W_PF_II_3_Polaryzacja_Opisy matematyczne_Jones_pop

POLARYZACJA ŚWIATŁ
WIATŁA – OPISY
MATEMATYCZNE
inŜ
prof. dr hab. in
Ŝ. Krzysztof Patorski
Analiza propagacji światła w ośrodku anizotropowym, którego właściwości zaleŜą od kierunku propagacji
wiązki, wymaga wprowadzenia w pierwszej kolejności pojęcia polaryzacji światła i jej opisu matematycznego.
W niniejszej części wykładu przedstawiono opisy właściwości światła za pomocą elipsy polaryzacji (opis
geometryczny) oraz rachunku wektorowego (macierzowego): Jonesa i Stokesa. Opis geometryczny
umoŜliwia przedstawienie i analizę stanu polaryzacji za pomocą pojedynczego wzoru – jest więc prosty
i przydatny, aczkolwiek ograniczony do światła całkowicie spolaryzowanego. Opis Jonesa (wraz
z macierzami Jonesa) umoŜliwia analizę superpozycji amplitud zespolonych wiązek wzajemnie
koherentnych. Opis ten dominuje w fotonice, gdzie podstawową rolę odgrywa całkowicie spolaryzowane,
koherentne promieniowanie. Opis Stokesa (wraz z macierzami Mullera) umoŜliwia, dodatkowo, analizę
światła niespolaryzowanego lub częściowo spolaryzowanego.
Znajomość stanu polaryzacji wiązki świetlnej ma fundamentalne znaczenie z uwagi na jego wpływ na
następujące wielkości i zjawiska optyczne:
• współczynnik odbicia światła na granicy dwóch ośrodków,
• współczynnik absorpcji ośrodka,
• rozproszenie światła w ośrodku,
• współczynnik załamania materiałów anizotropowych (zaburzenia o róŜnych stanach polaryzacji
propagują się z róŜnymi prędkościami i podlegają róŜnym opóźnieniom fazowym),
• obrót płaszczyzny polaryzacji w przypadku propagacji w tak zwanych aktywnych ośrodkach
optycznych.
1. Opis geometryczny
Z analizy równań Maxwella wynika, Ŝe wektor pola elektrycznego E drga w pewnej płaszczyźnie zawierającej
zarówno wektor E jak i wektor propagacji k. Wektor pola elektrycznego otrzymuje się w wyniku superpozycji
dwóch zaburzeń harmonicznych o tej samej częstotliwości, o płaskich czołach falowych, spolaryzowanych
liniowo w dwóch wzajemnie prostopadłych płaszczyznach i propagujących się w tym samym kierunku.
Zaburzenia te moŜna traktować jako składowe zaburzenia wypadkowego, którego stan polaryzacji nie musi
być juŜ liniowy. Jak pokaŜemy niŜej stan polaryzacji będzie podyktowany stosunkiem amplitud i róŜnicą faz
zaburzeń składowych.
Składowe wektora pola elektrycznego moŜna przedstawić w postaci
Ex = Eox cos ω t,
(1)
Ey = Eoy cos (ωt + δ),
gdzie E0x,y oznacza amplitudy rzeczywiste zaburzeń, ω = 2πν, δ = δx – δy, δx i δy oznaczają fazy składowych
w początku układu współrzędnych i czasie t = 0. Po wyeliminowaniu zmiennej t otrzymuje się
(2)
Tak więc w ustalonej odległości z koniec wektora kreśli w
płaszczyźnie x-y elipsę, natomiast przy propagacji wzdłuŜ
osi z kreśli on okresową trajektorię (eliptyczną helisę)
leŜącą na powierzchni eliptycznego cylindra, rys. 1.
Podczas pełnego obrotu wektora pola elektrycznego
o 3600 czoło falowe przemieszcza się wzdłuŜ kierunku
propagacji o λ = c/ν.
y
λ
x
z
Rys. 1. Przykładowa trajektoria ruchu końca wektora E
w przestrzeni przy propagacji fali płaskiej wzdłuŜ osi z.
a)
WyróŜnia się następujące parametry opisujące stan
polaryzacji światła:
Kąt przekątnej α = arc tg (E0y/E0x). Jest to kąt między
przekątną prostokąta opisanego na elipsie a osią x
układu współrzędnych, 00 ≤ α ≤ 900.
b)
Azymut ψ. Jest to kąt między duŜą osią elipsy stanu
polaryzacji światła a osią x układu współrzędnych;
-α ≤ ψ ≤ α. MoŜna wyprowadzić następujące
zaleŜności
tg2Ψ =
Rys. 2. (a) wielkości fizyczne definiujące stan polaryzacji
światła; (b) zmiana stanu polaryzacji w funkcji róŜnicy faz δ.
2E 0x E 0y
E 0x − E 0y
2
2
tg 2ψ = tg(2α) cosδ;
cosδ
0≤ψ<π
(3)
(4)
Skrętność. Przyjmując, Ŝe fala propaguje się do obserwatora i Ŝe jeśli w danej płaszczyźnie z = const
wektor E obraca się w kierunku zgodnym z kierunkiem ruchu wskazówek zegara, to mamy do czynienia
z polaryzacją prawoskrętną. Występuje to gdy 0 < δ < 1800, sinδ > 0. Natomiast gdy 1800 < δ < 3600 mamy
przypadek polaryzacji lewoskrętnej, sinδ < 0.
Eliptyczność. Definiowana jest jako iloraz b/a, czyli iloraz małej i duŜej osi elipsy stanu polaryzacji światła.
Kąt eliptyczności υ = arc tg (b/a). Dla polaryzacji prawoskrętnej 00 < υ < 450, dla lewoskrętnej -450 ≤ υ < 00.
W przypadkach szczególnych polaryzacji liniowej i kołowej, patrz niŜej, mamy, odpowiednio,
υ = 00 i │ υ │ = 450. Obowiązuje zaleŜność
sin 2 υ = sin(2α) sinδ;
(-π/4) < υ ≤ π/4
(5)
Zgodnie z powszechnie przyjętą umową jako płaszczyznę drgań rozumie się płaszczyznę drgań wektora E,
a jako płaszczyznę polaryzacji płaszczyznę do niej prostopadłą, czyli z zawierającą drgający wektor H.
Przypadki szczególne
Polaryzację liniową otrzymuje się w przypadku zerowej wartości jednej ze składowych lub róŜnicy faz δ
równej 0 lub wielokrotności π. Mamy teraz Ey = ± (E0y/E0x) Ex, a więc równanie linii prostej o nachyleniu ±
E0y/Eox (znak + odpowiada róŜnicy faz δ = 0 lub parzystej wielokrotności π, a znak – nieparzystej wielokrotności
π). W tym przypadku eliptyczny cylinder przechodzi w płaszczyznę. Jeśli, dodatkowo, E0x = E0y, płaszczyzna
polaryzacji tworzy kąt 450 z płaszczyzną x-z.
Polaryzację kołową otrzymuje się w przypadku E0x = E0y i δ = ±π/2. Gdy δ = +π/2 i δ = -π/2 mamy do
czynienia, odpowiednio, z polaryzacją prawo- i lewoskrętną.
Intensywność sumarycznego zaburzenia (wyznaczana poprzez przemnoŜenie sumy zaburzeń składowych
danych wzorem (1) przez wartość sprzęŜoną tej sumy) jest stała i niezaleŜna od δ. Dopiero zastosowanie
dodatkowego elementu polaryzacyjnego nazywanego analizatorem umoŜliwia uzyskanie tej informacji.
Geometryczny opis właściwości światła za pomocą elipsy polaryzacji jest bardzo przydatny, gdyŜ umoŜliwia
przedstawienie stanu polaryzacji za pomocą pojedynczego wzoru. JednakŜe z wielu powodów opis ten jest
niewystarczający. Czas “kreślenia” krzywej stanu polaryzacji przez koniec wektora elektrycznego E (pelen
obrót) podczas którego fala przemieszcza się w przestrzeni o λ wynosi około 10-15 sekundy, a więc jest zbyt
krótki aby móc zarejestrować tę krzywą (w przypadku ogólnym – elipsę). Atrakcyjne są więc modele
matematyczne wyraŜające stan polaryzacji za pomocą obserwowalnych i mierzalnych wielkości, tzn.
intensywności. Dodatkowo, opis z wykorzystaniem elipsy polaryzacji moŜna stosować do światła całkowicie
spolaryzowanego, a często spotyka się promieniowanie częściowo lub całkowicie niekoherentne.
Najpowszechniej stosuje się dwa opisy macierzowe: Stokesa (zaproponowany w 1852r.) i Jonesa
(zaproponowany w 1941r.). Pierwszy z nich umoŜliwia opis kaŜdego stanu polaryzacji światła za pomocą
czterech mierzalnych wielkości, tzw. parametrów Stokesa. Jest on uniwersalny i moŜe być stosowany do
światła niespolaryzowanego, częściowo spolaryzowanego lub całkowicie spolaryzowanego. Dodatkowo, za
pomocą formalizmu Stokesa moŜna analizować superpozycję wielu wiązek niekoherentnych względem siebie.
W przypadkach konieczności dodawania wiązek wzajemnie koherentnych, a więc ich amplitud zespolonych
(np. w interferometrii), stosuje się formalizm macierzowy Jonesa. Ogólną zasadą stosowaną przy wyborze
opisu matematycznego jest właśnie fakt, czy superpozycji podlegają amplitudy czy intensywności wiązek.
2. Opis macierzowy Jonesa
Opis ten zaproponowany w 1941r. przez amerykańskiego fizyka R. Clarka Jonesa moŜe być stosowany tylko
do wiązek całkowicie spolaryzowanych i koherentnych. W tym przypadku najbardziej naturalnym sposobem
przedstawienia zaburzenia świetlnego jest wykorzystanie do tego celu samego wektora elektrycznego. Dla
wiązki propagującej się wzdłuŜ osi z moŜemy zapisać macierz kolumnową utworzoną z równania (1)
wyraŜonego w postaci skalarnej
E (t ) E exp(− iδ x )  E 0x
 E 0x exp(− iδ )
[E] =  x  =  0x
=
 E exp(iδ ) = 
 ,
(6)
(
)
E
(
t
)
E
exp
iδ
E 0y
−
y
0y
y

