Kolokwium II z analizy matematycznej Szkoła Główna - E-SGH

Kolokwium II z analizy matematycznej
Szkoła Główna Handlowa
31 maja 2016
Imię i Nazwisko
Grupa
Nr albumu
1. Dana jest funkcja f : R2 → R określona wzorem
f (x) =
x1 + 3x22
.
2x21 + 1
a) Zbadać ciągłość funkcji f w punkcie 0.
b) Obliczyć ∇h f (0) dla dowolnego wektora h ∈ R2 .
c) Sprawdzić, czy
∇h1 +h2 f (0) = ∇h1 f (0) + ∇h2 f (0)
dla dowolnych wektorów h1 , h2 ∈ R2 .
2. Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji
f (x1 , x2 , x3 ) = x31 + 2x32 + x23 − 12x1 − 4x2 − 2x2 x3 .
3. Wyznaczyć największą i najmniejszą wartość funkcji f (x1 , x2 ) = x21 + x22 na zbiorze
n
o
X = (x1 , x2 ) ∈ R2 : (x1 − 1)2 + x22 ¬ 4
"
2
2
4. Niech F : R → R , F (x) =
#
x31 + x52 + x2
.
x1 cos x2
"
a) Wykazać, że F jest lokalnie odwracalne w punkcie x0 =
1
0
#
.
b) Wyznaczyć pochodną odwzorowania odwrotnego do F w punkcie y0 = F (x0 ).
"
c) Obliczyć ∇h F (x0 ), gdzie h =
#
1
.
3
5. Wykazać, że w pewnym otoczeniu punktu (1, −1) równanie
2
e(x1 +x2 )y + 3x2 + 3y 2 − y = 0
generuje funkcję uwikłaną y = g(x1 , x2 ). Wyznaczyć g 0 (1, −1).
Kolokwium II z analizy matematycznej
Szkoła Główna Handlowa
31 maja 2016
Imię i Nazwisko
Grupa
Nr albumu
1. Dana jest funkcja f : R2 → R określona wzorem
f (x) =
2x1 + x22
.
3x22 + 1
a) Zbadać ciągłość funkcji f w punkcie 0.
b) Obliczyć ∇h f (0) dla dowolnego wektora h ∈ R2 .
c) Sprawdzić, czy
∇h1 +h2 f (0) = ∇h1 f (0) + ∇h2 f (0)
dla dowolnych wektorów h1 , h2 ∈ R2 .
2. Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji
f (x1 , x2 , x3 ) = x31 − 4x32 − x23 − 3x1 + 4x2 + 2x2 x3 .
3. Wyznaczyć największą i najmniejszą wartość funkcji f (x1 , x2 ) = x21 + x22 na zbiorze
n
o
X = (x1 , x2 ) ∈ R2 : x21 + (x2 + 1)2 ¬ 4
"
2
2
4. Niech F : R → R , F (x) =
#
x2 sin x1 + x22
.
x21 + x42 − x2
"
a) Wykazać, że F jest lokalnie odwracalne w punkcie x0 =
0
1
#
.
b) Wyznaczyć pochodną odwzorowania odwrotnego do F w punkcie y0 = F (x0 ).
"
c) Obliczyć ∇h F (x0 ), gdzie h =
#
2
.
1
5. Wykazać, że w pewnym otoczeniu punktu (−1, 1) równanie
2
e(x1 +x2 )y + 2x2 + y 2 − 4y = 0
generuje funkcję uwikłaną y = g(x1 , x2 ). Wyznaczyć g 0 (−1, 1).