Artykuł w formacie PDF

Strona |1
Nauki ścisłe priorytetem społeczeństwa opartego na wiedzy
Artykuły na platformę CMS
Dr Anna Rybak
Instytut Informatyki
Uniwersytet w Białymstoku
Zastosowania funkcji liniowej i kwadratowej
Wprowadzenie
Ucząc się o funkcjach uczniowie często pytają: „Po co się tego uczymy?” W artykule zostaną
zaprezentowane wybrane zastosowania funkcji liniowej i funkcji kwadratowej do rozwiązywania
problemów dotyczących zagadnień bliskich uczniowi, m.in. przychodu, kosztu i zysku, zjawisk
ilustrowanych funkcjami liniowymi w przedziałach (np. ruch prostoliniowego) oraz popytu i podaży.
Zostanie też zaprezentowany sposób wykorzystania programów komputerowych do ilustracji
zagadnień i rozwiązywania problemów.
Przykład 1: Zastosowania funkcji liniowej
Problem:
Polskie Towarzystwo Małych Biznesmenów (TMB) chce zorganizować w jednym
z warszawskich hoteli trzydniową konferencję poświęconą funkcjonowaniu małego biznesu. Każdy
uczestnik zapłaci 1000 zł za uczestnictwo w konferencji. Suma ta pokrywa koszty pokoju, posiłków i
opłatę konferencyjną. Hotel żąda 40000 zł za możliwość korzystania z sali konferencyjnej i urządzeń
rekreacyjnych oraz 600 zł za pobyt każdego uczestnika konferencji (nocleg i wyżywienie). Ilu
Małych Biznesmenów powinno przyjechać na konferencję, aby przyniosła ona zysk?
Badanie zagadnienia:
Utwórzmy dwie funkcje: dochodu D(n) i kosztu K(n), gdzie n oznacza liczbę uczestników konferencji
i jest liczbą naturalną. Łatwo zauważyć, że:
D(n)=1000n,
K(n)=40000+600n.
Możemy utworzyć również funkcję zysku Z(n)=D(n)-K(n).
Zorganizowanie konferencji będzie opłacalne dla TMB, jeśli zysk będzie dodatni, to znaczy dochody
będą większe od kosztów. Wartość argumentu n*, dla której zysk jest zerowy, nazywamy punktem
opłacalności.
W przypadku modeli liniowych przedsięwzięcie będzie opłacalne, jeśli wartość argumentu będzie
większa od n*. Wartość n* można łatwo obliczyć z równania:
1000n = 40000+600n
lub odczytać z odpowiednio przygotowanego wykresu. W celu ilustracji graficznej problemu
skorzystamy z programu Funkcje i wykresy. Jego angielskojęzyczną wersję demonstracyjną możesz
pobrać ze strony www.vusoft2.nl (plik gcengdemo.zip). Możesz też użyć dowolnego programu
rysującego wykresy funkcji w postaci prostej, krzywej lub punktów. Może to być również arkusz
kalkulacyjny lub program Geogebra.
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Strona |2
Nauki ścisłe priorytetem społeczeństwa opartego na wiedzy
Artykuły na platformę CMS
Na jednym układzie współrzędnych sporządzimy wykresy trzech funkcji wyrażających dochód, koszt
i zysk. Ponieważ w takim przypadku opis osi współrzędnych musi być jednakowy dla wszystkich
funkcji, więc nazwijmy oś pionową np. pieniądze, gdyż taka nazwa jest adekwatna do wartości
wszystkich trzech rozważanych funkcji. Po wprowadzeniu funkcji wyrażającej dochód i funkcji
wyrażającej koszt, funkcję zysku możemy utworzyć jako różnicę dwóch poprzednio wprowadzonych
funkcji. W tym celu należy wybrać z menu opcję Wprowadź i podopcję Wykres różnicy funkcji.
Ponieważ argumenty wszystkich funkcji należą do zbioru liczb naturalnych, należy wybrać
punktowy typ wykresu (Widok/Typ wykresu/Wykres punktowy). Zauważ, że w przypadku
szerokiego zakresu osi poziomej wykres ten w zasadzie nie różni się od wykresu w postaci linii
ciągłej. Spróbuj odpowiedzieć na pytanie – dlaczego?
Aby w pełni zilustrować problem i uniknąć niejasności przy identyfikowaniu poszczególnych
wykresów, można dowolne elementy ekranu opisać. Tekst wprowadzamy w okienku, które otwiera
się po kliknięciu prawym przyciskiem myszy. Pole z tekstem można przeciągnąć w dowolne miejsce.
Poniższy obraz ilustruje problem:
Wnioski (hipotezy):
Wnioskujemy, że aby konferencja była opłacalna, musi w niej uczestniczyć więcej niż 100 osób.
