Prawdopodobieństwo klasyczne

Prawdopodobieństwo klasyczne
Adam Gregosiewicz
Zadanie 1. Jakie jest prawdopodobieństwo, że dni urodzin 6 osób przypadną dokładnie w dwóch
miesiącach kalendarzowych?
Zadanie 2. W szafie znajduje się n par obuwia. Wybierzmy z szafy 2r butów (2r < n). Jakie jest
prawdopodobieństwo, że
a) nie wybierzemy ani jednej właściwej pary,
b) wybierzemy dokładnie jedną właściwą parę,
c) wybierzemy dokładnie dwie właściwe pary.
Zadanie 3. Z talii 52 kart każdemu z czterech graczy rozdano po 13 kart. Obliczyć prawdopodobieństwo, że każdy z graczy
a) ma asa,
b) ma jakiegoś pika,
c) ma jakąś figurę (A, K, Q, J).
Zadanie 4. W pudełku znajdują się dwie kule białe i cztery czarne. Losujemy z pudełka dwie kule
bez zwracania. Obliczyć prawdopodobieństwo, że
a) wylosowane kule są tego samego koloru,
b) wylosowane kule są różnych kolorów.
Zadanie 5. Wybierzmy losowo ciąg o długości n o wyrazach równych 0, 1 lub 2. Znaleźć prawdopodobieństwo zdarzeń
a) ciąg zaczyna się od 0,
b) w ciągu występują dokładnie m + 2 zera, w tym jedno na początku i jedno na końcu,
c) ciąg zawiera dokładnie m jedynek,
d ) ciąg zawiera dokładnie m0 zer, m1 jedynek i m2 dwójek (oczywiście m0 + m1 + m2 = n).
Zadanie 6. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że spośród n osób siedzących
a) na ławce,
b) przy okrągłym stole, k ustalonych osób usiądzie jedna obok drugiej w dowolnym porządku.
Zadanie 7. Ustawiono w dowolnej kolejności n osób.
a) Obliczyć prawdopodobieństwo p, że pomiędzy dwiema ustalonymi osobami będzie znajdować się
dokładnie r osób.
b) Obliczyć prawdopodobieństwo jak w punkcie a), ale dla osób ustawionych w okrąg.
Zadanie 8. Rozdano k złotych pomiędzy n osób, przy czym k ­ n. Jakie jest prawdopodobieństwo,
że każda osoba otrzymała co najmniej 1 zł?
Zadanie 9. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w potasowanej talii 52 kart żadne dwa asy nie znajdują
się obok siebie?
Zadanie 10. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w potasowanej talii 52 kart wszystkie asy znajdują
się obok siebie?
Zadanie 11. Rzucamy trzema kostkami do gry. Jakie jest prawdopodobieństwo, że otrzymamy dwie
różne liczby oczek (jedna wystąpi na jednej kości, a druga na dwóch pozostałych)?
Zadanie 12. Jakie jest prawdopodobieństwo, że przy rzucie trzeba kostkami do gry uzyskamy sumę
a) 11 oczek,
1
2
b) 12 oczek?
Zadanie 13. Ze zbioru {1, 2, . . . , N } wybieramy losowo liczbę n. Wyznaczyć prawdopodobieństwo
zdarzenia, że liczba n2 − 1 jest podzielna przez 10. Obliczyć granicę tych prawdopodobieństw dla
N → ∞.
Zadanie 14. Mikołaj zaadresował losowo n prezentów przeznaczonych dla n dzieci. Jaka jest szansa,
że przynajmniej jedno dziecko otrzymało swój prezent?
Zadanie 15. Jakie jest prawdopodobieństwo, że dla sześciocyfrowego numeru (który może składać się
z samych zer) suma jego trzech pierwszych cyfr jest równa sumie trzech ostatnich cyfr?
Zadanie 16. Ze zbioru funkcji f : {1, 2, . . . , n} → {1, 2, . . . , k}, gdzie k ­ n losujemy jedną. Jakie jest
prawdopodobieństwo, że jest to funkcja
a) różnowartościowa,
b) rosnąca,
c) nierosnąca.
Zadanie 17. W kolejce po bilety w cenie 1 zł ustawiło się n + m osób, z których n ma tylko monety
o nominale 1 zł, a m ma tylko monety dwuzłotowe (m ¬ n + 1). Wszyscy kupują po jednym bilecie.
Przed rozpoczęciem sprzedaży w kasie nie było pieniędzy. Jakie jest prawdopodobieństwo, że nikt
z kolejki nie będzie musiał czekać na resztę?
(ag)