna funkcja z przestrzeni zdarzeń elementarnych w zbiór liczb rzeczywistych .
Trzeba tutaj przypomnieć, że w tej ksiażce
˛ rozważamy tylko skończone przestrzenie zdarzeń elementarnych. W przypadku, gdy jest zbiorem niesko ńczonym definicja zmiennej
losowej jest inna.
Przykład 1.22
a) Rozważmy rzut moneta̧,
sowa jest określona tabela̧
Inny przykład to zmienna
'
-
O
(przykład 1.1a). Zmienna lo-
R
określona tabela̧
'
- O R
"
. Niech
b) Rozważmy rzut dwoma monetami, (przykład 1.1b)
i
bȩda̧ dwoma zmiennymi losowymi określonymi w tabeli
'
-
'
' - OO
OR
RO
RR
'
- Zmienna określa wynik rzutu na pierwszszej monecie, , jeżeli wypadł
orzeł, i , jeżeli wypadła reszka. W podobny sposób zmienna losowa określa wynik rzutu na drugiej monecie.
12
Rozdział 1. Rachunek prawdopodobieństwa
' -
) 1 ) 1
)
' - c) Rozważmy rzut monetami,
(przykład 1.1g). Dla każdego ,
zmienna̧ ;
, jeżeli na -tej monecie wypadł orzeł, oraz
jeżeli wypadła reszka.
5$$"#
!5 (
określamy
,
d) Rozważmy losowanie jednej kuli z urny zawieraja̧cej siedem ponumerowanych kul.
. Niech zmienna losowa bedzie zdefiniowana jako
a zmienna losowa
'
- #
jako
'
-
'
- '
-
( jest reszta̧ z dzielenia numeru kuli przez 2, a
3). Wartości tych dwóch zmiennych zebrane sa̧ w tabeli.
'
-
'
1
1
1
2
0
2
3
1
0
4
0
1
5
1
2
6
0
0
7
1
1
Możemy teraz określić inne zmienne losowe, na przykład
,
. Ich wartości zebrano w tabeli
''
- - ' ' - - ''
- - ' - '
'
1
2
1
1
2
2
0
-2
3
1
0
2
reszta̧ z dzielenia przez
4
1
0
-1
5
3
2
0
6
0
0
0
,
7
2
1
1
('*)",+(- .(1)
3+ 1!#
e) Rozważmy rzut dwoma kostkami (przykład 1.1e)
. Niech
oznacza wynik rzutu na pierwszej kostce, wynik rzutu na drugiej kostce.
określa sumȩ oczek na obu kostkach.
Wtedy zmienna
Maja̧c zmienna̧ losowa̧
i liczbȩ rzeczywista̧ definiujemy zdarzenie
' - . '
- jako
' -
Zauważmy, że jeżeli liczba nie należy do zbioru wartości
zmiennej , to zda jest zdarzeniem niemożliwym. Prawdopodobieństwo zdarzenia
rzenie
wynosi
Definicja 1.23 Funkcjȩ
' -
' -
' -
' -
nazywamy funkcja̧ gȩstości (rozkładu) prawdopodobieństwa zmiennej losowej
.
1.5. Zmienna losowa
13
Przykład 1.24 (Kontynuacja przykładu 1.22d) Dla zmiennej
rzenia
' - 5
!#
Zmienna losowa
' - $ (
mamy trzy niepuste zda-
' - 5
#
posiada wiȩc rozkład
' - 0 1 2
ma rozkład
Podobnie zmienna
' - 0 1
' -
' -
', -
' -
Ponieważ, jak założyliśmy jest zbiorem skończonym, to zbiór wartości
zmien
mamy . Tak wiȩc funkcja
nej też jest skończony. Dla gȩstości przyjmuje wartości niezerowe tylko dla skończenie wielu argumentów. Zauważ , to zdarzenia
i
wykluczaja̧ siȩ. Mamy przy
my, że jeżeli tym
' - jest funkcja̧ gȩstości zmiennej losowej , to
dla każdego .
' - .
' - rozumiemy jako skończona̧ sumȩ po zbiorze wartości
Dowód. Sumȩ Lemat 1.25 Jeżeli
zmiennej
.
' -
' -
' -
' - Zauważmy, że ostatnia podwójna suma jest suma̧ po wszystkich elementach
grupowanych według wartości zmiennej . Mamy wiȩc
' -
' ' -
a) Zmienna losowa
' - -1 1 bȩdziemy roz-
z przykładu 1.22a posiada rozkład
po-
- W dalszej czȩści przedstawiaja̧c funkcjȩ
gȩstości zmiennej losowej
ważać tylko te , dla których .
