02DRAP - Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa, zasada w-w

02DRAP - Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa, zasada w-w
Definicja. 1. F jest σ-ciałem podzbiorów zbioru Ω, gdy spełnia następujące warunki:
C1. Ω ∈ F.
C2. Jeżeli A ∈ F, to A0 = Ω \ A ∈ F.
∞
S
C3. Jeżeli Ai ∈ F, i = 1, 2, ..., to
Ai ∈ F.
i=1
Podzbiór A zbioru Ω nazywamy zdarzeniem, gdy A ∈ F. Zbiór pusty nazywamy zdarzeniem niemożliwym, zbiór Ω
zdarzeniem pewnym, natomiast zbiór A0 zdarzeniem przeciwnym do zdarzenia A.
Definicja. 2. Prawdopodobieństwem (funkcją prawdopodobieństwa/miarą probabilistyczną) nazywamy funkcję P : F → R
spełniającą następujące aksjomaty:
A1. P(A) ­ 0, dla każdego A ∈ F;
A2. P (Ω) = 1;
A3. Jeżeli A1 , A2 , A3 , . . . ∈ F, są parami rozłączne, to P(
∞
S
Ai ) =
i=1
∞
P
P (Ai ) .
i=1
Twierdzenie. 1. Niech A, B ∈ F. Prawdopodobieństwo P ma następujące własności:
W1. P(∅) = 0
W2. Jeżeli Ai ∈ F, i ∈ {1, . . . , n}, są parami rozłączne, to P(
n
S
Ai ) =
i=1
n
P
P (Ai ) .
i=1
W3. P(A0 ) = 1 − P(A)
W4. P(A \ B) = P(A) − P(A ∩ B)
W5. Jeśli A ⊆ B, to P(A) ¬ P(B)
W6. P(A) ¬ 1
W7. P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Zasada włączania i wyłączania:
P
n
[
i=1
!
Ai
=
n
X

(−1)k−1 Sk ,
gdzie Sk =
k=1
X
J⊆[n],|J|=k
P

\
Aj  , dla k = 1, . . . , n.
j∈J
W szczególności, jeśli P (A1 ) = . . . = P (An ), P (A1 ∩ A2 ) = P (A1 ∩ A3 ) = . . . = P (An−1 ∩ An ) itd., dla wszystkich
przekrojów, to
!
n
n [
X
n
P
Ai =
(−1)k−1 P (A1 ∩ . . . ∩ Ak )
k
i=1
k=1
S
P
Nierówność Boole’a: P ( i Ai ) ¬ i P (Ai )
S
Twierdzenia o ciągłości:
Jeśli A1 ⊆ A2 ⊆ . . . (ciąg wstępujący), to P ( An ) = limn→∞ P (An ). Jeśli A1 ⊇ A2 ⊇ . . . (ciąg
T
zstępujący), to P ( An ) = limn→∞ P (An ).
Warto pamiętać: P (
T
i
Ai ) = 1 − P (
S
i
Aci )
1
A
Zadania na ćwiczenia
Zadanie A.1. Niech Ω = R oraz F będzie σ-ciałem generowanym przez rodzinę wszystkich przedziałów otwartych typu
(−∞, x), x ∈ R (tzn. najmniejszym σ-ciałem zawierającym tę rodzinę zbiorów). Pokazać, że wszystkie przedziały otwarte
(a, b), a, b ∈ R, należą do F. Czy F ma jakiś związek z rodziną zbiorów borelowskich?
Zadanie A.2. Losujemy 100 razy ze zwracaniem po jednej kuli z urny, w której są 3 ponumerowane różnymi liczbami
{1, 2, 3} kule. Niech Ai będzie zdarzeniem: za i–tym razem wylosowaliśmy kulę z numerem 1. Korzystając ze zdarzeń Ai
oraz operacji ∪, ∩ i dopełnienia, zapisz następujące zdarzenia:
a. kula z numerem 1 została wylosowana co najmniej raz;
b. kula z numerem 1 nie została wylosowana ani razu;
c. kula z numerem 1 została wylosowana dokładnie raz.
d. w pierwszych trzech losowaniach wylosowaliśmy numer 1 co najmniej raz;
e. w pierwszych trzech losowaniach numer 1 został wylosowany co najwyżej dwa razy.