 
  0y
 

gdzie Ex(t) i Ey(t) oznaczają chwilowe składowe skalarne wektora E. Ta macierz kolumnowa nosi nazwę
wektora Jonesa. Mając wektor Jonesa moŜna wyznaczyć intensywność zaburzenia I = E0x2 + E0y2 oraz
orientację i kształt elipsy polaryzacji, tzn. kąty Ψ, α, i υ – patrz wzory (3), (4) i (5) oraz dyskusja powyŜej.
W tabeli 1 podano wektory Jonesa dla charakterystycznych stanów polaryzacji. W kaŜdym przypadku
unormowano wartość intensywności do jedności. Wartość fazy δx dla składowej x przyjęto równą 0.
2.1. Macierze Jonesa
RozwaŜmy przejście wiązki o płaskim czole falowym i polaryzacji opisanej wektorem Jonesa Ei przez element
optyczny, który zmienia stan polaryzacji wiązki, ale zachowuje jej płaskie czoło falowe. Zakłada się liniowość
oddziaływania elementu optycznego. Jako przykład słuŜyć mogą odbicie i załamanie na granicy rozdziału
dwóch ośrodków o róŜnych współczynnikach załamania lub propagacja wiązki przez płytkę wykonaną
z materiału anizotropowego.
Wektor Jonesa Et wiązki po przejściu przez element optyczny (lub odbiciu od niego) moŜna przedstawić w
postaci iloczynu
E tx   j11 j12  E ix 
(7)
lub
(8)
E  = 
 
[E t ] = [J t ][E i ]
 ty   j21 j22   E iy 
gdzie macierz J nosi nazwę macierzy Jonesa o wymiarach 2 x 2. Wzór (8) opisuje liniowość optycznych
elementów polaryzacyjnych. Wyrazy j11, j12, j21 i j22 charakteryzują wpływ elementu optycznego na stan
polaryzacji i intensywność wiązki, tzn.
Etx = j11 Eix + j12 Eiy,
Ety = j21 Eix + j22 Eiy.
(9)
Tabela 1 Wektory Jonesa niektórych stanów polaryzacji
Symbol
Azymut
ψ
Kąt
eliptyczności
Standardowy
wektor Jonesa
Pełny wektor
Jonesa
1 
 
