000530 Granica funkcji w prz.metrycznych
Transkrypt
000530 Granica funkcji w prz.metrycznych
530 Granica funkcji w przestrzeniach metrycznych Definicja Cauchy’ego granicy funkcji Niech ( X , d X ), (Y , d Y ) będą przestrzeniami metrycznymi, Ω ⊂ X i niech f : Ω → Y . Mówimy, Ŝe element b ∈ Y jest granicą funkcji f w punkcie a ∈ Ω d (a więc w punkcie skupienia zbioru Ω ), gdy ∀ ε > 0 ∃δ > 0 ∀ x ∈ Ω \ {a} d X ( x, a ) < δ ⇒ d Y ( f ( x ), b) < ε . Inaczej: x ∈ K X ( a, δ ) ∩ Ω \ {a} ⇒ f ( x ) ∈ K Y (b, ε ) Inaczej: f ( K X (a,δ ) ∩ Ω \ {a}) ⊂ KY (b, ε ) . Piszemy lim f ( x ) = b . x →a X f Y ε δ b a Ω Uwaga Funkcja f nie musi być określona w punkcie a . Definicja Heinego granicy funkcji Niech ( X , d X ), (Y , d Y ) będą przestrzeniami metrycznymi, Ω ⊂ X i niech f : Ω → Y . Mówimy, Ŝe element b ∈ Y jest granicą funkcji f w punkcie a ∈ Ω d (a więc w punkcie skupienia zbioru Ω ), gdy dla dowolnego ciągu ( xn ) elementów zbioru Ω \ {a} x n → a ⇒ f ( xn ) → b . Funkcje ciągłe w przestrzeniach metrycznych 1/4 X f Y •x a ••n Ω b • f (x ) •• n Twierdzenie W przestrzeniach metrycznych definicje Cauchy’ego i Heinego granicy funkcji są równowaŜne. Dowód (C ) ⇒ ( H ) Niech xn ∈ Ω \ {a} i niech xn → a . PokaŜemy, Ŝe f ( xn ) → b . Niech ε > 0 . Na mocy warunku Cauchy’ego istnieje δ > 0 taka, Ŝe f ( K X (a,δ ) ∩ Ω \ {a}) ⊂ KY (b, ε ) . PoniewaŜ xn → a , prawie wszystkie elementy ciągu ( xn ) znajdują się w kuli K X ( a,δ ) . Stąd prawie wszystkie elementy ciągu ( f ( xn )) znajdują się w kuli KY (b, ε ) , a więc f ( xn ) → b . ( H ) ⇒ (C ) NWPR Przypuśćmy, Ŝe ∃ε > 0 ∀ δ > 0 f ( K X ( a,δ ) ∩ Ω \ {a}) ⊂/ KY (b, ε ) Dla δ 1 = 1 istnieje element x1 ∈ K X ( a,1) ∩ Ω \ {a} taki, Ŝe f ( x1 ) ∉ KY (b, ε ) . Dla δ 2 = 12 d X ( x1 , a ) < 12 istnieje element x2 ∈ K X ( a,δ 2 ) ∩ Ω \ {a} (a więc x2 ≠ x1 ) taki, Ŝe f ( x2 ) ∉ KY (b, ε ) . Analogicznie, dla δ n = 12 d X ( xn −1 , a ) < ( 12 ) n −1 istnieje element xn ∈ K X ( a , δ n ) ∩ Ω \ {a} (a więc xn ≠ xn −1 , …, xn ≠ x1 ) taki, Ŝe f ( xn ) ∉ KY (b, ε ) . W ten sposób otrzymujemy ciąg ( xn ) taki, Ŝe x n ∈ Ω \ {a} , d X ( xn , a ) < δ n < ( 12 )n −1 → 0 (tzn. xn → a ), d Y ( f ( xn ), b) ≥ ε (tzn. f ( xn ) → / b ). Sprzeczność. Twierdzenie o jednoznaczności granicy Niech ( X , d X ), (Y , d Y ) będą przestrzeniami metrycznymi, Ω ⊂ X i niech f : Ω → Y . JeŜeli funkcja f ma granicę w punkcie a ∈ Ω d , to jest ona tylko jedna. Funkcje ciągłe w przestrzeniach metrycznych 2/4 Dowód ZałóŜmy, Ŝe b, c ∈ Y są granicami funkcji f w punkcie a ∈ Ω d i niech ( xn ) będzie ciągiem elementów zbioru Ω \ {a} takim, Ŝe xn → a . Na mocy definicji Heinego f ( xn ) → b i f ( xn ) → c . Na mocy twierdzenia o jednoznaczności granicy ciągu b = c . Granice iterowane Niech f : Ω → Y , gdzie Ω ⊂ R 2 i załóŜmy, Ŝe (a, b) ∈ Ω d . Granicami iterowanymi funkcji f w punkcie (a, b) nazywamy liczby lim (lim f ( x, y )) i lim (lim f ( x, y )) . x →a y →b y →b x→a Uwaga Z istnienia granicy w zwykłym sensie (inaczej: podwójnej) nie wynika istnienie granic iterowanych. I na odwrót, z istnienia granic iterowanych nie wynika istnienie granicy podwójnej. Co więcej, granice iterowane nie muszą być sobie równe. Przykład Funkcja f ( x, y ) = xy , ( x, y ) ≠ (0,0) ma obydwie granice iterowane w punkcie x + y2 2 (0,0) równe 0. Natomiast nie ma granicy podwójnej, bo lim n→∞ 1 1 n n 1 n2 + 1 n2 = 1 . 2 Twierdzenie o granicach iterowanych Niech f : Ω → Y , gdzie Ω ⊂ R 2 i załóŜmy, Ŝe (a, b) ∈ Ω d . JeŜeli istnieje granica podwójna funkcji f w punkcie (a, b) i jedna z granic iterowanych, to granica podwójna funkcji jest równa tej granicy iterowanej. Dowód wynika bezpośrednio z definicji Heinego granicy. Uwaga Twierdzenie nie gwarantuje istnienia drugiej granicy iterowanej! Przykład 1 Funkcja f ( x, y ) = x sin , y ≠ 0 ma granicę podwójną w punkcie (0,0) równą 0, bo y 1 0 ≤ lim | xn sin |≤ lim | xn |= 0 dla wszystkich ciągów xn → 0, y n → 0 . yn Funkcje ciągłe w przestrzeniach metrycznych 3/4 1 Granica iterowana lim y →0 (lim x →0 x sin ) = lim y →0 0 = 0 , ale granica iterowana y 1 lim x→0 (lim y →0 x sin ) nie istnieje. y Wniosek Niech f : Ω → Y , gdzie Ω ⊂ R 2 i załóŜmy, Ŝe (a, b) ∈ Ω d . JeŜeli funkcja f posiada w punkcie (a, b) obydwie granice iterowane i są one róŜne, to granica podwójna funkcji w punkcie (a, b) nie istnieje. Przykład x− y , x + y ≠ 0. x+ y x− y x− y Mamy lim x →0 (lim y →0 ) = 1 oraz lim y →0 (lim x →0 ) = −1 . Zatem granica x+ y x+ y x− y nie istnieje. podwójna lim x→0, y →0 x+ y f ( x, y ) = Funkcje ciągłe w przestrzeniach metrycznych 4/4