Zadanie A.3. Adam, Bolek i Czesiek zagrali w kasynie w karty. W tej grze karcianej w rozdaniu każdy gracz dostaje
po 4 karty z tej samej talii 52 kart. Gracz wygrywa, jeśli otrzyma 4 karty o tej samej wartości (możliwe jest, że gracze
wygrywają jednocześnie). Oznaczmy zdarzenia:
A–Adam wygrał
B–Bolek wygrał
C–Czesio wygrał
Wiemy, że
P (A) = P (B) = P (C) = (13 · 4!)/(52)4
P (A ∩ B) = P (B ∩ C) = P (A ∩ C) = ((13)2 · (4!)2 )/(52)8
P (A ∩ B ∩ C) = ((13)3 · (4!)3 )/(52)12
Korzystając ze zdarzeń A, B i C oraz operacji ∪, ∩ i dopełnienia, zapisz poniższe zdarzenia. W miarę potrzeby korzystając
z własności prawdopodobieństwa, oblicz prawdopodobieństwa tych zdarzeń.
a. wygrał co najmniej jeden;
b. wygrał tylko Adam;
c. wygrało dokładnie dwóch spośród Adama, Bolka i Czesia.
Zadanie A.4. Ustawiamy w rzędzie litery ze słowa TAMTAM, korzystając z zasady włączania i wyłączanie wyznacz
prawdopodobieństwo zdarzenia, że
a) pewne dwie takie same litery stoją obok siebie;
b) żadna z liter nie stoi obok takiej samej jak ona litery.
Zadanie A.5. Do pociągu złożonego z 8 wagonów wsiada losowo k pasażerów (k ­ 8). Oblicz prawdopodobieństwo, że do
każdego wagonu wsiądzie przynajmniej jeden pasażer.
i
1
Zadanie A.6. Niech Ω = (0, 3] i P((a, b]) = c(b − a), 0 < a < b ¬ 3. Znajdź c. Niech Cn = 1 − n1 , 2 + n+1
, n = 1, 2, . . . .
S∞
T∞
Oblicz P ( n=1 Cn ) oraz P ( n=1 Cn ).
Zadanie A.7. Niech P(A) = 3/4 i P(B) = 1/3. Uzasadnij, że 1/12 ¬ P(A ∩ B) ¬ 1/3 i podaj przykłady świadczące o
tym, że te oszacowania są optymalne.
B
Zadania domowe
Zadanie B.1. Udowodnij, że warunek C1 w Definicji 1 można zastąpić warunkiem:
a) C1’. F jest niepusta.
b) C1”. ∅ ∈ F.
Zadanie B.2. Do n różnych urn wrzucamy losowo k różnych kulek. Możemy zdefiniować przestrzeń zdarzeń elementarnych
Ω dla tego eksperymentu następująco:
Ω = {(x1 , x2 , . . . , xk ) : xi ∈ {1, 2, . . . , n} dla i = 1, . . . , k}.
(gdzie xi to jest numer urny, do której wpadła i-ta kula).
Zdarzenie A polegające na tym, że wszystkie kulki wpadły do tej samej urny możemy zapisać tak:
A = {(x1 , x2 , . . . , xk ) ∈ Ω : x1 = x2 = . . . = xk = j dla pewnego j ∈ {1, 2, . . . , n}}.
2
Proszę zapisać podobnie poniższe zdarzenia.
(a) Pierwsza urna jest pusta.
(b) W każdej urnie jest nie więcej niż jedna kulka.
Zadanie B.3. Niech Ω = R oraz F będzie σ-ciałem generowanym przez rodzinę wszystkich przedziałów [x, ∞), x ∈ R
(tzn. najmniejszym co do zawierania σ-ciałem zawierającym tą rodzinę zbiorów). Pokazać, że następujące zbiory należą do
F: (a){0}, (b)(e, π], (c)(1, 2] ∪ [3, 4).
Opisz związek tej rodziny z rodziną zbiorów borelowskich B(R).
Zadanie B.4. Niech Ω będzie przestrzenią zdarzeń elementarnych, Ω = {ω1 , ω2 , ω3 , ω4 , ω5 }, P({ω1 }) = P({ω2 }) =
P({ω3 }) = 1/8, P({ω4 }) = 1/4.
(a) Ile wynosi P({ω5 }) ?
(b) Oblicz prawdopodobieństwo zdarzeń A ∪ B, A ∩ B i A \ B dla A = {ω1 , ω3 , ω4 , ω5 } i B = {ω2 , ω3 , ω4 }.