0
 E 0x 


 0 
—
00
00

900
00
0
 
1 
 0 


 E 0y 
/
450
00
2 1

2 1
 E 0x 


 E 0x 
\
-45 0
00
2 1
 
2 - 1
 E 0x 
−

 E 0x 
00
 cos α 
±

 sin α 
 E 0x 
±

 E 0y 
Polaryzacja
liniowa ogólnie
-
-45 0
2 1
 
2 - i 
 E 0x 

−i π / 2 
 E 0x e

-
450
2 1

2 i 
 E 0x 

iπ / 2 
 E 0x e 
 cos α 

iδ 
sin α e 
 E 0x 

ιδ 
 E 0y e 
Polaryzacja
eliptyczna
ogólnie
ψ
υ
Tabela 2 Przykłady macierzy Jonesa
Symbol
ψ
Macierz
—
00
1 0
0 0
900
0 0
0 1
450
1 1 1
2 1 1
-450
1  1 - 1
2 - 1 1 
00
1
0 
0 exp(- iδ )
│
/
\
Płytka opóźniająca składową
y o kąt δ
Zastosujmy rachunek macierzowy do przedstawienia następujących charakterystycznych przypadków działania
płytek opóźniających (przy przyjętej konwencji opóźnienia fazy składowej y o δ i pozostawieniu bez zmiany
składowej x, osie x i y noszą, odpowiednio, nazwę szybkiej i wolnej osi płytki opóźniającej):
Gdy δ = π/2 płytka opóźniająca (nazywana płytką ćwierćfalową) zmienia polaryzację liniową o azymucie 450
i opisaną wektorem Jonesa [1,1] na lewoskrętną polaryzację kołową [1,-i], oraz prawoskrętną polaryzację
kołową [1,i] na polaryzację liniową [1,1].
Gdy δ = π płytka opóźniająca (nazywana płytką półfalową) zmienia polaryzację liniową [1,1] na polaryzację
liniową [1,-1], a więc płaszczyzna polaryzacji liniowej doznała obrotu o π/2. Płytka półfalowa zmienia
prawoskrętną polaryzację kołową [1,i] na lewoskrętną polaryzację kołową [1,-i].
W przypadku przechodzenia przez kilka elementów optycznych opisanych macierzami J1, J2, ..., Jn obowiązuje
zapis
Et = Jn, .... , J2, J1 Ei
(10)
z uwagi na nieprzemieność macierzy. Obowiązuje więc kolejność mnoŜenia macierzy, tzn. wektora Jonesa Ei
wiązki padającej mnoŜy się przez macierz Jonesa J1 pierwszego elementu, wynik mnoŜy się przez drugą
macierz J2, itd. W przypadku analizy zmian stanu polaryzacji wiązki padającej przez ten sam układ optyczny
wygodniej jest stworzyć macierz zastępczą tego układu J = Jn .... J2 J1.
Opis macierzowy odbicia i załamania na granicy dwóch ośrodków
dielektrycznych
RozwaŜmy przypadek wiązki świetlnej padającej na płaszczyznę rozgraniczającą dwa ośrodki dielektryczne o
współczynnikach załamania n1 = ni i n2 = nt . Zakładamy, Ŝe obydwa ośrodki są liniowe, jednorodne, izotropowe, bezdyspersyjne i niemagnetyczne. Z praw optyki geometrycznej wiadomo Ŝe: 1) wektory propagacji
wszystkich trzech wiązek: padającej, odbitej i załamanej leŜą w jednej płaszczyźnie; 2) spełnione jest prawo
załamania ni sinθi = nt sinθt; 3) spełnione jest prawo odbicia θi = θr, gdzie indeksy i, r, t odnoszą się do wiązki
padającej, odbitej i załamanej.
Jako Ŝe prawa optyki geometrycznej dają jedynie informację o kierunku propagacji wiązek, dla pełnego opisu
propagacji konieczna jest informacja o związkach między amplitudami poszczególnych wiązek i o ich stanach
polaryzacji. W tym celu z kaŜdą z trzech wiązek naleŜy związać odpowiadające im wektory Jonesa, tzn.
E 
E tx 
E rx 
E i =  ix ; E t =  ; Er =  
 E iy 
 E ty 
 E ry 
(11)
i wyznaczyć związki Et = Jt Ei oraz Er = Jr Ei, gdzie Jt i Jr oznaczają macierze Jonesa 2 x 2 opisujące, odpowiednio, załamanie i odbicie fali świetlnej.
Jak wspomniano wyŜej, polaryzację liniową monochromatycznej fali płaskiej propagującej się w pierwszym
ośrodku moŜna przedstawić za pomocą dwóch składowych, wzajemnie prostopadłych polaryzacji liniowych.
Składowe leŜą, odpowiednio: w płaszczyźnie padania (rysunku) – składowa Ei║ i w płaszczyźnie do niej
prostopadłej – składowa Ei┴. Podobnie wyróŜnia się składowe wiązki odbitej Er║ i Er┴ oraz załamanej Et║i Et┴,
rys. 3.
a)
b)
Rys. 3. Oznaczenia składowych pola elektrycznego E leŜących: a) w płaszczyźnie prostopadłej do płaszczyzny padania (indeks
┴) oraz b) w płaszczyźnie padania (indeks ║) dla wiązki padającej (Ei), odbitej (Er) i załamanej (Et) [2]; ki, kr i kt oznaczają
kierunki propagacji odpowiednich wiązek.
NiezaleŜność składowych pociąga za sobą fakt, Ŝe macierze Jonesa Jt i Jr są macierzami diagonalnymi, tzn.
t
Jt =  ⊥
0
tak Ŝe
r⊥
0
;
J
=


