Komentarze do zadania są zaznaczone na niebiesko

Komentarze do zadania są zaznaczone na niebiesko
Pewnie na wykładzie był taki wzór, że liczbę zespoloną można zapisać tak:
z = a + bj = r(cos ϕ + j sin ϕ) = rejϕ
√
gdzie r = a2 + b2 , a kąt ϕ to kąt między wektorem od początku układu współrzędnych do liczby “z”
i poziomą osią X. Ten punkt, liczbę “z”, przedstawiamy jako wektor (a,b), część rzeczywista “a” jest
współrzędną poziomą, część urojona “b” jest wsp. pionową.
No to pierwiastek n-tego stopnia z liczby “z” można by zapisać tak:
√
√
n
z = n r · ejϕ/n
Chyba nie muszę wyjaśniać skąd dzielenie przez n w wykładniku.
Mamy przepis na pierwiastek:
• Zapisać liczbę “z” w postaci z = ej...
• Wyciągnąć pierwiastek n-tego stopnia z “r”
• podzielić kąt ϕ przez n
• wrócić do postaci z = a + bj
Byłoby tak ładnie, gdyby nie fakt, że do kąta ϕ można dodać 2π lub jego wielokrotność, NIE zmieniając wartości cos i sin. Ten powyższy przepis trzeba więc zmodyfikować:
√
√
n
z = n r · ej(ϕ+2kπ)/n
gdzie k jest liczbą całkowitą. W ogólności istnieje n pierwiastków n-tego stopnia z “z”, niech Cię to
nie dziwi, przecież np. dla n=2 istnieją dwa pierwiastki z 1: 1 lub –1, dwa pierwiastki z –1: j lub –j
itd.
Zastosuję tę metodę do Twojego zadania, na następnej stronie.
(a)Zadanie 4a.
√
Obliczamy “r” jako: r = 82 + 62 = 10.
Obliczamy tangens kąta ϕ: tg( ϕ) = b/r = 3/5. To się za chwilę przyda, bo będę musiał wrócić do
postaci z = a + bj. Nasze dwa pierwiastki wyglądają teraz tak:
p
z1 = ( 8 + 6j) = 5 [cos(ϕ/2) + j sin(ϕ/2)]
z2 = 5 [ cos((ϕ + 2π)/2) + sin((ϕ + 2π)/2)] = 5 [ cos((ϕ)/2 + π) + j sin((ϕ)/2 + π)]
Z trygonometrii pamiętasz, że jak się doda “pi” do kąta to się go przeniesie z pierwszej do trzeciej
ćwiartki, a wtedy sin i cos mają przeciwne znaki. Zresztą nic dziwnego, bo mamy dostać + lub –
pierwiastek z “z”. Tak one wyglądają przed policzeniem cos i sin z tangensa:
z1 = 5 [cos(ϕ/2) + j sin(ϕ/2)]
z2 = −5 [cos(ϕ/2) + j sin(ϕ/2)]
Pozostaje policzyć tg kąta
Pozdrowienia - Antek