Zadanie B.5. Dane są liczby a, b, c, p, q. Wiadomo, że:
P(A) = a, P(B) = b, P(C) = c, P(A ∪ B) = P(B ∪ C) = P(C ∪ A) = p oraz P(A ∩ B ∩ C) = r.
Oblicz
(a) prawdopodobieństwo zdarzenia D – „zaszło przynajmniej jedno ze zdarzeń A, B, C”,
(b) prawdopodobieństwo zdarzenia E – „zaszło dokładnie jedno ze zdarzeń A, B, C”,
(c) prawdopodobieństwo zdarzenia F – „zaszły dokładnie dwa ze zdarzeń A, B, C”.
Zadanie B.6. Niech A, B, C będą pewnymi zdarzeniami w przestrzeni Ω. Wyraź następujące zdarzenie za pomocą zdarzeń
A, B, C :
a. zaszły wszystkie trzy zdarzenia,
b. zaszły dokładnie dwa zdarzenia,
c. zaszło dokładnie jedno ze zdarzeń,
d. zaszły dokładnie trzy zdarzenia,
e. zaszły co najmniej dwa zdarzenia,
f. zaszło tylko zdarzenie A,
g. zaszło nie więcej niż jedno zdarzenie,
h. przeciwne do „nie zaszło ani A ani B”,
i. przeciwne do „zaszło C i nie zaszło A”,
j. przeciwne do „zaszło co najmniej jedno ze zdarzeń”.
Zadanie B.7. Rzucamy 7 razy kostką. Niech Ai (1 ¬ i ¬ 7) oznacza zdarzenie: za i–tym razem wypadła szóstka.
Korzystając ze zdarzeń Ai (1 ¬ i ¬ 7) oraz operacji ∪, ∩ i dopełnienia, zapisz poniższe zdarzenia:
a. szóstka wypadła co najmniej raz;
b. w pierwszych trzech rzutach szóstka wypadła dokładnie raz;
c. w pierwszym rzucie nie wypadła szóstka i szóstka wypadła co najmniej raz;
d. szóstka wypadła co najwyżej 6 razy.
Zadanie B.8. Niech P(A ∩ B 0 ) =
7
20 ,
P(B \ A) =
5
20 ,
oraz niech P(A ∪ B) = 7 · P(A ∩ B). Oblicz P(A) i P(B).
Zadanie B.9. Wiedząc, że P(A) = p, P(B) = q, P(A ∪ B) = r, oblicz:
a) P((A ∩ B)0 ), b) P(A0 ∩ B 0 ), c) P((A ∪ B) \ (A ∩ B)).
Zadanie B.10. Asia, Basia i Czesia wybrały się na narty. Oznaczmy zdarzenia:
A – Asia złamała nogę w trakcie wyjazdu;
B – Basia złamała nogę w trakcie wyjazdu;
C – Czesia złamała nogę w trakcie wyjazdu.
P (A) = P (B) = P (C) = 31 , P (A ∩ B) = P (A ∩ C) = P (B ∩ C) =
1
12
oraz P (A ∩ B ∩ C) =
1
24 .
Korzystając ze zdarzeń A, B i C oraz operacji ∪, ∩ i dopełnienia, zapisz poniższe zdarzenie. Następnie oblicz jego
prawdopodobieństwo:
D – żadna z dziewcząt nie złamała nogi w trakcie wyjazdu.
E – dokładnie dwie z dziewcząt złamały nogę.
3
Zadanie B.11. Dane są zdarzenia E i F w tej samej przestrzeni probabilistycznej. Korzystając z aksjomatów i faktów
podanych na wykładzie udowodnij, że jeśli E ⊆ F , to P(F 0 ) ¬ P(E 0 ).
Zadanie B.12. Niech P(A) = 1/3 i P(B) = 1/2. Uzasadnij, że 1/2 ¬ P(A ∪ B) ¬ 5/6 i podaj przykłady świadczące o
tym, że te oszacowania są optymalne.
Zadanie B.13. Uzasadnij, że dla dowolnych zdarzeń A, B, C w przestrzeni Ω
a. P(A) + P(B) + P(C) − (P(A ∩ B) + P(A ∩ C) + P(B ∩ C)) ­ 0.
b. P(A) ­ P(A ∩ C) + P(A ∩ B) − P(A ∩ B ∩ C).
Zadanie B.14. Z talii 52 kart losujemy cztery karty (kolejność nieistotna). Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród nich
będzie as, kier i blotka (2-9) ?