r
tII 
0
0

rII 
(12)
E 0t⊥ = t ⊥E 0i⊥ ; E||0t = t IIE||0i
(13)
E 0r⊥ = r⊥E 0i⊥ ; E||0r = rIIE||0i
(14)
Współczynniki t┴ i t║ oraz r┴ i r║ są zespolonymi, amplitudowymi współczynnikami transmisji i odbicia.
WyraŜone są one tzw. wzorami Fresnela [2,3]
sin(θi − θ t )
sin(θi + θ t )
(15)
tg(θi − θ t )
tg(θi + θ t )
(16)
2sinθ t cosθi
sin(θi + θ t )
(17)
2sinθ t cosθi
sin(θi + θ t ) cos θi − θ t
(18)
r⊥ = −
rII =
t⊥ =
tII =
(
)
Szczegółową interpretację wzorów Fresnela moŜna znaleźć w literaturze [2,3].Tutaj ograniczymy się do
zasygnalizowania następujących przypadków szczególnych:
Gdy n1 < n2 oraz θi = θB = tg-1(n2/n1), tzn. gdy θi + θt = π/2, znika składowa równoległa (r║ = 0) i w świetle
odbitym występuje tylko polaryzacja liniowa. Kąt θB nosi nazwę kąta Brewstera.
Gdy n1 > n2 oraz θi = θc = sin-1(n2/n1) mamy θt = π/2. Oznacza to, Ŝe dla krytycznego kąta padania θc światło
propaguje się wzdłuŜ granicy podziału ośrodków, a dla θi > θc doznaje całkowitego wewnętrznego odbicia i nie
wchodzi do drugiego ośrodka.
MoŜna wykazać, Ŝe wartości kąta Brewstera w przypadkach n1 < n2 i n2 > n1 i dla tych samych dielektryków są
wartościami wzajemnie uzupełniającymi się do kąta π/2.
W zaleŜności od tego czy n21 = n2/n1 > 1 lub n21 < 1, oraz czy θi > θB lub θi < θB składowe światła odbitego
mogą doznawać dyskretnych skoków fazy o π, co odpowiada zmianie znaku amplitudy. Uwaga: Występowanie
tylko dwóch wartości fazy 0 i π składowych jest charakterystyczne dla dielektryków. W przypadku odbicia od
metalu, gdzie współczynnik załamania ma wartość zespoloną, róŜnica faz między składowymi w funkcji kąta
padania przyjmuje wartości w pełnym przedziale 0÷π; nie występuje teŜ kąt Brewstera [3-5])
Współczynniki r i t odpowiadają, odpowiednio, ilorazom amplitud zespolonych wiązki odbitej i padającej oraz
wiązki załamanej i padającej. Natomiast współczynniki podziału energii R i T, a więc wielkości detekowanych
przez rzeczywiste odbiorniki promieniowania, definiuje się jako ilorazy energii wiązki odbitej i załamanej
względem wiązki padającej. MoŜna wyprowadzić następujące zaleŜności [2-5]:
 E 0r 
tg 2 (θ i − θ t )
2
R || = r|| = 
 = 2
E
 0i  || tg θ i + θ t
2
(
)
(19)
 E 0r 
sin 2 (θ i − θ t )
=
 =
2
 E 0i  ⊥ sin θ i + θ t
2
R ⊥ = r⊥
2
(
)
(20)
 n cosθ t
T⊥ =  2
 n 1cosθ i
 n cosθ t
T|| =  2
 n 1cosθ i
 2
 t ⊥

(21)
 2
 t ||

(22)
R||+T||=1
(23)
R⊥+T⊥=1
(24)
Jak juŜ wspomniano wyŜej, dla kąta Brewstera θi = θB, tzn. gdy θi + θt = π/2, w świetle odbitym znika składowa
równoległa (mianownik we wzorze (19) przyjmuje wartość nieskończenie duŜą).
W przypadku oświetlenia powierzchni rozdzielającej ośrodki wzdłuŜ jej normalnej, θi = 0, płaszczyzna padania
pozostaje niezdefiniowana i mamy
 n − n1 

R = R || = R ⊥ =  2
 n1 + n 2 
4n1n 2
T = T|| = T⊥ =
(n 1 + n 2 )2
2
(25)
(26)
Tak więc w przypadku powierzchni rozdzielającej powietrze i szkło około 4% światła padającego wzdłuŜ
normalnej ulega odbiciu (zarówno w przypadku n2 > n1 jak i n2 < n1).
Gdy światło padające jest niespolaryzowane otrzymuje się
R=
1
(R || + R ⊥ )
2
(27)
T=
1
(T|| + T⊥ )
2
(28)
Rysunek 4 ilustruje zmiany współczynnika odbicia energii R w funkcji kąta padania dla przypadku n1=1 i n2=1.52.
Środkowa krzywa (R║ + R┴)/2 odpowiada niespolaryzowanemu
promieniowaniu padającemu. Pokazuje ona, Ŝe w przypadku θi = θB
odbijane jest tylko 7.5% światła padającego. Jednocześnie wiązka
załamana jest częściowo spolaryzowana. Gdy θi ≠ θB zarówno wiązka
odbita jak i załamana są spolaryzowane częściowo. Stopień polaryzacji
moŜna zdefiniować jako
R ⊥ − R ||
PR =
(29)
R ⊥ + R ||
Dwa
przykłady
zmian
stopnia
polaryzacji PR w funkcji kąta padania
θi pokazano na rys. 5.
Rys. 4. Zmiany współczynnika odbicia
energii R w funkcji kąta padania wiązki
świetlnej [4].
Rys. 5. Zmiana stopnia polaryzacji
w funkcji kata padania dla światła
odbitego od powierzchni rozgraniczającej
powietrze i wodę (n2/n1 = n21 = 1.33) oraz
powietrze i szkło (n21 = 1.52) [5].
i jego zmiany w funkcji kata padania pokazano na rys.6.
Rys. 6. Zmiana stopnia polaryzacji w funkcji kąta padania dla wiązki
przechodzącej przez powierzchnię rozgraniczającą powietrze i wodę
(n2/n1 = n21 = 1.33) oraz powietrze i szkło (n21 = 1.52) [5].
W przeciwieństwie do wiązki odbitej
wiązka załamana (przechodząca) jest
zawsze spolaryzowana częściowo.
Stopień polaryzacji dany jest wzorem
PT =
T|| − T⊥
(30)
T|| + T⊥
PT
%
θi[°
]
Wzory Fresnela – obrót płaszczyzny polaryzacji
Padające światło spolaryzowane liniowo pod kątem αi
do płaszczyzny padania xz
Ei amplituda fali padającej
EIIi
Ei⊥
składowe równoległa i prostopadła fali padającej
Obrót płaszczyzny polaryzacji
z pominięciem przypadku całkowitego odbicia
Ei
Ei⊥
αi
E ⊥t
Er⊥
αt
EIIt
II
i
E
Fala
padająca
Er
Et
EIIr
Fala
przechodząca
Ei⊥
tgαi = II
Ei
αr
Fala
odbita
E t⊥
tgα t = II = cos (ii − it ) tgαi
Et
PoniewaŜ
0 < i i ≤ 0.5π 0 < i t ≤ 0.5π
więc α t ≤ α i α r ≥ α i
Azymut fali transmitowanej
zmniejsza się, o odbitej - zwiększa
cos(i i − i t )
tgα r = −
tgα i
cos(i i + i t )
Dla kąta Brewstera: brak
składowej ll fali odbitej
i i + i t = 0.5π
EIIr = 0
Zjawisko dla przypadku nt/ni = 1.52 i liniowo spolaryzowanej wiązki padającej o azymucie 45°
ilustruje poniŜszy wykres, rys. 7
αr , αt
αr
αt
θi [°]
Rys. 7. Zmiana kątów αr i αt w funkcji kąta padania θi, przypadek wiązki padającej spolaryzowanej liniowo
o azymucie 45°.
Uwaga: dyskusja przypadku całkowitego wewnętrznego odbicia zachodzącego gdy ni > nt
wykracza poza zakres tego wykładu.
Odbicie od powierzchni metalu
Opis jest trudniejszy niŜ w przypadku odbicia od dielektryka poniewaŜ kąt odbicia, współczynnik
załamania i inne wielkości mają postać zespoloną.
Graficzną reprezentację rozwiązania analitycznego pokazuje wykres, rys. 8
R [%]
R⊥
RII
θp
θi [°]
Rys. 8. Zmiany energetycznych współczynników odbicia RII i R⊥ w funkcji kąta padania
dla przypadku odbicia od wypolerowanej powierzchni Al.
Wartości RII i R⊥ są znacznie większe niŜ w przypadku odbicia od dielektryka. Dla θi = θp uzyskuje
się min. wartość RII, jednakŜe róŜną od zera. Nie uzyskuje się światła liniowo spolaryzowanego
(kąta Brewstera).
⊥
II
W ogólności, światło odbite od powierzchni metalu jest spolaryzowane eliptycznie. Składowe Er i Er odbijają
się z róŜnicą fazy δII - δ⊥ zmieniającą się ciągle od 0 do π gdy θi zmienia się od 0°do 90°, rys. 9.
θi [°]
R⊥/RII
θi [°]
R⊥/RII
θi [°]
θi [°]
Rys. 9. Zmiana róŜnicy fazy δII - δ⊥ i ilorazu R⊥/RII energetycznych współczynników odbicia w funkcji kąta padania:
a) odbicie od powierzchni typowego metalu (powietrze/srebro), b) odbicie od dielektryka (powietrze/szkło).
Dla θi ≠ 0° lub 90° i liniowo spolaryzowanej wi ązki padającej, po odbiciu uzyskuje się wiązkę spolaryzowaną
eliptycznie.
Ćwiczenia
1.Wyznaczyć stan polaryzacji fali o następujących składowych:
a) E = E0xcos(ωt – kz) + E0ysin(ωt – kz)
b) E = E0xcos(ωt – kz) – E0ycos(ωt – kz))E = E0xsin(kz – ωt) – E0ysin(kz – ωt)
c) E = E0xcos(ωt – kz) + E0ycos(ωt – kz – ¾ π)
d) E = E0xcos(ωt – kz) + E0ycos(ωt – kz + ¼ π)
e) E = E0xsin(ωt – kz) + E0ysin(ωt – kz – ¼ π)
f) E = E0xcos(ωt – kz) + E0ycos(ωt – kz + ½ π)
Zapis ogólny sumy składowych:
E = E0xcos(ωt - δx) + E0ycos(ωt - δy)
ZałoŜenia: E0x = E0y;
oraz δ = δx - δy
a) E = E0xcos(ωt – kz) + E0ysin(ωt – kz)
gdyŜ cos(900 +/- α) = -/+sinα.
E = E0xcos(ωt – kz) + E0xcos(ωt – kz - π/2);
δ= 0 – (π/2) = - π/2
Jeśli E0x = E0y otrzymuje się polaryzację kołową lewoskrętną.
b) E = E0xcos(ωt - kz) – E0ycos(ωt – kz)
E = E0xcos(ωt – kz) + E0xcos(ωt – kz + π);
gdyŜ cos(π +/- α) = - cosα
δ = 0 – (-π) = π
Polaryzacja liniowa o azymucie 3π/4 względem osi x.
c) E = E0xsin(kz - ωt) – E0ysin(kz - ωt)
poniewaŜ cos(2700 + α) = sinα;
cos(900 + α) = - sinα
E = E0xcos(kz - ωt + 3π/2) + E0ycos(kz - ωt + π/2)
E = E0xcos(ωt – kz - 3π/2) + E0ycos(ωt – kz - π/2)
δ = 3π/2 - π/2 = π
otrzymuje się polaryzacje liniową jak w przypadku b)
d) E = E0xcos(ωt – kz) + E0ycos(ωt - kz - 3π/4)
δ = δx - δy = 0 - 3π/4 = - 3π/4
polaryzacja eliptyczna, lewoskrętna ( bo 1800 < δ < 3600)
Przy załoŜeniu E0x = E0y azymut duŜej przekątnej elipsy:
tg2ψ = 2E0x E0y cosδ / (E0x2 – Eoy2) = ∞
2ψ = π/2 lub 3π/2; w naszym przypadku ψ = 3π/4
e) E = E0xcos(ωt – kz) + E0ycos(ωt - kz + π/4)
δ = 0 – (-π/4) = π/4
Polaryzacja eliptyczna, prawoskrętna (gdyŜ 0 < δ < π)
Przy załoŜeniu E0x = E0y azymut duŜej przekątnej elipsy:
(patrz obliczenia w punkcie d)
ψ = π/4
f) E = E0xsin(ωt – kz) + E0ysin(ωt – kz - π/4)
cos(900 - α) = sinα;
E = E0xcos[(π/2) – (ωt – kz)] + E0ycos[(π/2) – (ωt – kz) + (π/4)]
E = E0xcos[(ωt – kz) - π/2] + E0ycos[(ωt – kz) – (π/2) – (π/4)]
δ = (π/2) – [(π/2) + (π/4)] = - π/4
Przy załoŜeniu E0x = E0y mamy polaryzację eliptyczną lewoskrętną o azymucie osi
głównej π/4
g) E = E0xcos(ωt – kz) + E0ycos(ωt – kz + π/2)
δ = 0 – (-π/2) = π/2
Przy załoŜeniu E0x = E0y polaryzacja kołowa prawoskrętna
2. Za pomocą rachunku wektorowego Jonesa wyznaczyć wynik superpozycji przeciwskrętnych polaryzacji
kołowych o równych i róŜnych amplitudach.
Suma unormowanych wektorów Jonesa polaryzacji kołowej prawo i lewoskrętnej wynosi
i opisuje stan poziomej polaryzacji liniowej o amplitudzie dwa razy większej od amplitud zaburzeń składowych.
PoniŜej wykaŜemy, Ŝe nierówność amplitud składowych polaryzacji kołowych prowadzi do polaryzacji eliptycznej.
Jeśli zapiszemy polaryzacje składowe zapiszemy w postaci
to zaburzenie wypadkowe opisuje wektor
gdzie
Ex = a + b
Ey = (a – b)exp[iπ/2]
Zapisując te wyraŜenia z uwzględnieniem czynnika związanego z propagacją wiązki otrzymujemy
Ex = (a + b) exp[i(ωt – kz)]
Ey = (a – b) exp[i(ωt – kz +π/2)].
Uwzględniając tylko część rzeczywistą mamy
Ex(z, t) = (a + b) cos(ωt – kz)
Ey(z, t) = (a – b) cos (ωt – kz + π/2) = (a – b) sin(ωt – kz)
Przepisując ostatnie równania w postaci
otrzymuje się po podniesieniu do kwadratu i zsumowaniu
Ostatni wzór opisuje elipsę, której oś duŜa (główna) i mała mają długość, odpowiednio, (a + b) i (a – b). Tak
więc w wyniku superpozycji dwóch przeciwskrętnych polaryzacji kołowych o nierównych amplitudach otrzymuje
się lewoskrętną polaryzację eliptyczną o osiach elipsy pokrywająch się z osiami układu współrzędnych.
3. Jaką macierz Jonesa moŜna przyporządkować odbiciu fali płaskiej od zwierciadła w przypadku propagacji
wzdłuŜ normalnej?
W przypadku θi = 0 mamy [r║]θi=0 = [-r┴]θi=0. Macierz Jonesa 2x2 dla odbicia wzdłuŜ normalnej przyjmuje postać
Warto zwrócić uwagę, Ŝe jest to taka sama macierz jak macierz opóźniającej płytki półfalowej (patrz Tabela 2).
Tak więc wsteczne odbicie wiązki (wzdłuŜ kierunku padania), tak samo jak jej przejście przez płytkę półfalową,
wprowadza zmianę skrętności stanu polaryzacji światła.
Literatura
1. F. Ratajczyk, Optyka ośrodków anizotropowych, PWN, Warszawa, 1994.
2. R. Jóźwicki, Optyka instrumentalna, WNT, Warszawa, 1970.
3. M. Pluta, Advanced Light Microscopy, vol. 1, PWN-Elsevier, Warszawa-Amsterdam, 1988.
2.2. MACIERZE JONESA DLA POLARYZATORA, PŁ
PŁYTKI
OPÓ
OPÓŹNIAJĄ
NIAJĄCEJ (FAZOWEJ, FALOWEJ) I OBRACAJĄ
OBRACAJĄCEJ
ELIPSĘ
ELIPSĘ POLARYZACJI
ZałóŜmy, jak to uczyniono we wzorach (7-10), Ŝe składowe wiązki po przejściu przez element polaryzacyjny,
Etx i Ety, są liniowo związane ze składowymi wiązki padającej, Eix i Eiy. Wyznaczmy macierze Jonesa dla
polaryzatora, płytki opóźniającej (przesuwającej fazę między składowymi) oraz elementu powodującego obrót
elipsy polaryzacji.
2.2.1. Macierze Jonesa dla polaryzatora
Dla polaryzatora macierz ma postać:
MoŜemy więc zapisać
p x
JP = 
0
0
,
p y 
0 ≤ pxy ≤ 1
E tx  p x 0  E ix 
E  =  0 p  E  .
y
 ty  
 iy 
Dla idealnego polaryzatora przepuszczającego w kierunku równoległym do osi x mamy px = 1 oraz py = 0
Dla idealnego polaryzatora pionowego
1 0
J PH = 
.
0 0 
(31)
(32)
(33)
0 0 
J PV = 
.
0 1 
(34)
Ogólny przypadek dotyczy macierzy Jonesa polaryzatora obróconego o kąt θ.
MoŜna ją zapisać korzystając z tzw. macierzy obrotu, tzn.
gdzie J(θ) jest macierzą obrotu
 cos θ sin θ 
J(θ) = 
,
−
sin
θ
cos
θ


