plik PDF

26
NAUCZANIE MATEMATYKI
Dominika Szpic-Siwińska
STRACH PRZED
DOWODAMI
Przyjrzyjmy się dwóm zadaniom:
1. Liczby x − 2, 3, x + 6 są w podanej kolejności pierwszym,
drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Oblicz x.
2. Udowodnij, że jeśli liczby x − 2, 3, x + 6 są w podanej kolejności pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego, to x = 1.
Pierwsze zadanie pochodzi z informatora maturalnego na rok
2010 i należy raczej do zadań łatwych. Drugie jest na dobrą
sprawę jeszcze łatwiejsze – do zrobienia jest to samo, tylko została podana odpowiedź, więc na koniec łatwo można
sprawdzić wynik.
Niestety, są uczniowie, którzy bez większych problemów rozwiążą zadanie 1., a zadania 2. nawet nie zaczną. Dlaczego? Bo
zaczyna się od groźnego słowa „udowodnij”. A to słowo wiąże
się w głowie ucznia z trudnościami nie do przezwyciężenia.
Warto byłoby więc zachęcić wszystkich uczniów do rozwiązywania prostych zadań na dowodzenie, np. zwracając uwagę,
że podobne zadania mogą się pojawić na maturze.
Straszenie w informatorze
Niestety, w informatorze na rok 2010 praktycznie wszystkie
zadania z poleceniem „udowodnij” są trudne. Jaki wniosek
wyciągnie z tego faktu przeciętny uczeń? Taki, jak dotychczas
– dowodów i tak nie zrobię, lepiej więc się zająć pozostałymi
zadaniami. Jakby na potwierdzenie większość zadań z dowodami znajduje się na samym końcu informatora: „Jeśli wszystko inne już umiesz, możesz się zająć dowodzeniem”.
Nie kwestionuję faktu, że matura powinna obejmować także
zadania trudne. Inaczej nie będzie różnicować uczniów. Nie
powinno być jednak tak, że zbiory „zadania trudne” i „zadania
na dowodzenie” się pokrywają.
MAGENTA BLACK
(ml39) str. 26
NAUCZANIE MATEMATYKI
Łatwy dowód algebraiczny
W informatorze znajduje się też przykład
łatwego dowodu algebraicznego (zadanie
106 a, s. 92):
Udowodnij, że jeśli x, y są liczbami rzeczywistymi, to x2 + y 2 ≥ 2xy.
Uczeń powinien przenieść wszystko na jedną stronę nierówności, skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia i wreszcie zauważyć, że kwadrat dowolnej liczby jest nieujemny. Ale musi zrobić coś jeszcze: albo pomiędzy dotychczasowe przekształcenia wpisać znaki równoważności, albo przepisać je z brudnopisu w odwrotnej kolejności. W przeciwnym wypadku jego rozumowanie będzie przejściem od tezy do założenia, a to nie jest jeszcze dowód. Jednym słowem – mało rachunków, trochę logicznego
rozumowania.
Szkoda tylko, że to zadanie jest tylko rozgrzewką do podpunktu b), znacznie trudniejszego, dla przeciętnego ucznia zupełnie
poza zasięgiem.
temat (choć i tu przydałyby się przykłady
prostsze niż w informatorze).
Tego typu proste dowody warto wykorzystywać na lekcjach, aby ośmielić uczniów do
dowodzenia. Być może na maturze trafią na
prosty przykład podobny do zadania 106 a).
Byłoby szkoda, gdyby z obawy przed dowodzeniem nawet nie zaczęli go rozwiązywać.
Polecenie do wszystkich przykładów brzmi,
oczywiście, „udowodnij, że”.
1. Jeśli
ab
1
= , to |a| = |b|.
a2 + b2
2
2. Dla dowolnych dodatnich liczb a i b liczba
a3 + b3 jest podzielna przez liczbę a + b.
3. Liczba 1111111112 − 1 jest podzielna
przez 111111112.
4. Liczba 1111111112 − 1 jest podzielna
przez 5.
5. Jeśli 2x − y = 0, to liczby x + y, 2x, x tworzą w podanej kolejności ciąg arytmetyczny.
6. Jeśli liczby a, b, c są kolejnymi wyrazami
ciągu arytmetycznego i w tej samej kolejności są wyrazami pewnego ciągu geometrycznego, to a = b = c.
7. Jeśli liczby a, b, c są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, a liczby a2 , b2 , c 2
także są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, to a = b = c.
8. Jeśli liczby a, b, c są kolejnymi wyrazami
ciągu geometrycznego, to log a, log b, log c
tworzą w tej samej kolejności ciąg arytmetyczny.
Kilka przykładów
Oto kilka przykładów prostych zadań na dowodzenie. Celowo ograniczyłam się tutaj do
algebry – dowody geometryczne to osobny
MAGENTA BLACK
A na koniec coś ciekawszego dla Państwa.
Czy gdybyśmy w zadaniu 7. dopuszczali
możliwość, że liczby a2 , b2 , c 2 są kolejnymi
wyrazami ciągu arytmetycznego, ale niekoniecznie w podanej kolejności, to teza nadal
byłaby prawdziwa?
(ml39) str. 27
27