Zadanie B.15. Losujemy 13 kart z talii 52 kart. Oblicz prawdopodobieństwo, że wśród wylosowanych kart nie wystąpi
przynajmniej jeden kolor.
Zadanie B.16. Rzucamy n razy kostką do gry. Jakie jest prawdopodobieństwo, że każdy z możliwych wyników (1, 2, . . . , 6
oczek) pojawi się przynajmniej raz?
Zadanie B.17. (1.8.2) Rzucamy n razy dwiema kostkami do gry. Oblicz prawdopodobieństwo, że wyrzucimy wszystkie
pary (i, i), i = 1, 2, ..., 6.
Zadanie B.18. Cztery pary małżeńskie usiadły losowo w rzędzie w urzędzie. Jakie jest prawdopodobieństwo, że żaden
mąż nie siedzi obok swojej żony?
Zadanie B.19. Zadanie 4. §1.8
Zadanie B.20. Zadanie 7. §1.8
Zadanie B.21. Zadanie 9. §1.8
Tn
Pn
Zadanie B.22. Udowodnić nierówność P( i=1 Ai ) ­ i=1 P(Ai ) − (n − 1).
Zadanie B.23. Niech Ω = (−2, 2] i P((a, b]) = c(b − a), −2 < a < b ¬ 2. Znajdź c. Niech Cn = −1 − n1 , 1 +
S∞
T∞
n = 1, 2, . . . . Oblicz P ( n=1 Cn ) i P ( n=1 Cn ).
C
1
n+1
i
,
Zadania dla chętnych
Zadanie C.1. Niech A1 , A2 , . . . będzie nieskończonym ciągiem zdarzeń o prawdopodobieństwach P(An ) ¬ 3−n dla
każdego n ­ 1. Wykaż, że
∞
\
1
A0n ­ .
P
2
n=1
Zadanie C.2. Niech A, B, C będą zdarzeniami w przestrzeni Ω.
a. Uzasadnij, że P(A) + P(B) + P(C) − 2(P(A ∩ B) + P(A ∩ C) + P(B ∩ C)) + 3P(A ∩ B ∩ C) ­ 0.
b. Niech P(A ∩ B) = P(B ∩ C) = P(C ∩ A) = 1/3. Uzasadnij, że P(A0 ∩ B 0 ∩ C 0 ) ¬ 2P(A ∩ B ∩ C).
Zadanie C.3. Niech A ∪ B ∪ C = Ω, P(B) = 2P(A) , P(C) = 3P(A), P(A ∩ B) = P(A ∩ C) = P(B ∩ C). Udowodnij, że
1/6 ¬ P (A) ¬ 1/4 i że oba ograniczenia są optymalne.
Zadanie C.4. Niech F będzie σ-ciałem podzbiorów zbioru Ω oraz przypuśćmy, że B ∈ F. Udowodnij, że G = {A ∩ B :
A ∈ F} jest σ–ciałem podzbiorów zbioru B.
Zadanie C.5. Niech F i G będą σ–ciałami. Udowodnij, że
• F ∩ G = {H : H ∈ F i H ∈ G} jest σ–ciałem
• F ∪ G = {H : H ∈ F lub H ∈ G} nie koniecznie jest σ–ciałem.
Zadanie C.6 (Czy istnieje podzbiór Ω dla którego nie można określić prawdopodobieństwa?). Przypuśćmy, że miara µ
(spełnia warunki 1 i 3 def.2.1.) określona na pewnym σ–ciele podzbiorów R ma dwie naturalne własności: jest przesuwalna,
czyli ∀A⊆R,x∈R µ(A) = µ(A + x), a ponadto miara przedziału jest równa jego długości. P = µ|[0;1] jest oczywiście dobrze
określonym prawdopodobieństwem. Okazuje się, że istnieje wtedy podzbiór, któremu nie da się sensownie przypisać miary –
zbiór niemierzalny. Dowód zawiera się w poniższych zadaniach:
4
a. Udowodnij, że relacja x ∼ y wtw x − y ∈ Q jest relacją równoważności.
b. Niech U będzie podzbiorem odcinka [0; 1] zawierający dokładnie jeden element z każdej klasy abstrakcji powyższej
relacji (Istnienie U wynika z aksjomatu wyboru). Udowodnij, że
u, w ∈ Q i u 6= w ⇒ (U + u) ∩ (U + w) = ∅.
c. Niech ciąg (wi )∞
i=1 zawiera wszystkie liczby wymierne z odcinka [−1; 1]. Udowodnić, że
∞
[
(U + wi ) ⊇ [0; 1].
i=1
d. Udowodnić, że zbiór U jest niemierzalny (tzn. nie da się jego miary określić za pomocą µ.)
