Procesy stochastyczne — lista 11 20 kwietnia 2015

Procesy stochastyczne — lista 11
20 kwietnia 2015
1. Rozważ półgrupę (Poissona) daną przez prawdopodobieństwo przejścia Pt (i, {i + j}) =
na {0, 1, 2 . . .}. Znajdź generator dla funkcji ograniczonych, z normą supremum.
(λt)j −λt
e
j!
2. Korzystając z transformacji Fouriera wyznacz generator półgrupy procesu Wienera na L2 (Rd ).
t
λ
t−1 −λy
3. Prawdopodobieństwo przejścia gamma z parametrem λ > 0 to qt (x, A) = Γ(t)
e dy.
A−x 1(0,∞) (y) y
1
0
1
Mowimy, że f ∈ C0 gdy f i f są ciągłe, i dążą do zera w nieskończoności. Dla f ∈ C0 (R) oblicz
limt→0 1t (qt (x, f ) − f (x)).
R
4. Która topologia dla operatorów jest mocniejsza (tj. większa): mocna czy operatorowa?
5. Dla λ, µ > 0 rozważ funkcje rzeczywiste (zmiennej x ¬ 0): rλ = 1/(λ − x),R gλ = λ(λrλ − 1), oraz
pt,λ = exp(tgλ ). Oblicz granice gdy λ → ∞. Oblicz rλ − rµ + (λ − µ)rλ rµ , 0∞ pt,λ dt, ∂pt,λ /∂t .
6. Sprawdź,
że mocno ciagła półgrupa kontrakcji {Pt }t­0 na przestrzeni Banacha B definiuje wzorem
R
Rλ x = 0∞ e−λt Pt x dt (λ > 0, x ∈ B) mocno ciągłą rezolwentę na B.
7. Udowodnij (notacja z wykładu), że λ − G : D → B jest (obustronnie) odwrotny do Rλ .
8. Udowodnij, że f ∈ D wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje limλ→∞ Gλ f =: g, i wtedy Gf = g.
9. Udowodnij, że (λ − Gµ )−1 = (λ + µ)−2 µ2 Rγ + (λ + µ)−1 , gdzie γ = λµ(λ + µ)−1 .
10. Udowodnij, że generator G mocno ciagłej rezolwenty (Rλ )λ>0 na przestrzeni Banacha B jest
domknięty, tj. jeżeli fn ∈ D (dziedzina dla G) oraz fn → f i Gfn → g w B, to f ∈ D oraz
Gf = g. Czy potrafisz podać inne operatory domknięte?
11. Niech (Xt )t­0 będzie procesem Wienera na półprostej z barierą odbijającą w zerze (innymi słowy
Xt = |X0 + Wt |). Prawdopodobieństwa przejścia tego procesu dane są wzorem
Pt (x, E) =
Z
E−x
√
Z
1 −y2 /2t
1 −y2 /2t
√
e
dy +
e
dy.
E+x
2πt
2πt
Wykaż, że funkcje f ∈ C02 ([0, ∞]) spełniające warunek f 0 (0+) = 0 należą do dziedziny generatora
A tej półgrupy, i że na takich funkcjach Af = 21 f 00 .
12. Dla funkcji f ∈ C02 (R) definiujemy Af (x) = 12 f 00 (x) + f 0 (x). Sprawdź, że jest to generator dla
(półgrupy) procesu Wt + t. Jakiemu procesowi odpowiadają operatory: Af (x) = 2f 0 (x), Af (x) =
1 00
f (x) + 2f 0 (x), Af (x) = 12 f 00 (x) − 3f 0 (x), Af (x) = f 00 (x), Af (x) = 4f 00 (x)?
2
13. Na przestrzeni C0 (R) dany jest operator Af (x) = −af (x), gdzie a jest liczbą dodatnią. Znajdź
półgrupę (podprawdopodobieństw) przejścia, którą generuje ten operator.
K. Bogdan, Politechnika Wrocławska