Przykład 1.26
14
Rozdział 1. Rachunek prawdopodobieństwa
b) Niech oznacza sumȩ wartości oczek w rzucie dwoma kostkami, przykład 1.22e.
Gȩstość rozkładu prawdopodobieństwa zmiennej losowej przedstawia nastȩpuja̧ca
tabela:
' -
2 ! 3! 4! 5 ! 6 ! ! 7 ! 8! 9! 10 ! 11 ! 12 !
Maja̧c funkcjȩ gȩstości rozkładu zmiennej
zdarzeń opisywanych za pomoca̧ zmiennej .
Przykład 1.27
pamiȩtajmy, że zdarzenia
b) Dla zmiennej
- ' - ' - a) Dla zmiennej losowej
' - ' możemy określać prawdopodobieństwa
z przykładu 1.24. mamy
lub
oraz
sa̧ rozła̧czne.
z przykładu 1.26b mamy
' - ! ! ! W przypadku dwóch zmiennych losowych i określonych na tej samej przestrzeni
zdarzeń elementarnych mamy tak zwany ła̧czny rozkład prawdopodobie ństwa, którego
gȩstość jest określona jako
' i
-
' -
' jest innym zapisem zdarzenia
-
' - ' -.
i
Przykład 1.28
a) Ła̧czny rozkład zmiennych losowych
jest przedstawiony w tabeli
i
, z przykładu 1.22b
0
1
1
0
b) Dla zmiennych i
z przykładu 1.22d ła̧czny rozkład prawdopodobieństwa
przedstawiony jest w tabeli:
0
1
0 1 2
Lemat 1.29 Niech , bȩdzie gȩstościa̧ łacznego
˛
rozkładu zmiennych
i
. Wtedy
1.5. Zmienna losowa
' - ' ' - ' a)
b)
15
- ' - ' - ' - ' ' - Dowód Zauważmy, że
'
ponieważ
Z drugiej strony
'
- ' - ' - ' - ' -
Podobnie można pokazać, że
' -
' - ' -
i
Przykład 1.30 Sumuja̧c wiersze tabeli z przykładu 1.28b można otrzymać gȩstość rozkładu zmiennej , a sumuja̧c kolumny gȩstość rozkładu
.
0
0
1
1
2 Podobnie jak dla jednej zmiennej, maja̧c gȩstość ła̧cznego rozkładu prawdopodobieństwa dwóch zmiennych
i można obliczać prawdopodobieństwa zdarzeń opisywanych przez te zmienne.
Przykład 1.31 Weźmy zmienne
oraz
'
i
z przykładu 1.30. Wtedy
' - ' i ' i - ' - ' i
lub
i
i - - 6 lub
i
lub
i
- 16
Rozdział 1. Rachunek prawdopodobieństwa
1.6 Niezależność zmiennych losowych
Definicja 1.32 Zmienny losowe
mamy
i
' sa̧ niezależne jeżeli dla każdej pary liczb ,
' - ' ' - ' - ' - lub inaczej, gdy
gdzie
zmiennej
i
-
oznacza gȩstość rozkładu ła̧cznego,
.
gȩstość zmiennej
,a
gȩstość
Przykład 1.33 Zmienne losowe i z przykładu 1.28a sa̧ niezależne, natomiast
zmienne i
z przykładu 1.28b nie sa̧ niezależne.
Oczywiście może być wiȩcej zmiennych losowych określonych na jednej przestrzeni
Dla trzech zmiennych losowych , , ła̧czny rozkład prawdopodobie ństwa, zdefiniowany jest jako
i
i
' - ' Mamy przy tym
' -
' - ' -
oraz na przykład
' i
-
- ' ' i
- ' -
' - ' -
ich ła̧czny rozkład prawdo-
-
' -
, , sa̧ niezależne jeżeli dla każdej trójki liczb ,
' - ' - ' - ' -
Definicja 1.34 Zmienne losowe
mamy
Podobnie jak poprzednio łatwo można pokazać, że
' -
W ogólnym przypadku zmiennych losowych
podobieństwa określony jest jako
'
-
Podobnie mamy w przypadku
zmiennych losowych
i
1.6. Niezależność zmiennych losowych
Definicja
1.35 Zmienne losowe
zachodzi
sa̧ niezależne jeżeli dla każdej -tki liczb
' - )
17
' -
)
)
Przykład 1.36 Wróćmy do przykładu
z rzutem monetami, przykład 1.22c. Dla każdego
zmienna losowa
jest równa jeżeli na
monecie wypadł orzeł, i 1 jeżeli na -tej
-tej
sa̧ niezależne.
monecie wypadła reszka. Zmienne Pokażemy teraz, że jeżeli zmienne losowe i
zdarzenia opisywane przez te zmienne. Dokładniej
sa̧ niezależne, to niezależne sa̧ też
Twierdzenie 1.37 Niech i bȩda̧ niezależnymi zmiennymi losowymi, a
nymi podzbiorami zbioru liczb rzeczywistych. Wtedy zdarzenia
oraz
i
dowol-
. ' - . '
- sa̧ niezależne.
' -
Dowód Ponieważ zbiór wartości zmiennej
elementy zbioru
. Niech
6 ' - 6 ', - . ' - dla jakiegoś )
. ' - dla jakiegoś +$
Podobnie niech
Mamy zatem
oraz
jest skończony, możemy wypisać wszystkie
.
istnieja̧
czyli
)",+
'
- takie, że
' i
oraz
'
- - -
Ponieważ sumowane zdarzenia wykluczaja̧ siȩ wzajemnie mamy
' -
' i
-
18
Rozdział 1. Rachunek prawdopodobieństwa
a ponieważ
i
' -
ale
oraz
sa̧ niezależne
' - ' - ' ,- ' ' - ' - Teza twierdzenia wynika z prostego faktu, że
' -
' - ' - ' - 1.7 Wartość oczekiwana, średnia
Definicja 1.38 Wartość oczekiwana (średnia) zniennej losowej
' -
Przykład 1.39 Dla zmiennej losowej
' - to liczba
'
- '
- wartość oczekiwana wynosi
z przykładu
1.24
Jeżeli zmienna posiada jednostajny rozkład prawdopodobie ństwa, to jej wartość oczekiwana jest zwykła̧ średnia̧ arytmetyczna̧ jej wartości.
' -
'
- . . . .
'
- W ogólnym przypadku wartość oczekiwana jest nazywana średnia̧ ważona̧.
' -
Lemat 1.40
Dowód Jeżeli pogrupujemy wyrazy sumy , to otrzymamy
' -
'
- '
- ' -
'
- ' - według wartości zmiennej
' -
' -
1.7. Wartość oczekiwana, średnia
19
Przykład 1.41 Przypuśćmy, że mamy informacjȩ, że w jakiejś grupie studenckiej połowa
studentów otrzymała ocenȩ 5 z matematyki dyskretnej, jedna trzecia otrzymała ocenȩ 4,
a jedna szósta ocenȩ 3. Jaka jest średnia ocena w tej grupie? Przyjmujemy, że grupa jest
przestrzenia̧ losowa̧, a zmienna losowa jest ocena̧ studenta. Wtedy wartość oczekiwana
zmiennej
' - ! ! ! jest średnia̧ ocena̧ w tej grupie.
' -
' -
' -
istnieje zdarzenie elementarne
Wniosek 1.42
losowej
Dla każdej zmiennej
takie, że
oraz
.
oraz Podobnie istnieje zdarzenie
takie, że
.
' -
' -1 ' -
Dowód: Udowodnimy tylko pierwsza̧ czȩść twierdzenia, druga̧ można udowodnić w podobny sposób.
z dodatnim prawdopodobieństwem mamy
Przypuśćmy, że dla każdego
. Ale to prowadzi do sprzeczności
' -
' -
' -
'
- '
-
' - '
- ' -
' - ' -
W przypadku klasycznej definicji wniosek 1.42 opisuje prosty fakt, że zawsze istnieje
przynajmniej jedna wartość mniejsza od lub równa wartości średniej oraz wartość wiȩksza
od lub równa średniej.
W poniższym twierdzeniu zebrano podstawowe własności wartości oczekiwanej.
' - ' -.
' -
' -.
b) Jeżeli jest liczba̧ rzeczywista̧, to
' - ' - ' - .
c) Jeżeli zmienne i sa̧ niezależne, to
' - .
d) Jeżeli
, to
Twierdzenie 1.43
Dowód:
a)
' -
b)
c)
'
-
a)
'
' - '
- '
-
- '
- ' '
- '
-- '
- ' -
'
- '
-
'
- '
- '
- ' -
' - ' -
20
Rozdział 1. Rachunek prawdopodobieństwa
Pogrupujmy składniki sumy według wartości zmiennych
i
.
' - '
- ' i - ' - ' ' - ' - ' - ' -
' - '
- '
- .
d) Jeżeli dla każdego ,
, to Twierdzenie 1.44 Wartość oczekiwana sumy zmiennych jest równa
' - ' ,-
sa̧ niezależne, to wartość oczekiwana ich
Twierdzenie 1.45 Jeżeli zmienne iloczynu równa siȩ
' - Twierdzenie 1.46 (Nierówność Markowa) Jeżeli
losowa
zmienna
nieujemne, to dla dowolnej liczby rzeczywistej '
' - Dowód:
' -
' -
1 ' -
przyjmuje waretści
- 1 ' - ' ' -
' -
'
-
Zauważmy,
że nierówność Markowa jest użyteczna tylko kiedy
, to mamy trywialne oszacowanie
bowiem
'
- 1 1 ' - ' ' - . Jeżeli
Przykład 1.47 Nierówność Markowa wyraża dość prosty fakt. Przypuśćmy, że określa
liczbȩ pieniȩdzy posiadana̧ przez studenta. Jeżeli wartość średnia zmiennej wynosi 100
złotych,
to tylko połowa studentów może mieć 200 lub wiȩcej złotych. Przypuśćmy bowiem
że
czȩść studentów posiada 200 (lub wiȩcej)
złotych.
Wtedy udział
tej bogatej
czȩści studentów w średniej wynosi co najmniej
,i
wartość średnia nie może wynosić 100 złotych, jeżeli zmienna nie przyjmuje wartości
ujemnych.
' - 1.7. Wartość oczekiwana, średnia
21
Pokażemy teraz jak można wykorzystać prawdopodobieństwo do rozważań kombinatorycznych. Udowodnimy nastȩpuja̧ce:
Twierdzenie 1.48 Wierzchołki dowolnego grafu można pokolorować dwoma kolarami
(białym i czarnym) w taki sposób, że przynajmniej połowa krawȩdzi ma swoje końce w
różnych kolorach.
Zanim przejdziemy do dowodu wyjaśnjmy kilka rzeczy:
Definicja 1.49 Graf jest to dowolny skończony zbiór wierzchołków wraz ze zbiorem
krawȩdzi , gdzie krawȩdzie to pary wierzchołków.
0$
%.0
%
Dla krawȩdzi mówimy, że wierzchołki i sa̧ końcami krawȩdzi lub, że
krawȩdż ła̧czy i .
Graf czȩsto przedstwiamy na rysunku jako zbiór punktów poła̧czonych łukami.
Na
przykład rysunek 1.1 przedstawia graf ze zbiorem wierzchołków i zbiorem krawȩdzi
% % Rysunek 1.1: Przykład grafu
Łatwo jest pokolorować każdy graf tak, aby każda krawȩdź miała oba końce w jednym kolorze. Wystarczy wszystkie wierzchołki pokolorować tym samym kolorem. Graf
z rysunku 1.1 można pokolorować tak, aby każda krawȩdź była dwukolorowa.
Trzeba
pokolorować na biało wierzchołki , , i i na czarno wierzchołki , i . Ale nie dla
każdego grafu jest możliwe takie pokolorowanie, w którym każda krawȩdż ma ko ńce w
różnych kolorach. Na przykład dla trójka̧ta, czyli grafu z wierzchołkami i
krawȩdziami (patrz rysunek 1.2) nie istnieje takie pokolorowanie.
# # 5# "#
#
22
Rozdział 1. Rachunek prawdopodobieństwa
Rysunek 1.2: Trójka̧t
. .
. . . .
wierzchołków i
Dowód twierdzenia 1.48: Przypuśćmy, że graf ma
krawȩdzi. Rozważmy przestrzeń zdarzeń elementarnych złożona̧
ze
wszystkich
moż
liwych
wierzchołków grafu . Jest ich
. Dla każdej
pokolorowań
krawȩdzi
określmy zmienna̧ losowa̧ w nastȩpuja̧cy sposób:
, jeżeli
w kolorowaniu oba końce
krawȩdzi
maja̧
różne
kolory
i
w
przeciwnym
, ponieważ w połowie kolorowań końce maja̧
przypadku.
kolory.
różne
W jednej czwartej
kolorowań
oba
końce
sa̧
białe
(kolorowań,
w
któtych
i
maja̧
kolor
biały, jest
, bo na tyle sposobów można pokolorować pozostałe
wierzchołków)
oraz w jednej czwartej kolorowań
oba sa̧ czarne.
. Rozważmy teraz sumȩ zmiennych losowych
Mamy wiȩc
0 $
' - ' - Wartość zmiennej
'
- to liczba różnokolorowych krawȩdzi w kolorowaniu ' - ' - ' - ' - . Ale
Dlatego,
zgodnie z wnioskiem 1.42 musi istnieć kolorowanie , dla którego
.