Zadania do samodzielnej pracy:
Zadanie 1.
Spróbuj z powyżej omawianego zadania zamkniętego uczynić zadanie otwarte, wymagające
przeprowadzenia symulacji. Możesz tego dokonać przez uzmiennienie którejś wielkości (np. kwoty,
jaką wpłaca uczestnik) i potraktowanie jej jako parametru.
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Strona |3
Nauki ścisłe priorytetem społeczeństwa opartego na wiedzy
Artykuły na platformę CMS
Zadanie 2.
Spółdzielnia lekarska zatrudnia kilka osób do prowadzenia ewidencji pacjentów, za co płaci
1 zł od każdego przyjętego pacjenta. Szef spółdzielni uważa, że należy skomputeryzować te prace
i rozważa dwie opcje:
leasing komputera z oprogramowaniem za 1600 zł rocznie; obsługa administracyjna jednego
pacjenta kosztowałaby wtedy 0,6 zł;
zlecenie obsługi administracyjnej wyspecjalizowanej firmie, która żąda stałej opłaty 300 zł
rocznie oraz 0,8 zł za jednego pacjenta.
Spółdzielnia przyjmuje rocznie około 3000 pacjentów. Co doradziłbyś szefowi spółdzielni?
Przykład 2: Funkcje, których wykresem jest suma odcinków i półprostych
Problem:
Gepard i zebra są w odległości 250 m od siebie i zaczynają biec mniej więcej w tym samym
kierunku. Przebyte przez nich drogi opisują następujące wzory:
Zebra w ciągu t sekund przebiega drogę s = 250 + 19,4t metra.
Gepard biegnie z nierównomierną prędkością:
przez pierwsze 15 sekund w ciągu t sekund przebiega drogę s = 15t metra, przez
następne 15 s biegnie szybciej i w ciągu t sekund przebiega drogę s = 30t-225 metra,
w ciągu następnych 10 s jest zmęczony i w czasie t przebiega drogę s=10t+375 metra.
a) Czy gepard upoluje zebrę?
b) Jaka powinna być początkowa odległość między zwierzętami, aby gepard mógł
upolować zebrę?
Badanie zagadnienia:
Dla zobrazowania drogi, jaką przebywa gepard, został sporządzony wykres funkcji odcinkami
liniowej.
Wykres taki można łatwo sporządzić, korzystając z opcji Sporządzanie wykresu funkcji programu
Funkcje i wykresy: należy wprowadzić wzory i zakresy argumentów wszystkich funkcji
„składowych”. Obrazuje to poniższy ekran:
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Strona |4
Nauki ścisłe priorytetem społeczeństwa opartego na wiedzy
Artykuły na platformę CMS
Każdą część wykresu można opisać i umieścić opis w pobliżu wykresu: wystarczy kliknąć prawym
przyciskiem myszy w dowolnym miejscu płaszczyzny, w otwartym okienku wpisać tekst,
zaakceptować i „przeciągnąć” go przy pomocy myszy w żądane miejsce.
Oto kompletny wykres:
Odpowiedź na pytanie a) jest łatwa: przy tak określonych warunkach ruchu gepard nie upoluje
zebry.
W celu udzielenia odpowiedzi na pytanie b) można zbudować model ruchu zebry w postaci
równania z parametrem m
wyrażającym początkową odległość zwierząt od siebie.
Z warunków zadania wynika, że wartość parametru powinna być większa niż 0 i nie większa niż
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Strona |5
Nauki ścisłe priorytetem społeczeństwa opartego na wiedzy
Artykuły na platformę CMS
250. Symulację rozpoczynamy od wartości parametru m=250 i stopniowo zmniejszamy parametr
(spróbuj odpowiedzieć – dlaczego?). Wróć do programu i wykonaj symulację.
Aby uzyskać możliwość odczytu wartości kilku funkcji jednocześnie dla tego samego argumentu,
wybierz opcję Widok/Ślad i zaznacz Kroki oraz Razem.
Wniosek:
Aby gepard mógł dogonić zebrę, początkowa odległość między zwierzętami nie powinna być
większa niż 92,66 metra. (Zastanów się, czy warto na to pytanie udzielać odpowiedzi z taką
dokładnością; czy jest to naturalne w podanym kontekście.)
Zadanie do samodzielnej pracy:
W pewnym państwie podatnik płaci podatek od dochodu według poniższego schematu:
Dochód
Podatek
do 1000
dukatów
0
powyżej 1000 dukatów do
11000 dukatów
20% od dochodu
pomniejszonego o 1000
dukatów
powyżej 11000 dukatów
2000 dukatów + 30%
nadwyżki powyżej 11000
dukatów
Sporządź wykres funkcji obrazującej powyższą sytuację.
