Kolokwium II z analizy matematycznej Studia stacjonarne SGH 3

Kolokwium II z analizy matematycznej
Studia stacjonarne SGH
3 czerwca 2011
Imię i Nazwisko
Grupa
Nr indeksu
1. Niech d : R2 × R2 → R będzie funkcją określoną wzorem
x1
y1
d
,
= |x1 − y1 | + 4 |x2 − y2 | .
x2
y2
a) Wykazać, że d jest metryką.
b) Narysować kulę otwartą
K (x0 , r) = x ∈ R2 : d (x, x0 ) < r ,
2
gdzie x0 =
, r = 4.
0
2. Dana jest funkcja f : R2 → R określona wzorem
 xx
1 2

dla 3x21 − x22 =
6 0,
2
2
3x
−
x
f (x) =
1
2

0
dla 3x21 − x22 = 0.
a) Zbadać ciągłość funkcji f w punkcie 0.
1
b) Sprawdzić, czy istnieje ∇h f (0), gdzie h =
.
1
3. Wyznaczyć najmniejszą i największą wartość funkcji
f (x1 , x2 ) = x21 + x22 − 2x1 + 2x2
na trójkącie o wierzchołkach (0, 0), (0, 1), (2, 0).
4. Wyznaczyć ekstrema związane funkcji
f (x1 , x2 ) = 3x1 − x2
na okręgu o równaniu x21 + x22 = 10.
5. Wyznaczyć ekstrema funkcji uwikłanej y = y (x) określonej równaniem
4x2 + y 2 + 8x − 6y + 12 = 0.
Kolokwium II z analizy matematycznej
Studia stacjonarne SGH
3 czerwca 2011
Imię i Nazwisko
Grupa
Nr indeksu
1. Niech d : R2 × R2 → R będzie funkcją określoną wzorem
x1
y1
d
,
= 3 |x1 − y1 | + |x2 − y2 | .
x2
y2
a) Wykazać, że d jest metryką.
b) Narysować kulę otwartą
K (x0 , r) = x ∈ R2 : d (x, x0 ) < r ,
0
gdzie x0 =
, r = 3.
1
2. Dana jest funkcja f : R2 → R określoną wzorem
 xx
1 2

dla x21 − 2x22 =
6 0,
2
2
x
−
2x
f (x) =
1
2

0
dla x21 − 2x22 = 0.
a) Zbadać ciągłość funkcji f w punkcie 0.
1
b) Sprawdzić, czy istnieje ∇h f (0), gdzie h =
.
−1
3. Wyznaczyć najmniejszą i największą wartość funkcji
f (x1 , x2 ) = x21 + x22 + 2x1 − 4x2
na trójkącie o wierzchołkach (0, 0), (1, 0), (0, 3).
4. Wyznaczyć ekstrema związane funkcji
f (x1 , x2 ) = x1 + 2x2
na okręgu o równaniu x21 + x22 = 5.
5. Wyznaczyć ekstrema funkcji uwikłanej y = y (x) określonej równaniem
4x2 + y 2 − 16x + 4y + 19 = 0.