J′′ = J(-θ) J J(θ),
(35)
(36)
a macierz Jonesa J dana jest wzorem (8). Dla obróconego polaryzatora JP opisanego wzorem (31) z wzoru
(35) otrzymuje się
cos θ − sin θ  p x 0   cos θ sin θ 
(37)
J' = 


,
 sin θ
Po wymnoŜeniu
cos θ   0
py   − sin θ cos θ
p x cos 2 θ + p y sin 2 θ (p x − p y )sin θ cos θ 
J P (θ) = 
.
2
2 
 (p x − p y )sin θ cos θ p x sin θ + p y cos θ
(38)
Dla idealnego polaryzatora moŜna zapisać px = 1 i py = 0; idealny obrócony polaryzator opisuje macierz
Jonesa
 cos 2 θ
sin θ cos θ 
J P (θ ) = 

sin 2 θ 
sin θ cos θ
Macierz idealnego polaryzatora liniowego obróconego o kąt 450
J P (45°) =
1 1 1
2 1 1
(39)
(40)
Dla nieidealnego polaryzatora liniowego, patrz wzór (31), obróconego o kąt 450, ze wzoru (38) otrzymujemy
J P (45°) =
1 p x + p y

2 p x − p y
px − py 
.
p x + p y 
(41)
W przypadkach θ = 00 i θ = 900 otrzymuje się macierze Jonesa dla poziomego i pionowego polaryzatora
liniowego, patrz wzory (33) i (34).
Wzór (38) opisuje równieŜ absorpcyjny filtr szaroodcieniowy (ang. neutral density, ND), dla którego mamy
px = py = p. Macierz Jonesa ma teraz postać
1 0
(42)
J ND (θ ) = p 

0
1


Macierz Jonesa tego typu filtra nie zaleŜy od kąta obrotu θ, współczynnik absorpcji dla obu składowych wynosi
p. Charakter macierzy diagonalnej w ostatnim wzorze potwierdza fakt, Ŝe filtr ND nie zmienia stanu polaryzacji
padającej wiązki.
2.2.2. Macierze Jonesa dla płytek opóźniających (fazowych, falowych)
ZałóŜmy, Ŝe płytka opóźniająca przyspiesza fazę składowej wzdłuŜ osi x (osi szybkiej) o +φ/2, a opóźnia fazę
składowej równoległej do osi y (osi wolnej) o -φ/2. To zachowanie moŜna wyrazić wzorem
E tx  e + iφ/2
E  = 
 ty   0
Macierz Jonesa płytki opóźniającej ma więc postać
0  E ix 
  .
e −iφ/2   E iy 
(43)
e + iφ/2
J WP (φ) = 
 0
0 
 ,
e 
−iφ/2
(44)
gdzie φ oznacza całkowite przesunięcie fazowe między składowymi. Indeks WP wywodzi się z języka
angielskiego “wave plate”. Dwie najczęściej spotykane płytki opóźniające (płytki fazowe, płytki falowe) to
ćwierćfalówka i półfalówka, dla których, odpowiednio, φ = 900 i φ = 1800. Macierze Jonesa mają postać
+ iπ/4
 λ  e
J WP   = 
4  0
0 
1 0 
= e +iπ/4 
 ,
−iπ/4 
e 
0 − i 
 λ   i 0  1 0 
J WP   = 
 = i
 .
 2  0 − i  0 − 1
(45)
(46)
Macierz Jonesa dla obróconej płytki opóźniającej opisuje wzór
(
)
e iφ/2 cos 2 θ + e − iφ/2 sin 2 θ e iφ/2 − e − iφ/2 sin θ cos θ 
J WP (φ, θ) =  iφ/2 −iφ/2
,
iφ/2
2
−iφ/2
2 
e
−
e
sin
θ
cos
θ
e
sin
θ
+
e
cos
θ


(
)
φ
φ
φ


cos
+
i
sin
cos
2
θ
i
sin
sin
2
θ


2
2
2
J WP (φ, θ) = 
.
φ
φ
φ

i sin sin 2 θ
cos − i sin cos 2 θ

2
2
2

Dla płytki ćwierćfalowej i półfalowej mamy, odpowiednio
(47)
którą moŜna zapisać w postaci
i
 1
cos 2 θ
+

λ 
2
2
J WP  , θ  = 
i
4  
sin 2 θ
2

i

sin 2 θ 
2
,
1
i
cos 2 θ
−
2
2

(49)
 λ  cos 2 θ sin 2 θ 
J WP  , θ  = i 
.
 2   sin 2 θ − cos 2 θ
(48)
(50)
Czynnik i występujący przed macierzą jest zazwyczaj pomijany i macierz półfalówki zapisuje się jako
(51)
 λ  cos 2 θ sin 2 θ 
J WP  , θ  = 

 2   sin 2 θ − cos 2 θ
Porównując postać macierzy z ostatniego wzoru z macierzą obrotu, patrz wzór (36), moŜna zauwaŜyć ich
pewne podobieństwo. Dwie róŜnice to:
a) dla półfalówki występuje kąt 2θ, nie kąt θ. Obrót półfalówki o kąt θ powoduje obrót elipsy polaryzacji o kąt 2θ.
b) Obrót o kąt θ w kierunku zgodnym z kierunkiem obrotu wskazówek zegara, wzór (51), powoduje obrót elipsy
polaryzacji w kierunku przeciwnym do kierunku obrotu wskazówek zegara.
Wyjaśnimy to na przykładzie wiązki padającej o poziomej polaryzacji liniowej, E = [Ex, 0]. Składowe wiązki
opuszczającej element wyłącznie obracający, patrz wzór (36), opisują wzory
Kąt obrotu α wynosi więc
Etx = Eix cos θ
(52a)
Ety = - Eix sin θ.
(52b)
tg α = Ety / Etx = - (sin θ) / (cosθ) = tg (-θ).
(53)
W podobny sposób, przemnaŜając wektor Jonesa wiązki padającej przez (51) otrzymujemy
i mamy teraz
Etx = Eix cos 2θ
(54a)
Ety = Eix sin 2θ,
(54b)
tg α = Ety / Etx = (sin 2θ) / (cos 2θ) = tg 2θ.
(55)
Porównując (53) z (55) widzimy, Ŝe kierunek obrotu uzyskiwany za pomocą obracanej półfalówki jest przeciwny
do kierunku obrotu wywoływanego przez element obracający. Ostatni wzór pokazuje równieŜ, Ŝe kąt obrotu za
półfalówką jest dwukrotnie większy od kąta obrotu za elementem obracającym.
Częściej spotykana macierz półfalówki ma postać
 λ  1 0 
J = 
(56)

 2  0 − 1
którą otrzymuje się opuszczając i we wzorze (46) lub podstawiając θ = 0 we wzorze (51).
2.2.3. Macierz Jonesa elementu obracającego
Dla elementu obracającego zapisuje się
Macierz Jonesa elementu obracającego ma więc postać
E tx   cos β sin β  E ix 
E  = 
  E .
−
sin
β
cos
β
  iy 
 ty  
(57)
 cos β sin β 
J ROT = 

− sin β cos β
(58)
Przeanalizujmy teraz efekt mechanicznego obrotu elementu obracającego. Z wzorów (35) i (58)
cos θ − sin θ  cos β sin β   cos θ sin θ 
J ROT (θ) = 



 sin θ cos θ  − sin β cos β − sin θ cos θ
Po wymnoŜeniu macierzy
(59)
 cos β sin β 
J ROT (θ) = 
 = J ROT
−
sin
β
cos
β


