Wykład 12

Równania Lagrange'a II rodzaju. Przypadki szczególne
Często mamy do czynienia z przypadkami szczególnymi. W tych przypadkach równania Lagrange’a II rodzaju znacznie się
upraszczają. Podamy tu trzy podstawowe przypadki.
1. Zasada Lagrange’a
Dotyczy ona warunków koniecznych i wystarczających równowagi dowolnego układu sił o więzach holonomicznych,
dwustronnych i idealnych. Ze względu na zerowanie się energii kinetycznej E w stanie równowagi, otrzymujemy
Q j = 0 , j = 1,2,....., s
Można stwierdzić, że warunkami równowagi dowolnego układu sił o więzach holonomicznych, dwustronnych
i idealnych jest zerowanie się wszystkich sił uogólnionych.
Prof. Edmund Wittbrodt
2. Warunki równowagi, w przypadku działania na układ tylko sił potencjalnych
Siły uogólnione, w przypadku, gdy na układ działają tylko siły potencjalne, przyjmują postać
Qj =
∂V
=0 ,
∂q j
j = 1,2,....., s
Oznacza to, że w położeniu równowagi dowolnego układu sił potencjalnych o więzach holonomicznych,
dwustronnych i idealnych zachodzi zerowanie się pochodnych energii potencjalnej względem wszystkich
współrzędnych uogólnionych.
Są to warunki konieczne do istnienia ekstremum potencjału V.
Prof. Edmund Wittbrodt
3. Zasada Dirichleta
Zasada ta wynika z równań Q j =
∂V
= 0 ( j = 1, 2,....., s ), a można ją sformułować następująco:
∂q j
Jeżeli układ materialny znajduje się w zachowawczym polu sił, wówczas położenie, w którym energia potencjalna
osiąga minimum, jest położeniem równowagi stałej.
4. Zasada Toricellego
Zasada ta jest szczególnym przypadkiem zasady Dirichleta i można ją sformułować następująco:
Położenie, w którym środek masy nieswobodnego układu materialnego o więzach idealnych znajdującego się w
jednorodnym polu sił ciężkości osiąga minimalne wzniesienie nad obrany poziom, jest położeniem równowagi stałej.
Prof. Edmund Wittbrodt