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Strona |6
Nauki ścisłe priorytetem społeczeństwa opartego na wiedzy
Artykuły na platformę CMS
Przykład 3: Zastosowania funkcji kwadratowej
Problem:
Ankieterzy zapytali producentów proszków do prania, ile wynosiłaby ich produkcja, gdyby cena za
standardowe opakowanie (zawierające 600 gram proszku) wynosiła odpowiednio:
a) 2,5 zł, b) 5 zł, c) 10 zł. Wartości deklarowanej miesięcznej podaży (produkcji udostępnionej do
sprzedaży) były odpowiednio równe: a) 112,5 tys. opakowań, b) 1050 tys., c) 4800 tys.
Ankieterzy zapytali też potencjalnych nabywców o to, jakie ceny proszku do prania proponowaliby
i ile proszku kupowaliby po zaproponowanych cenach. Wyniki drugiej ankiety okazały się
zaskakujące. Potencjalni nabywcy zaproponowali trzy ceny za opakowanie: a) 0,5 zł (!), b) 1 zł,
c) 2 zł i zadeklarowali, że miesięczny poziom zakupów (popyt) byłby w zależności od tych cen
następujący: a) 2025 tys. opakowań, b) 1600 tys., c) 900 tys.
Jak widać, oczekiwania producentów i konsumentów są zupełnie odmienne. Ile proszku powinni
więc produkować producenci i po jakiej cenie go sprzedawać?
Badanie zagadnienia:
Powinniśmy zbudować dwie funkcje: funkcję wyrażającą popyt w zależności od ceny
i funkcję wyrażającą podaż w zależności od ceny, a następnie znaleźć punkt równowagi cenowej;
jeśli będziemy rozwiązywać problem metodą graficzną, punktem tym będzie punkt przecięcia
wykresów obu funkcji. Skorzystamy z programu Funkcje i wykresy.
Wyznaczamy funkcję podaży. Ponieważ mamy trzy punkty, należące do wykresu tej funkcji, nie
mamy zaś jej wzoru, wprowadźmy ją przy pomocy tabeli. Posługując się opcją Sporządzanie
wykresu funkcji opiszmy najpierw osie zgodnie z treścią zadania, a następnie wybierzmy przycisk
tabela i wprowadźmy dane, jak na poniższym ekranie:
Jako wykres otrzymaliśmy trzy punkty, które nie są współliniowe:
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Strona |7
Nauki ścisłe priorytetem społeczeństwa opartego na wiedzy
Artykuły na platformę CMS
Właściwym modelem wyrażającym zależność podaży od ceny będzie tutaj model kwadratowy;
możemy wyznaczyć wzór funkcji kwadratowej dysponując trzema punktami
z jej wykresu. Można wyznaczać szukany wzór metodami algebraicznymi, ale może też to zrobić
program. W tym celu z opcji Tabela wybierzmy podopcję Dopasuj i spośród zaproponowanych
przez program funkcji wskażmy funkcję kwadratową:
Otrzymaliśmy wzór funkcji kwadratowej; zapiszmy go jako
podaż = 50c2 – 200,
używając dla uproszczenia symboli c i podaż na oznaczenie, odpowiednio, argumentu
i wartości funkcji:
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Strona |8
Nauki ścisłe priorytetem społeczeństwa opartego na wiedzy
Artykuły na platformę CMS
Po zaakceptowaniu otrzymaliśmy wykres tej funkcji:
W podobny sposób wyznaczmy funkcję popytu:
popyt = 100c2 – 1000c +2500
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Strona |9
Nauki ścisłe priorytetem społeczeństwa opartego na wiedzy
Artykuły na platformę CMS
i jej wykres:
Zauważmy, że obie funkcje powinniśmy rozpatrywać tylko w ich dziedzinach praktycznych; nie
zwracajmy więc uwagi na ujemne wartości funkcji podaży w pewnym przedziale oraz na „dziwne”,
zupełnie niezgodne z doświadczeniami rynku zachowanie się funkcji popytu wraz ze wzrostem ceny
powyżej 5 zł.
Przy pomocy opcji Ślad odczytajmy współrzędne punktu równowagi, uprzednio powiększając
odpowiedni fragment wykresu:
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
S t r o n a | 10
Nauki ścisłe priorytetem społeczeństwa opartego na wiedzy
Artykuły na platformę CMS
Wniosek:
Cena proszku powinna być równa 3,22 zł za opakowanie. Wówczas cała produkcja wielkości około
317,700 tys. opakowań miesięcznie zostałaby sprzedana.
Uruchom program, którego używasz, i wykonaj wyżej opisane czynności, a następnie spróbuj
przeprowadzić symulację opisanej sytuacji rynkowej, zmieniając ceny proszku lub deklarowane
wielkości produkcji/zakupu według Twoich wyobrażeń o realiach rynku. Wyciągnij wnioski.
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego