ZESTAW I Kresy zbiorów Ci¡gi liczbowe
Transkrypt
ZESTAW I Kresy zbiorów Ci¡gi liczbowe
ZESTAW I Kresy zbiorów Zadanie 1. Zbada¢ ograniczono±¢ nast¦puj¡cych zbiorów a) A = {2, 4, 6, 8, . . .}; √ b) B = { n 5; n ∈ N}; c) C = {x ∈ R; x2 + 3x − 8 < 0}; d) D = {(1 − n1 )(−1)n ; n ∈ N}. Zadanie 2. Zbada¢, czy podane zbiory posiadaj¡ elementy najmniejsze i najwi¦ksze a) A = [0, 2); 1 ; n ∈ N}; b) B = { 2n−1 c) C = (0, 3) ∪ {5}. Zadanie 3. Wyznaczy¢ kresy górne i dolne zbiorów √ √ a) A = (− 2, 5]; b) B = {2−n ; n ∈ N}; c) C = (−∞, 0] ∖ Q; n d) D = {1 + (−1) n ; n ∈ N}; e) E = {x ∈ R; ∣2x + 3∣ + ∣x + 3∣ − x < 6}; f) F = {x ∈ R; ∣∣x − 1∣ − 1∣ < 1}. Ci¡gi liczbowe (Ci¡gi monotoniczne i ograniczone) Dany jest ci¡g o wyrazie ogólnym an = , a2n . Wyznaczy¢ a2n , an+1 − an , aan+2 n−1 Zadanie 4. 3n+1 (n+1)! . Na podstawie warto±ci kilku pocz¡tkowych wyrazów podanych ci¡gów znale¹¢ ich wzory ogólne Zadanie 5. 1 a) (an ) = (7, 3, −1, −5, . . .); b) (bn ) = (8, 12, 18, 27, 81/2, . . .); c) (cn ) = (1, 0, 1, 0, . . .); d) (dn ) = (1, 11, 111, 1111, . . .); e) (en ) = (7, 7, 9, 9, 7, 7, 9, 9, . . .); f) (fn ) = (1, 3, 6, 10, 15, 21, . . .). Zadanie 6. Wyznaczy¢ pi¦¢ pierwszych wyrazów ci¡gu a) (an ), a1 = 3, an+1 = an an +1 ; b) (bn ), b1 = 0, b2 = −1, bn+2 = bn+1 − 2bn ; √ √ c) (cn ), c1 = 2, cn+1 = 2 + cn . Zadanie 7. a) an = Zbada¢ ograniczono±¢ ci¡gu (an )n≥1 , je»eli √ √ n + 2 − n; e) an = Zadanie 8. b) an = √ n 3n + 4n ; 2n + 1 ; n2 + 1 c) an = (−1)n n2 ; d) an = sin(10n); 1 1 1 + + ... + . n+1 n+2 n+n f ) an = Zbada¢ monotoniczno±¢ ci¡gu (an )n≥1 , je»eli a) an = 3n + 1; 1 b) an = n ; 4 f ) an = √ n+7 d) an = √ ; 3 n+5 2n + 1 c) an = 2 ; n +1 1 1 1 + + ... + ; 2 3 n g) an = e) an = 2n n! ; nn 1 1 (−1)n − + ... + . 2 3 n Znale¹¢ tak¡ liczb¦ naturaln¡ k , aby dla ka»dego naturalnego n > k byªa speªniona nierówno±¢ Zadanie 9. n+2 ∣ n+1 − 1∣ < ε, gdzie ε = 1 100 oraz ε = 1 5000 . (granica ci¡gów) Zadanie 10. Korzystaj¡c z denicji granicy wªa±ciwej ci¡gu uzasadni¢ podane równo±ci 1 = 0; nÐ→∞ n a) lim n−1 1 = ; nÐ→∞ 2n + 3 2 b) lim c) lim logn+1 5 = 0; nÐ→∞ 