'
Średnia liczba różnokolorowych krawȩdzi w kolorowaniu może być obliczona bez
używania terminologii rachunku prawdopodobieństwa. Policzmy ile we wszystkich kolorowaniach jest różnokolorowych krawȩdzi. Z jednej strony jest to
' liczba różnokolorowych krawȩdzi w kolorowaniu -
' liczba kolorowań, w których krawȩdź -
Z drugiej strony
jest różnokolorowa
Przedostatnia równość
wynika z tego, że liczba kolorowań, w których jest różnoko
lorowa wynosi
(połowa wszystkich). Średnia liczba różnokolorowych krawȩdzi w
kolorowaniu wynosi wiȩc
1.8. Wariancja
23
1.8 Wariancja
Definicja 1.50 Wariancja̧ zmiennej losowej
nazywamy liczbȩ
o wartości oczekiwanej
' - ''
' -
--
' - Wariancja jest miara̧ tego jak bardzo wartości zmiennej sa̧ oddalone od średniej. Im wiȩksze rozrzucenie wartości tym wiȩksza wariancja. W poniższym twierdzeniu
zebrano podstawowe własności wariancji
' -
' - ' - ' - ' -
Twierdzenie 1.51
b)
c)
a)
d) Jeżeli zmienne
e) Jeżeli zmienne
'
sa̧ niezależne, to i
-
' ' - ' ' - - '
' - '
d)
'' - - Dowód
a) wynika z faktu, że zmienna
b) ' ' -
' -.
- przyjmuje
tylko nieujemne
- ' - wartości,
' - ' - ' - ' -
- - ' - ' - ' ' -
' -- ' ' -- ' - ' - ' ' -- - - ' '
' - ' ' -- po odjȩciu stronami dwóch ostatnich równości
' -
ponieważ zmienne sa̧ niezależne, to z twierdzenia 1.43c
Z drugiej strony
sa̧ parami niezależne, to
''
' -
'
-
' - ' ' -- ''
-- ' -
' - ' - Twierdzenie 1.52 (Nierówność Czebyszewa)
Dla zmiennej losowej
oraz liczby rzeczywistej mamy
'.
. - 1
' -
z wartościa̧ oczekiwana̧
24
Rozdział 1. Rachunek prawdopodobieństwa
Dowód: Rozważmy zmienna̧ losowa̧
. Ponieważ
. '
- . ' - '
. . - ' - to
Stosuja̧c nierówność Markowa dla zmiennej
ale
mamy
'
. . - ' - 1 ' ' - '' - - ' 1.9 Rozkład jednopunktowy
Z rozkładem jednopunktowym mamy do czynienia, wtedy gdy całe prawdopodobie ństwo
jest skupione w jednym punkcie
Definicja 1.53 Zmienna losowa
' - ma rozkład jednopunktowy, jeżeli dla jekiegoś
Ponieważ , to
Wartość oczekiwana zmiennej
' - ' - dla każdego wynosi
' -
Lemat 1.54 Jeżeli jakaś zmienna przyjmuje wartości nieujemne i
na losowa ma rozkład jednopunktowy, to znaczy
' - '
- , to ' - .
' -
, to zmien-
czyli dla każdego
, jeżeli
Dowód: Pokażemy, że
dla każdego
bowiem, że istnieje
, takie, że
twierdzenie 1.46, mamy
' -1 '
'
,-jeżeli
.
'
- ' -
, to
. Przypuśćmy
. Wtedy z nierówności Markowa,
- 1 ' - Założenie, że zmienna
przyjmuje tylko wartości nieujemne jest istotne we wniosku 1.54. Pokazuje to nastȩpuja̧cy przykład.
1.10. Rozkład zero-jedynkowy
Przykład 1.55 Zmienna losowa
z przykładu 1.26a z funkcja̧ gȩstości:
' -
-1
1 ma wartość oczekiwana̧
' -
25
.
z rozkładem jednopunktowym wynosi
- ' ' -- '
'
Wariancja zmiennej losowej
' - , to zmienna losowa posiada rozkład jednopunktowy.
' - '' - - , to z lematu 1.54 wynika, że Dowód
' ' Ponieważ
-.
b˛eda˛ dowolnymi liczbami rzeczywistymi i niech
Wniosek 1.57 Niech Ale i na odwrót
Lemat 1.56 Jeżeli Wtedy
przy czym równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy )
dla każdego .
'*) - b˛edzie przestrzenia˛ z jednostajnym rozkładem prawdoDowód: Niech
. Wtedy
podobieństwa i niech b˛edzie zmienna˛ losowa˛ określona˛ wzorem
jest wartościa˛ oczekiwana˛ zmiennej , a
jej wariancja,
˛ która jest nieujemna i równa zeru tylko dla rozkładu jednopunktowego. 1.10 Rozkład zero-jedynkowy
Zmienna losowa ma rozkład zero-jedynkowy, jeżeli prawdopodobie ństwo jest skupione tylko w dwóch punktach 0 i 1. Gȩstość rozkładu prawdopodobieństwa ma wtedy postać
0
' 0
1
dla pewnych dodatnich
spełniaja̧cych warunek
Wartość oczekiwana zmiennej wynosi
/
.
' - a wariancja
' - ' - ' ' -- ' - 26
Rozdział 1. Rachunek prawdopodobieństwa
1.11 Rozkład dwumianowy — Bernoulliego
Przypuśćmy, że mamy seriȩ niezależnych doświadczeń
i w każdym doświadczeniu dwa
możliwe wyniki: sukces z prawdopodobieństwem i porażka z prawdopodobieństwem
. Niech bȩdzie zmienna̧ losowa̧ równa̧ liczbie sukcesów w tej serii. Zmienna
losowa posiada rozkład dwumianowy (Bernouliego) z parametrami i .
Dla uproszczenia rozważań załóżmy, że
ństwo zdarzenia, że
. Prawdopodobie
wysta̧pi sukces, porażka, sukces i porażka wynosi
, ponieważ wyniki doświadczeń sa̧ niezależne. Dokładnie dwa sukcesy w serii czterech doświadczeń bȩdziemy mieli,
jeżeli wysta̧pi jeden z cia̧gów, w których na dwóch pozycjach wystȩpuja̧ sukcesy:
(sukces, sukces, porażka, porażka),
(sukces, porażka, sukces, porażka),
(sukces, porażka, porażka, sukces),
(porażka, sukces, sukces, porażka),
(porażka, sukces, porażka, sukces),
(porażka, porażka,
sukces).
sukces,
, bo na tyle sposobów można wybrać dwie pozycje, na których
Takich cia̧gów jest bȩda̧ sukcesy. Każdy z tych cia̧gów ma takie samo prawdopodobie ństwo równe
.I
ponieważ te cia̧gi sa̧ zdarzeniami wykluczaja̧cymi siȩ, prawdopodobie ństwo, że wysta̧pi
któryś z nich wynosi
&
!
1 1
Podobnie dla dowolnego
, prawdopodobieństwo, że w serii czterech doświadczeń wypadnie sukcesów wynosi
W podobny sposób można uzasadnić, że dla dowolnego
metrami i ma postać
rozkład dwumianowy z para-
' 5- ' - zmiennej losowej
Twierdzenie 1.58 Wartość oczekiwana
mianowy o parametrach
i
wynosi
Dowód: Rozważmy funkcjȩ:
' - ' ze wzoru Newtona mamy
' - ' Zróżniczkujmy ta̧ funkcjȩ
.
' - - -
maja̧cej rozkład dwu-
1.12. Krańce rozkładu dwumianowego
Jeżeli teraz podstawimy
to otrzymamy
' -
' - Rozważmy cia̧g niezależnych zmiennych losowych
zero jedynkowym
oraz
' - Suma tych zmiennych
' -
27
, każda o rozkładzie
ma rozkład dwumianowy
o parametrach i . Wartość oczekiwana, każdej
ze zmiennych
wynosi
, wiȩc wartość oczekiwana zmiennej wynosi .
wynosi . Ponieważ zmienne sa̧
Wariancja zmiennej
niezależne to wariancja ich sumy wynosi
, mamy wiȩc.
' - Twierdzenie
1.59 Wariancja zmiennej losowej
trach i wynosi
' -
z rozkładem dwumianowym o parame-
1.12 Krańce rozkładu dwumianowego
Twierdzenie 1.60 (Nierówności Chernoff’a)
Niech zmienna losowa posiada rozkład
dwumianowy
o
parametrach
i
.
Oznaczmy
wartość
oczekiwana̧ tego rozkładu przez
. Wtedy dla dowolnej liczby rzeczywistej ,
, mamy
oraz
' ' - -1
' 1' - - 1
1 1 1.13 Problem dnia urodzin
Zastanówmy siȩ ile osób musi znajdować siȩ w pokoju, aby była duża szansa, że dwie
osoby maja̧ urodziny tego samego dnia.
Dla prostoty przyjmujemy,
dnia urodzin jest równoważnu problemowi
że
problem
wylosowania cia̧gu liczb , każda spośród
możliwości, tak aby
wysta̧piło w nim jakieś powtórzenie.
Oznaczmy przez
zdarzenie przeciwne, że wszystkie wylosowane liczby sa̧ różne.
Jeżeli założymy, że wszystkie cia̧gi sa̧ równo prawdopodobne, to prawdopodobie ństwo,
że otrzymamy cia̧g różnowartościowy wynosi
' - '
!
- ' - ' - ' - ' - 28
Rozdział 1. Rachunek prawdopodobieństwa
' - ' - ' - 1 Skorzystamy teraz z nierówności
' - 1 1 ' - , a to zachodzi
Prawdopodobieństwo
jest
mniejsze od
wtedy gdy
!
to
.
. Dla
, zachodzi to dla
wtedy gdy
Tak wiȩc jeśli
pokoju znajduja̧ siȩ co najmniej 24 osoby, to z prawdopodobie ństwem
wdwie
wiȩkszym od
spośród nich maja̧ urodziny w tym samym dniu.
1.14 Zadania
1. Zaproponuj przestrzeń zdarzeń elementarnych dla losowania dwóch kul z urny
zawieraja̧cej 3 kule białe i 4 czarne. Przedstaw zdarzenie, że wylosowano:
a) dwie kule białe, b) kule w różnych kolorach.
2. Zaproponuj
przestrzeń zdarzeń elementarnych dla ustawienia czterech liter , , i
w cia̧g.
Przedstaw zdarzenie, że
a)
i stoja̧ obok siebie;
b)
i sa̧ rozdzielone jedna̧ litera̧.
3. Zaproponuj przestrzeń zdarzeń elementarnych dla nastȩpuja̧cych doświadczeń:
a) Losowanie karty z talii 52 kart.
b) Losowanie 13 kart z talii 52 kart.
c) Wypełnienie kuponu totolotka.
d) Wypełnienie kuponu totalizatora piłkarskiego.
4.
i sa̧ zdarzeniami. Zapisać za pomoca̧ działań na zbiorach zdarzenia:
,
a) zachodza̧ wszystkie trzy zdarzenia;
b) zachodzi dokładnie jedno ze zdarzeń ,
c) zachodza̧ dokładnie dwa ze zdarzeń ,
lub ;
, ;
d) zachodza̧ co najmniej dwa spośród zdarzeń ,
5 a) że i
5. Cyfry
ustawiono losowo. Jakie jest prawdopodobieństwo,
stoja̧ obok siebie;
b) że pomiȩdzy i stoja̧ dwie cyfry;
c) że , i
, .
stoja̧ obok siebie.
1.14. Zadania
29
' - ' - ' - ' - ' - i ' -& . Obliczyć ' - ,
7. Dane
' sa̧ - i ' -, .
' -2 i ' -2 , wiadomo też, że ' -2
8. Dane
' sa̧ - . Obliczyć ' - oraz
' -.
6. Pokazać, że
9. W urnie sa̧ 4 kule białe i 3 czarne. Losujemy dwie. Jakie jest prawdopodobie ństwo,
że wylosowane kule bȩda̧ w różnych kolorach?
10. Jakie jest prawdopodobieństwo, że na przyjȩciu, na którym jest
siȩ osoba, która ma urodziny tego samego dnia co ja?
osób, znajdzie
11. Jakie jest prawdopodobieństwo, że przy okra̧głym stole wybrane na pocza̧tku dwie
osoby usia̧da̧ obok siebie?
12. Niech przestrzeń zdarzeń elementarnych bȩdzie zbiorem 3 elementowych cia̧gów
zero-jedynkowych. Wypisz zdarzenia:
a) na pierwszej współrzȩdnej jest zero;
b) na pierwszej i trzeciej współrzȩdnej sa̧ zera;
c) na pierwszej i trzeciej współrz˛ednej mamy różne wartości;
d) na wszystkich współrzȩdnych jest to samo.
Oblicz prawdopodobieństwa tych zdarzeń (rozkład jednostajny).
Czy zdarzenia te sa̧ niezależne?
Niech przestrzeń zdarzeń elementarnych bȩdzie zbiorem elementowych cia̧gów
zero-jedynkowych (rozkład jednostajny). Oblicz prawdopodobie ństwa tych samych
zdarzeń.
13. Rzucamy trzema kostkami. Jakie jest prawdopodobie ństwo, że na żadnej kostce nie
wypada szóstka, jeżeli na każdej kostce wypada inna liczba oczek.
14. Mamy dwie urny z kulami. W pierwszej urnie sa̧ dwie kule białe i cztery czarne, a
w drugiej urnie trzy białe i trzy czarne. Rzucamy kostka̧ do gry. Jeżeli wypadnie 1
lub 2, to losujemy kulȩ z pierwszej urny, jeżeli 3,4,5 lub 6, to losujemy z drugiej
urny.
Jakie jest prawdopodobieństwo, że wylosujemy kulȩ biała̧?
Zaproponuj przestrzeń zdarzeń elementarnych i rozkład prawdopodobieństwa.
15. W urnie jest kul w tym białych. osób po kolei losuje jedna̧ kulȩ bez zwracania.
a) Ile wynosi prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej dla trzeciej osoby?
b) Ile wynosi prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej dla każdej z losuja̧cych
osób?
30
Rozdział 1. Rachunek prawdopodobieństwa
16. Udowodnij, że jeżeli zdarzenia
oraz
i .
17. Zmienna losowa
i
sa̧ niezależne, to niezależne sa̧ także
i
posiada rozkład:
' - 1 2 3 #4 ! #5 !