(60)
Mechaniczny obrót elementu obracającego nie powoduje obrotu elipsy polaryzacji. Elipsę polaryzacji moŜna
obrócić tylko o kąt charakterystyczny dla elementu obracającego, tzn. kąt β. Jedynym sposobem realizacji
mechanicznego obrotu elipsy polaryzacji jest zastosowanie półfalówki umieszczonej w obrotowej oprawce.
2.3. ZASTOSOWANIA WEKTORA I MACIERZY JONESA
2.3.1. Wyznaczenie wektora Jonesa i intensywności wiązki za obracanym polaryzatorem
liniowym
Wektor Jonesa polaryzacji liniowej wynosi Ei = [Eix, Eiy], macierz Jonesa obracanego idealnego polaryzatora
opisuje wzór (39). Ograniczmy się do przypadku poziomej polaryzacji liniowej wiązki padającej,
Ei = [Eix, 0] = Eix[1,0]. W rozwaŜanym przypadku
Et =
E ix cos 2 θ
E ix sinθ cosθ
.
(61)
Stan wynikowej polaryzacji moŜna zinterpretować wyraŜając go za pomocą wektora Jonesa dla światła
spolaryzowanego eliptycznie, tzn.
 a e iδ x 
(62)
E t =  iδ y 
b e 
gdzie a i b są liczbami rzeczywistymi. Porównując dwa ostatnie wzory mamy
Etx = Eix cos2 θ = a exp(iδx),
(63a)
Ety = Eix cos θ sin θ = b exp(iδy)
(63b)
Dzieląc (63b) przez (63a) otrzymujemy
Ety / Etx = sin(θ) / cos(θ) = (b/a) exp(iδ),
(64)
gdzie δ = δy - δx. Obliczając rzeczywistą i urojoną część wzoru (64) mamy
sin(θ) / cos(θ) = (b/a) cosδ,
0 = (b/a) sinδ
b≠a
(65a)
(65b)
Z wzoru (65b) wynika δ = 00, a więc z (65a)
(b/a) = sin(θ) / cos(θ)
Elipsa polaryzacji, patrz wzór (62), ma postać
x 2 y 2 2xy cos δ
+ 2−
= sin 2 δ
2
a
b
ab
Dla δ = 00 ostatni wzór upraszcza się do
y=
b
sin θ
x=
x
a
cos θ
(66)
(67)
(68)
Wektor Jonesa dany wzorem (61) opisuje liniowo spolaryzowaną wiązkę o azymucie (nachyleniu) płaszczyzny
polaryzacji
m = tg α = tg θ .
(69)
Intensywność wiązki na wyjściu z polaryzatora
∗
∗
I t = E t ⋅ E t = E tx E tx + E ty E ty
∗
[
]
 E ix cos 2θ 
= E ix cos θ , E ix sin θ cos θ 

E ix sin θ cosθ 
∗
2
∗
(70a)
gdzie E† = ( Ex* , Ey* ); macierz wierszowa stanowi zespoloną macierz transponowaną wektora Jonesa (macierzy
kolumnowej E). Transponowanie macierz kolumnowej na macierz wierszową, a następnie uwzględnienie
wartości sprzęŜonej, oznacza się symbolem “†”. Intensywność It wynosi
It = Eixcos2θ · Eix*cos2θ + Eixsinθcosθ ·Eix*sinθcosθ = EixEix*[cos4θ + sin2θcos2θ] = I cos2θ,
(70b)
gdzie I = Eix Eix*. Ostatni wzór nosi nazwę wzoru Malusa.
Rozszerzmy powyŜszy przykład wprowadzając za obrotowy polaryzator, wzór (61), liniowy polaryzator
o pionowej płaszczyźnie przepuszczania. Macierz Jonesa dostawionego polaryzatora opisuje wzór (14). Wektor
Jonesa wiązki za drugim polaryzatorem opisuje iloczyn (34) i (61), tzn.
0 
E tP = E ix cos (θ )sin (θ )  ,
1 
Intensywność wynosi It = Eixsinθcosθ ·Eix*sinθcosθ = Isin2θcos2θ = (I/8)[1 – cos 4θ] = (I/4)[1 – cos22θ] ,
(71)
(72)
gdzie I = Eix Eix*. Przy obrocie drugiego polaryzatora obserwuje się zerowe wartości intensywności dla kąta θ
równego 00, 900, 1800 i 2700.
2.3.2. Zastosowanie liniowego polaryzatora do wyznaczenia ilorazu duŜej i małej osi elipsy
polaryzacji
Jeśli osie elipsy będą pokrywały się z osiami x i y układu współrzędnych, wykorzystując liniowy polaryzator
moŜna wyznaczyć stosunek długości osi elipsy.
Wektor Jonesa takiej elipsy polaryzacji opisuje wzór (δ=π/2, rys. 2)
 cosα   a 
Ei = 
 = ib 
isin
α

  
(73)
Składowe amplitudy opisują wzory
Eix = cos α cos ωt,
Eiy = sin α sin ωt,
eliminując ωt otrzymujemy
(74a)
(74b)
2
2
E iy
E ix
+
= 1,
(75)
a2
b2
gdzie a = cos α i b = sin α. Wielkości a i b stanowią więc połowy długości duŜej i małej osi elipsy polaryzacji
opisanej wzorem (75).
Macierz Jonesa obróconego polaryzatora opisuje wzór (39). Iloczyn (73) i (39) daje wektor Jonesa wiązki za
polaryzatorem
a cos 2 θ + ib cos θ sin θ
Et = 
2 
 a cos θ sin θ + ib sin θ 
(76)
MoŜna wykazać (patrz wzory 70a i 70b), Ŝe intensywność wynosi
It (θ) = a2 cos2 θ + b2 sin2 θ,
(77)
Przyjmując θ = 00 i 900 otrzymuje się, odpowiednio,
It (00) = a2 = cos2 α,
(78a)
It (900) = b2 = sin2 α .
(78b)
Mierząc intensywności w prostopadłych kierunkach moŜna wyznaczyć wartości proporcjonalne do kwadratów
długości osi elipsy. Stosunek połówek długości osi elipsy wyznacza się ze wzoru
a / b = [ It (00) / It (900) ]1/2 .
(79)