2 2n − 3n = −1. nÐ→∞ 2n + 3n d) lim Zadanie 11. Korzystaj¡c z denicji granicy niewªa±ciwej ci¡gu uzasadni¢ podane rów- no±ci a) lim 2n = +∞; nÐ→∞ Zadanie 12. a) an = b) an = n+3 ; 2n2 − 1 nÐ→∞ c) an = 4n3 + 6 ; n+1 (2n − 1)2 . (4n − 1)(3n + 2) d) an = Obliczy¢ granic¦ ci¡gu o wyrazie ogólnym 2n √ a) an = √ ; 2 n + n + n2 − n Zadanie 14. c) lim log2 n = +∞. nÐ→∞ Obliczy¢ granic¦ ci¡gu o wyrazie ogólnym 2n2 + 3n ; 6n2 + 4n − 1 Zadanie 13. b) lim (2 − 3n) = −∞; √ n3 + 1 b) an = √ ; 3 n5 + 1 + 1 √ 3 n2 + 1 . c) an = n+1 Obliczy¢ granice ci¡gów √ √ √ −0, 8n ; b) lim 4n2 + 5n − 7 − 2n; c) lim n2 + n − n2 − n; nÐ→∞ nÐ→∞ nÐ→∞ 2n − 5 √ √ n+2− n+1 3n − 2n 2(−3)n+2 + 5n+2 d) lim √ ; e) lim n ; f ) lim ; √ nÐ→∞ nÐ→∞ 4 − 3n nÐ→∞ 3 ⋅ 5n+1 − 8(−4)n n+1− n √ √ 3 ⋅ 22n+2 − 10 1 + 2 + ... + n 3 3 g) lim n3 + 2n2 + 4 − n3 + 1; h) lim ; i) lim ; n−1 nÐ→∞ nÐ→∞ 5 ⋅ 4 nÐ→∞ +3 n2 1 + 12 + . . . + 21n 1 1 1 j) lim ; k) lim (1 − 2 )(1 − 2 ) . . . (1 − 2 ). 1 1 nÐ→∞ 1 + + . . . + n nÐ→∞ 2 3 n 3 3 a) lim Zadanie 15. Obliczy¢ granic¦ ci¡gu o wyrazie ogólnym 1 −2n n2 + 3n + 2 3n+1 ) a) an = (1 + ) ; b) an = ( 2 ; n n + 2n n2 + 2 2n2 +1 c) an = ( 2 ) ; d) an = n(ln(n + 3) − ln n). n Zadanie 16. Korzystaj¡c z twierdzenia o trzech ci¡gach obliczy¢ podane granice √ √ n a) lim 2 ⋅ 3n + 4 ⋅ 7n + 9 ⋅ 5n+1 ; nÐ→∞ d) lim nÐ→∞ g) lim ( nÐ→∞ n n2 +1 nÐ→∞ n 1 2+ ; n c) lim nÐ→∞ √ n 3n − 2n ; f) Udowodni¢ zbie»no±¢ do zera nast¦puj¡cych ci¡gów sin(3n + 1); b) an = 1+2+...+n n3 +1 √ n n + 3; [10n π] ; 10n 1 1 1 ). h) lim n( 2 + 2 + ... + 2 nÐ→∞ n +1 n +2 n +n e) 2 n 1 ); + + . . . + n2 + 1 n2 + 2 n2 + n Zadanie 17. a) an = √ n 1 + 5n2 + 3n5 ; b) lim cos(n!); 3 c) an = 2n n! . Zadanie 18. Wykaza¢, »e ci¡gi okre±lone rekurencyjnie s¡ zbie»ne i znale¹¢ ich granice √ √ a) x1 = 2, xn+1 = 2 + xn ; √ b) x1 = 32 , xn+1 = 3 ⋅ xn − 2. c) x1 = 12 , xn+1 = xn (2 − xn ); d) x1 = 12 , xn+1 = Zadanie 19. . Korzystaj¡c z twierdzenia Stolza policzy¢ nast¦puj¡ce granice log(n) ; nÐ→∞ n a) lim 1+x2n 2 1 1 1 1 b) lim √ ( √ + √ +. . .+ √ ); nÐ→∞ n n 1 2 4 12 + 32 + . . . + (2n + 1)2 nÐ→∞ n3 c) lim