lista 1

Gdańsk, 10 listopada 2006
Podstawy informatyki
Lista zadań nr 1
1. Które z poniższych relacji są relacjami równoważności? Jeśli jakaś nie jest relacją równoważności, to wskaż, która z własności (zwrotność, symetryczność, przechodniość) nie jest spełniona i
uzasadnij to.
(a) Relacja L1 k L2 określona w zbiorze prostych na płaszczyźnie oznaczająca, że proste L1
i L2 pokrywają się lub są równoległe.
(b) Relacja L1 ⊥ L2 określona w zbiorze prostych na płaszczyźnie oznaczająca, że proste L1
i L2 są prostopadłe.
(c) Relacja p1 ∼ p2 określona w zbiorze Polaków oznaczajća, że osoby p1 i p2 mieszkają w
tym samym województwie.
(d) Relacja p1 ≈ p2 określona w zbiorze Polaków oznaczająca, że osoby p1 i p2 mieszkają w
tym samym województwie lub w województwach sąsiednich.
(e) Relacja p1 ' p2 określona w zbiorze wszystkich ludzi oznaczająca, że osoby p1 i p2 mają
wspólnego rodzica.
(f) Relacja p1 ∼
= p2 określona w zbiorze wszystkich ludzi oznaczająca, że osoby p1 i p2 mają
wspólną matkę.
2. Określmy relaję ≈ w zbiorze Z w następujący sposób: m ≈ n wtedy i tylko wtedy, gdy
m2 = n 2 .
(a) Pokaż, że relacja ≈ jest relacją równoważności w zbiorze Z.
(b) Opisz klasy abstrakcji tej relacji. Ile ich jest?
3. W zbiorze N × N określamy relację: (m, n) ∼ (k, l) wtedy i tylko wtedy, gdy m + l = n + k.
(a) Pokaż, że ∼ jest relacją równoważności w zbiorze N × N.
(b) Opisz klasy abstrakcji tej relacji. Zauważ, że pozostają one w jednoznacznej odpowiedniości z elementami zbioru Z.
4. W zbiorze Z × P określamy relację: (m, n) ∼ (p, q) wtedy i tylko wtedy, gdy mq = np.
(a) Pokaż, że ∼ jest relacją równoważności w zbiorze Z × P.
(b) Opisz klasy abstrakcji tej relacji. Zauważ, że pozostają one w jednoznacznej odpowiedniości z elementami zbioru Q.
5. Rozwiąż równania:
(a) 1 +6 x = 0,
(b) 4 +6 x = 0,
(c) 2 ·5 x = 1,
(d) 5 ·7 x = 1,
(e) x ·5 x = 1.
6. Dla m, n ∈ N określamy m ∼ n wtedy i tylko wtedy, gdy liczba m2 −n2 jest wielokrotnością 3.
(a) Pokaż, że ∼ jest relacją równoważności w zbiorze N.
(b) Wypisz cztery elementy z klasy abstrakcji [0]∼ .
(c) Wypisz cztery elementy z klasy abstrakcji [1]∼ .
(d) Czy istnieją jakieś inne klasy abstrakcji?
7. Udowodnij, że jeśli m, n ∈ N i m ≡ n (mod p), to m2 ≡ n2 (mod p).
8. Niech n będzie liczbą czterocyfrową (zapisujemy to n = abcd). Udowodnij, że:
1
2
(a) n jest podzielna przez 9 wtedy i tylko wtedy, gdy suma jej cyfr a+ b + c + d jest podzielna
przez 9;
(b) n jest podzielna przez 2 wtedy i tylko wtedy, gdy jej ostatnia cyfra d jest podzielna
przez 2;
(c) n jest podzielna przez 5 wtedy i tylko wtedy, gdy jej ostatnia cyfra d jest podzielna
przez 5;
(d) n jest podzielna przez 11 wtedy i tylko wtedy, gdy liczba a − b + c − d jest podzielna
przez 11.