ZADANIA ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ

ZADANIA ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ
część I
Rachunek prawdopodobieństwa
1. Obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia, że spośród grających w brydża
pierwszy gracz otrzyma a, drugi b, trzeci c, czwarty d asów.
2. W sposób losowy rozmieszczono k identycznych kul w N szufladach.
Jakie jest prawdopodobieństwo, że w ustalonej szufladzie znajduje się
h  k kul?
3. Spośród n losów loteryjnych jest m wygrywających. Jaką szansę wygrania ma
posiadacz k losów?
4. Dziewczynka zaciska w dłoni 6 długich trawek tak, że wystają końce i zawiązuje
je po parze najpierw u góry, potem wystające u dołu.
Jakie jest prawdopodobieństwo, że zawiązane trawki utworzą jeden okrąg?
5. W 10-piętrowym bloku jadą windą 3 osoby. Każda z nich wysiada na losowo
wybranym piętrze. Jakie jest prawdopodobieństwo, że:
a) wszystkie trzy wysiądą na tym samym piętrze?
b) każda z osób wysiądzie na innym piętrze?
6. Rzucamy trzema kostkami. Obliczyć prawdopodobieństwo, że suma oczek
wynosi: a) 6; b) 17.
7. Na loterii jest 100 losów, z których 5 wygrywa.
Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród trzech kupionych:
a) dokładnie jeden wygrywa?
b) co najmniej jeden wygrywa?
8. Obliczyć prawdopodobieństwo, że losowo wybrana liczba naturalna jest
podzielna przez 3 lub przez 4 lub przez 5.
9. Przypuśćmy, że 5 mężczyzn na 100 i 25 kobiet na 10000 nie odróżnia kolorów.
Obliczyć prawdopodobieństwo, że wybrany człowiek u którego stwierdzono
daltonizm jest mężczyzną. Zakładamy, że kobiet i mężczyzn jest tyle samo.
10. Jest dziesięć jednakowych urn. Dziewięć spośród nich zawiera po 2 kule białe i
2 czarne, a jedna urna zawiera 5 kul białych i 1 czarną. Z losowo wybranej urny
wylosowano kulę białą. Jakie jest prawdopodobieństwo, że pochodzi ona z urny,
w której jest 5 kul białych?
2
11. Wiemy, że 95% produkcji jest dobrej jakości, a pozostałe 5% jest złej jakości.
Kontrola przepuszcza przedmioty dobrej jakości z prawdopodobieństwem 0,98,
a przedmioty złej jakości z prawdopodobieństwem 0,05.
Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że przedmiot przepuszczany przez kontrolę
będzie dobrej jakości.
12. Student potrafi odpowiedzieć na 10 pytań z 20 przygotowanych przez
egzaminatora. W czasie egzaminu losuje trzy pytania. Jeśli odpowie na
wszystkie pytania, to otrzymuje piątkę. Gdy zna odpowiedź na dwa, losuje z
pozostałych pytań trzy dalsze i gdy odpowie na wszystkie pytania, otrzymuje
czwórkę, a gdy odpowie na dwa pytania dostaje trójkę. W pozostałych
przypadkach student nie zdaje egzaminu.
Obliczyć prawdopodobieństwo zdania egzaminu.
13. Wykazać, że jeżeli zdarzenia A i B są niezależne i ich suma jest zdarzeniem
pewnym to albo P(A) = 1 albo P(B) = 1.
14. Pewna choroba występuje u 0,1 % ogółu ludności. Przygotowano test do jej
wykrycia. Test ten daje wynik pozytywny u 97 % chorych i 1 % zdrowych.
Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że losowo wybrana osoba jest chora, jeśli
test tej osoby dał wynik pozytywny.
15. Rzucamy trzy razy symetryczną monetą. Określmy zdarzenia: A – wypadnie
przynajmniej jeden orzeł, B – wypadnie co najwyżej jedna reszka.
Czy zdarzenia A i B są niezależne?
16. Rzucamy raz symetryczną kostkę do gry. Niech A oznacza zdarzenie –
„wyrzucono parzystą liczbę oczek” oraz B – „wyrzucono liczbę oczek podzielną
przez 3”. Czy zdarzenia A i B są niezależne?
17. Rzucamy dwa razy symetryczną kostkę do gry. Niech A oznacza zdarzenie
„ w pierwszym i drugim rzucie wypadła ta sama liczba oczek”, B zaś oznacza
zdarzenie „w drugim rzucie wypadło co najmniej 5 oczek”.
Czy zdarzenia A i B są niezależne?
18. Wiemy, że zdarzenia A, B i C są niezależne i każde z nich ma
prawdopodobieństwo równe p.
Obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia ABC.
19. Na 100 mężczyzn w wieku 40 do 60 lat 18 ma nadciśnienie tętnicze, zaś na
200 kobiet w tym samym wieku 11 ma nadciśnienie tętnicze. Z grupy o
jednakowej liczbie kobiet i mężczyzn wylosowano osobę, która ma nadciśnienie.
a) Jakie jest prawdopodobieństwo, że jest to mężczyzna?
3
b) Jakie jest prawdopodobieństwo, że jest to kobieta?
20. Po upływie pewnego czasu T każda komórka może zginąć, przeżyć albo
podzielić się na dwie odpowiednio z prawdopodobieństwem ¼, ¼ i ½.
Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że po upływie czasu 2T będą dwie
komórki, gdy na początku była jedna?
ODPOWIEDZI:
k h
k 
   ( N 1)
h
2.
4.
N
3.
k
8
15
6. a)
10
216
b)
3
216
8. 0,6
11.
5. a) 0,01
b) 0,72
 5   95 
    
1
2
7. a)    
100 


 3 
 95 
 
3
b) 1 -  
100 


 3 
14. 0,09
12.
15. są zależne
10.
16. są niezależne
18. p (3 – 3p + p2)
17. są niezależne
19. a) ~ 0,766
100
105
15
96
10  10    8   8   9  
10 
             
 
 3  +  2   1    3    2   1    0,284
 20   17 
17  
 20 
    
  
 
3
 3   3 
3 
9.
0,997
n  m


k 

1n
 
k 
b) ~ 0,234
20.
9
32