Wykład 13

Równania Lagrange'a I rodzaju
Równania Lagrange’a I rodzaju dla punktu materialnego mają postać:
∂f
∂x
∂f
m ⋅ &y& = Wy + λ ⋅
∂y
∂f
m ⋅ &z& = Wz + λ ⋅
∂z
m ⋅ &x& = Wx + λ ⋅
gdzie: m
(1)
- masa punktu,
Wx ,Wy ,Wz
- składowe siły głównej działającej na punkt,
f ( x, y , z ) = 0
- równanie więzów holonomicznych, skleronomicznych, idealnych, dwustronnych,
λ
- mnożnik Lagrange’a.
Prof. Edmund Wittbrodt
Mnożnik Lagrange’a może być zdefiniowany, jako współczynnik proporcjonalności wyrażający siłę reakcji więzów
oddziaływujących na punkt, co zapisujemy
R = λ ⋅ grad ( f ) = λ ⋅
gdzie R
∂f
∂f
∂f
i +λ⋅
j+λ⋅ k ,
∂z
∂x
∂y
(2)
- wektor siły reakcji więzów określonych równaniem f ( x, y , z ) = 0 .
Porównując moduły wektorów obu stron równania (2), otrzymujemy
R=λ⋅ (
∂f 2
∂f
∂f
) + ( )2 + ( )2 ,
∂x
∂y
∂z
(3)
skąd
λ=
R
∂f 2
∂f 2
∂f 2 .
( ) +( ) +( )
∂x
∂y
∂z
(4)
Prof. Edmund Wittbrodt
Przykład
Dany
jest
punkt
materialny
o
masie
m,
poruszający
się
po
powierzchni
określonej
równaniem
f ( x, y , z ) = a ⋅ x + b ⋅ y + c ⋅ z + d = 0 , przy czym oś Oz jest skierowana pionowo do góry, zaś a,b,c,d - stałe. Określić
siłę reakcji więzów.
Rozwiązanie:
∂f
∂f
∂f
=b ,
=c .
=a ,
∂y
∂z
∂x
Równania różniczkowe (1) dla rozpatrywanego przykładu mają postać
m ⋅ &x& = λ ⋅ a ,
m ⋅ &y& = λ ⋅ b ,
m ⋅ &z& = −mg + λ ⋅ c .
Ponieważ
d2 f
a2
b2
c2
λa
λb
λc
&
&
&
&
&
&
= a⋅ x +b⋅ y +c⋅ z = a⋅
+b⋅
+ c ⋅ (− g + ) = λ + λ + λ − gc = 0
m
m
m
m
m
m
dt 2
więc
λ=
mgc
= const = λ0 .
a2 + b2 + c2
Prof. Edmund Wittbrodt
Podstawiając otrzymaną wartość λ0 do równań różniczkowych ruchu, otrzymujemy
m ⋅ &x& = λ0 ⋅ a ,
m ⋅ &y& = λ0 ⋅ b ,
m ⋅ &z& = −mg + λ0 ⋅ c .
Całkując te równania dwukrotnie otrzymujemy
x=
λ0 a
t 2 + C1t + C2
2m
λb
y = 0 t 2 + C3t + C4
2m
mg + λ0c 2
t + C5t + C6 .
z=
2m
Stałe całkowania muszą być tak dobrane, aby x,y,z spełniały tożsamościowo równania więzów; wykonując podstawienia i
przyrównując w otrzymanym wyrażeniu do zera współczynniki przy t w pierwszej potędze i wyraz wolny, otrzymujemy
następujące dwie zależności
aC1 + bC3 + cC5 = 0
aC2 + bC4 + cC6 + d = 0
Prof. Edmund Wittbrodt
W końcu wyznaczamy reakcję więzów według wzoru (2), otrzymując
R = λ ⋅ grad ( f ) = λ0 a ⋅ i + λ0b ⋅ j + λ0 c ⋅ k .
Zatem R [ Rx , R y , Rz ] , gdzie: R x = λ0 a , R y = λ0 b , Rz = λ0 c .
Jak widać z wyrażenia na λ , zawsze spełniony jest warunek λ0c > 0 , zatem rzut wektora siły reakcji na oś Oz jest
dodatni: Rz > 0 , co oznacza, że jest on skierowany w stronę przeciwną do kierunku siły ciężkości.
Prof. Edmund Wittbrodt
W przypadku analizy układu p punktów materialnych, na który nałożone są więzy w postaci równań
f j ( x1 , y1 , z1 ,....., x p , y p , z p , t ) = 0
(j=1,2,..,w)
(5)
równania Lagrange’a I rodzaju mają postać
w
mi ⋅ &x&i = Wxi + ∑ λ j ⋅
j =1
w
mi ⋅ &y&i = Wyi + ∑ λ j ⋅
j =1
w
mi ⋅ &z&i = Wzi + ∑ λ j ⋅
j =1
gdzie: m i
∂f j
∂xi
∂f j
∂yi
∂f j
(i=1,2,..,p)
(6)
∂zi
- masa i-tego punktu,
Wxi , Wyi , Wzi
- składowe siły głównej działającej na i-ty punkt,
f j ( x, y , z ) = 0
- równanie j-tych więzów holonomicznych, skleronomicznych, idealnych, dwustronnych,
λj
w
- j-ty mnożnik Lagrange’a,
- liczba nałożonych na układ więzów.
Prof. Edmund Wittbrodt
Sumy występujące po prawej stronie powyższych równań są składowymi sił reakcji więzów zgodnymi z odpowiednimi
osiami x,y,z. Możemy je oznaczyć
w
Rxi = ∑ λ j ⋅
j =1
∂f j
∂xi
w
,
R yi = ∑ λ j ⋅
j =1
∂f j
∂yi
,
w
∂f j
j =1
∂zi
Rzi = ∑ λ j ⋅
.
(7)
Zatem równania Lagrange’a I rodzaju układu punktów materialnych (6) możemy zapisać w postaci
mi ⋅ &x&i = Wxi + Rxi ,
mi ⋅ &y&i = Wyi + Ryi ,
(8)
mi ⋅ &z&i = Wzi + Rzi
Możemy je też zapisać w (znanej) postaci wektorowej
mi ai = Wi + Ri ,
gdzie:
(i=1,2,…,p)
ai [a xi , a yi , a zi ] - wektor przyspieszenia punktu,
(9)
Wi [Wxi , W yi , Wzi ]
- wektor wymuszeń działających na punkt,
Ri [ Rxi , R yi , Rzi ] - wektor sił reakcji więzów działających na punkt.
Prof. Edmund Wittbrodt