Klasy I (i równorzędne)

II etap
Klasy I
Klasy II
1. Andrzej
napisał
na
tablicy
1*2*3*4*5*6*7*8*9=21 przy czym
w miejsce gwiazdek wstawił + lub -.
Tomek
zamienił
pewne
znaki
na przeciwne i otrzymał w wyniku
liczbę 20. czy na pewno żaden się
nie pomylił?
1. Niech max{a; b} oznacza największą
z liczb a i b . Sporządź wykres funkcji:
2. Porównaj bez użycia kalkulatora:
15 − 14
7− 6.
3. Znajdź wszystkie funkcje spełniające
równanie funkcyjne f:R→R
2f(x)+f(1-x)=x .
4. Udowodnij, że jeżeli
a
b
c
+
+
= 1,
b+c a+c a+b
a2
b2
c2
to
+
+
= 0.
b+c a+c a+b
5. Wykresy funkcji
y =−x +2 i
⎧⎪ 1
⎫⎪
y = max ⎨ ; x ⎬ .
⎪⎩ x
⎪⎭
2. Wykaż, że jeżeli
x + y + z = 0;
3
to x + y 3 + z 3 = 3 xyz .
3. Basen opróżnia się przez otwór w dnie
w ciągu 4 godzin. Jeden z dwóch
kranów napełnia basen w ciągu 1
godziny, a drugi w ciągu dwóch
godzin. Otwierany obydwa krany
i otwór w dnie. Oblicz w jakim czasie
napełni się basen.
4. Podaj
przykład
wielomianu
o
współczynnikach
całkowitych,
którego pierwiastkiem jest liczba
10 − 6 .
y = x +2
wycinają z kwadratu ABCD figurę F.
Oblicz jej pole jeżeli wiadomo, że A=(3; 3)
B=(3; -3) C=(-3; -3) D=(-3; 3).
5. Udowodnij tożsamość:
sin 2 x cos 2 x
1−
−
= sin x ⋅ cos x
1 + ctgx 1 + tgx
Klasy III
1. Wiadomo, że liczba
35!= 10333147966386144929 x66651
337523200000000
Znajdź x.
x2
. Oblicz sumę:
1+ x2
2. Niech f ( x) =
⎛1⎞
⎛1⎞
f ⎜ ⎟ + f ⎜ ⎟ +K+
⎝1⎠
⎝2⎠
⎛ 2⎞
+K+ f ⎜ ⎟ +K+
⎝ 10 ⎠
⎛1⎞
f⎜ ⎟+
⎝ 10 ⎠
⎛ 10 ⎞
f⎜ ⎟+
⎝1⎠
⎛2⎞
⎛2⎞
f⎜ ⎟+ f⎜ ⎟+
⎝1⎠
⎝2⎠
.
⎛ 10 ⎞
⎛ 10 ⎞
f ⎜ ⎟ +K f ⎜ ⎟
2
⎝ ⎠
⎝ 10 ⎠
⎛ π⎞
3. Wykaż, że dla każdego α ∈ ⎜ 0; ⎟
⎝ 2⎠
ciąg o wyrazie ogólnym
1
an =
(sin α + cos α )n
jest ciągiem geometrycznym zbieżnym.
Oblicz
lim(a1 + a 2 + K + a n ) .
n→∞
4. Napisz równania wspólnych stycznych
do okręgów:
2
x 2 + y 2 = 1 i (x − 4) + y 2 = 1 .
5. Rozwiąż nierówność:
− x 2 + 5x − 7
< 0.
log x 2 − 8
(
II Powiatowa Olimpiada Matematyczna
Zespół Szkół Ponadgimnazjalnych nr 1, 84-200 Wejherowo, ul. Bukowa 1
)