Zadanie C.7. Zadanie 3. §1.8
Zadanie C.8. (Problem Lucasa) n heteroseksualnych par małżeńskich siada przy okragłym stole, w ten sposób, że
najpierw mężczyźni zajmują co drugie miejsce, a następnie kobiety siadają losowo na pozostałych miejscach. Obliczyć
prawdopodobieństwo, że żadna kobieta nie usiądzie obok swojego męża.
5
Odpowiedzi do niektórych zadań
B.2 (a){(x1 , x2 , . . . , xk ) ∈ Ω : xi 6= 1 dla każdego i ∈ {1, 2, . . . , k}}
(b) {(x1 , x2 , . . . , xk ) ∈ Ω : xi 6= xj dla każdego i, j ∈ {1, 2, . . . , k}}
B.4 (a) 3/8 (b) 1, 3/8, 1/2
B.5 (a) 3p + r − a − b − c (b) 3(2p + r − a − b − c) (c) 2(a + b + c) − 3p − 3r
B.6 (w tym zadaniu niektóre punkty mogą mieć kilka poprawnych odpowiedzi)
a) A ∩ B ∩ C
b) (A0 ∩ B ∩ C) ∪ (A ∩ B 0 ∩ C) ∪ (A ∩ B ∩ C 0 )
c) (A0 ∩ B 0 ∩ C) ∪ (A0 ∩ B ∩ C 0 ) ∪ (A ∩ B 0 ∩ C 0 )
d) A ∩ B ∩ C
e) (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) ∪ (B ∩ C) = (A0 ∩ B ∩ C) ∪ (A ∩ B 0 ∩ C) ∪ (A ∩ B ∩ C 0 ) ∪ (A ∩ B ∩ C)
f) A ∩ B 0 ∩ C 0 = A \ (B ∪ C)
g) (A0 ∩ B 0 ∩ C) ∪ (A0 ∩ B ∩ C 0 ) ∪ (A ∩ B 0 ∩ C 0 ) ∪ (A0 ∩ B 0 ∩ C 0 ) = ((A ∩ B) ∪ (A ∩ C) ∪ (B ∩ C))0
h) (A0 ∩ B 0 )0 = A ∪ B
i) (C \ A)0 = (C ∩ A0 )0 = C 0 ∪ A
j) (A ∪ B ∪ C)0 = A0 ∩ B 0 ∩ C 0
B.7 a) A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ A4 ∪ A5 ∪ A6 ∪ A7
b) (A1 ∩ A02 ∩ A03 ) ∪ (A01 ∩ A2 ∩ A03 ) ∪ (A01 ∩ A02 ∩ A3 )
c) A01 ∩ (A2 ∪ A3 ∪ A4 ∪ A5 ∪ A6 ∪ A7 )
d) (A1 ∩ A2 ∩ . . . ∩ A7 )0 = A01 ∪ A02 ∪ . . . ∪ A07
B.8 P (A) = 9/20, P (B) = 7/20
B.9 a) 1 − p − q + r
b) 1 − r
c) 2r − p − q
B.10 P (D) = 5/24, P (E) = 1/8.
B.12 wsk. A1, W5 i W7
B.13 wsk. (a) A1 i W4 (b) (A1, W4, W5) lub (W5 i W7)
−1 52
48
39
20
36
16
15
12
B.14 1 −
+
+
−
−
−
+
4
4
4
4
4
4
4
4
−1 52
39
26
B.15
4·
−6·
+4
13
13
13
6 X
6
(6 − k)n
B.16 1 −
(−1)k−1
6n
k
k=1
6 X
6
(36 − k)n
B.17 1 −
(−1)k−1
k
36n
k=1
B.18
12
35
(36)13 39!
(36)26 26!
B.18 (b) 1 − 4
+6
=1−4
52!
52!
36
13
52
13
36
13
52
13
+6
23
13
39
13
B.22 wsk.: skorzystać z indukcji matematycznej
B.23 c =
S∞
T∞
7
1
1
, P( n=1 Cn ) = , P( n=1 Cn ) =
4
8
2
6
36
13
52
13
=1−4
36
10
52
26
+6