' - , ' - .
Oblicz
' - oraz ' - .
, wariancjȩ Oblicz wartość oczekiwana̧
jest określona na przestrzeni # z jednostaj ' - 18. Zmienna
' - .
nym rozkładem. Podaj jej rozkład, wartość oczekiwana̧ oraz
19. Podaj rozkład czȩstości wystȩpowania liter w zdaniu:
"Podzbiory przestrzeni zdarzeń losowych nazywamy zdarzeniami".
i
20. Ła̧czny rozkład zmiennych losowych
przedstawiony jest w tabeli.
0 1 ! ! !
, Oblicz rozkłady zmiennych , ,
' -, ' -, ' -, '
Oblicz
, , 0
1
-1
Czy zmienne
i
' -, '
sa̧ niezależne?
Oblicz prawdopodobieństwa
21. Ła̧czny rozkład zmiennych losowych
i
-.
-.
.
przedstawiony jest w tabeli.
( 1 ! (2
0
0
1
Czy można tak dobrać liczby , i , aby zmienne
' -
i
były niezależne?
' -
22. W dwóch tabelach przedstawiono
ła̧czny rozkład zmiennych ,
tabela zawiera wartości , a druga wartości .
Z=0
-1
1
# 2! (3 # 1
i
. Pierwsza
1.14. Zadania
Z=1
31
( #2 #3 ( ( # 1
-1
1
- '
-
Oblicz rozkłady brzegowe zmiennych
,
.
,
i
. Oblicz
'
- , ' Czy zmienne , i sa̧ niezależne? Jeżeli nie, to zmień prawdopodobieństwa w
pierwszej tabeli tak, żeby były niezależne.
#
' - rozkładem
określamy trzy zmienne
' - z jednostajnym
'
, . Czy zmienne te sa̧ niezależne?
23. Na przestrzeni
,
24. Mamy trzy niezależne zmienne losowe , i (określone na jakiejś przestrzeni
probabilistycznej). Udowodnij, że każde dwie też sa̧ niezależne.
zmiennych
losowych 25. Mamy
niezależnych
zmienne też sa˛ niezależne.
. Pokazać, że dla każdego
Podobnie każdy podzbiór tych zmiennych jest niezależny.
'
- - ' 26. Pokazać, że dla
każdego
.
oraz
istnieje zmienna losowa
-
taka, że
rozkład symetryczny, tzn dla pewnego
27. Pokazać,
że jeżeli ma
dla każdego , to
.
28. Pokazać, że jezeli mamy zmienna losowa̧
inna̧ zmienna̧ , to i sa̧ niezależne
,
' - ' z rozkładem jednopunktowym i dowolna̧
29. Pokaż, że jeżeli
losowe
i sa̧ niezależne, to dla dowolnych liczb i ,
zmienne
sa̧ niezależne.
zdarzenia
oraz
30. Pokaż, że jeżeli
i sa̧ niezależne, to dla dowolnych funkcji i
zmienne
losowe
, zmienne
i
też sa̧ niezależne.
31. Pokazać, że '
-
32. Podać przykład dwóch zmiennych
.
i i
o różnych rozkładach takich, że
33. Przypuśćmy, że zmienna losowa przyjmuje wartości każde z dodatnim prawdopodobieństwem.
lub
?
a) Czy jest możliwe
lub
?
b) Czy jest możliwe
c) Czy b) jest możliwe jeżeli
ma rozkład jednostajny?
32
Rozdział 1. Rachunek prawdopodobieństwa
--
34. Kowariancja zmiennych losowych
. Pokazać, że
'
a) jeżeli
b) c) '
i
'
sa̧- niezależne
to
,- ' - ' ' i
równa siȩ
- ' ' - ''
- ;
- ' ' .
35. Rzucano moneta̧ 10 razy. Jakie jest prawdopodobie ństwo, że orzeł wypadł co najmniej raz?
36. Jakie jest prawdopodobieństwo otrzymania parzystej liczby sukcesów w cia̧gu
prób Bernoulliego,
jeżeli prawdopodobieństwo sukcesu w jednej próbie wynosi: a)
1/2, b) .
37. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w serii sześciu rzutów kostka̧ suma oczek bȩdzie
parzysta.
' 0) - ' ) , +(- + ' ' ) - 0) - ' 0,+(-
38. Pokazać,
że jeżeli , to
, gdzie
; a jeżeli
to rozkład dwumianowy.
'
! -
) + , to
ma rozkład dwumianowy z parametrami
,
39. Niech zmienna
losowa
. Oszacuj prawdopodobieństwo
(za pomoca˛ nierówności
Markowa, Czebyszewa i Chernoff’a).