Zadania 4 - granice ci ˛agów. Rozwi ˛azania
Transkrypt
Zadania 4 - granice ci ˛agów. Rozwi ˛azania
1 Zadania 4 - granice ciagów. ˛ Rozwiazania ˛ ZADANIE 1. Obliczyć granice˛ ciagu ˛ (an ) , n ∈ N1 , gdzie an = n3 − 2n2 + 5 . 1 3 n + 4n2 + n 2 (1) Rozwiazanie. ˛ Dzielac ˛ licznik i mianownik we wzorze (1) przez n w potedze ˛ o najwyższym wykładniku spośród wystepuj ˛ acych ˛ w mianowniku, czyli przez n3 , i korzystajac ˛ z twierdzenia o działaniach na ciagach ˛ zbieżnych (zob. tekst T5) otrzymujemy: 3 3 n 2n2 5 − + 1 − n2 + n53 n − 2n2 + 5 3 3 3 n n n lim 1 3 = lim 1 n3 = lim 1 4 = 1 n→∞ n→∞ n→∞ 4n2 n n + 4n2 + n + + 2 2 + + 2 2 n n 3 3 3 n = ponieważ 2 → 0, n Odpowiedź: lim an = 2. n n 1−0+0 = 2, 1 +0+0 2 5 → 0, n3 4 → 0, n 1 → 0. n2 n→∞ ZADANIE 2. Obliczyć granice˛ ciagu ˛ (an ) , n ∈ N1 , gdzie √ √ ( n − 1) ( n + 1) an = . √ 2 (2 n + 3) Rozwiazanie. ˛ Mamy: an = n−1 √ . 4n + 12 n + 9 (2) Dzielac ˛ licznik i mianownik we wzorze (2) przez n w potedze ˛ o najwyższym wykładniku spośród wystepuj ˛ acych ˛ w mianowniku, czyli przez n, i korzystajac ˛ z twierdzenia o działaniach na ciagach ˛ zbieżnych (zob. tekst T5) otrzymujemy: n 1 1 − 1 − n−1 n √ lim = lim 4n n12√nn 9 = lim = 12 √ n→∞ 4n + 12 n + 9 n→∞ n→∞ 4 + + n9 + + n n n n 2 = 1−0 1 = , 4+0+0 4 ponieważ 1 → 0, n 1 Odpowiedź: lim an = . n→∞ 4 12 √ → 0, n 9 → 0. n ZADANIE 3. Obliczyć granice˛ ciagu ˛ (an ) , n ∈ N1 , gdzie 3 1 an = 5 + 2 2+ √ . n n Rozwiazanie. ˛ Korzystajac ˛ z twierdzenia o działaniach na ciagach ˛ zbieżnych (zob. tekst T5) otrzymujemy: 3 1 5+ 2 2+ √ = 5 · 2 = 10, lim n→∞ n n ponieważ 3 → 0, n2 1 √ → 0. n Odpowiedź: lim an = 10. n→∞ ZADANIE 4. Obliczyć granice˛ ciagu ˛ (an ) , n ∈ N1 , gdzie √ 3n − n + 4 an = √ 2 . 4n + 1 + 5n (3) Rozwiazanie. ˛ Dzielac ˛ licznik i mianownik we wzorze (3) przez n i korzystajac ˛ z twierdzenia o działaniach na ciagach ˛ zbieżnych (zob. tekst T5) oraz z reguły właczania ˛ pod pierwiastek otrzymujemy: √ √ 1 4 n 3n 4 √ 3− n + n − n +n 3n − n + 4 n = lim √ = lim √ = lim 2 4n +n 5n n→∞ n→∞ n→∞ 4n2 +n 4n2 + n + 5n + +5 n n n2 3 − √1n + n4 = √3 − 0 + 0 = 3 , = lim n→∞ 7 4+0+5 4+ 1 +5 n 3 ponieważ 1 √ → 0, n 3 Odpowiedź: lim an = . n→∞ 7 4 → 0, n 1 → 0. n ZADANIE 5. Obliczyć granice˛ ciagu ˛ (an ) , n ∈ N1 , gdzie an = (2 · 3n − 1)2 . (3n + 2n )2 Rozwiazanie. ˛ Mamy: an = 4 · 9n − 4 · 3n + 1 . 9n + 2 · 6n + 4n (4) Dzielac ˛ licznik i mianownik we wzorze (4) przez poteg ˛ e˛ liczby n o najwiekszej ˛ podn ˛ z twierdzenia stawie spośród wystepuj ˛ acych ˛ w mianowniku, czyli przez 9 , i korzystajac o działaniach na ciagach ˛ zbieżnych (zob. tekst T5) otrzymujemy: 1 n 1 n 4·9n 4·3n 1 4 − 4 − + + 4 · 9n − 4 · 3n + 1 n n n 9 9 9 23 n 49 n = lim = lim = lim n n n 9 2·6 4 n n n n→∞ n→∞ n→∞ 9 +2·6 +4 + 9n + 9n 1+2 3 + 9 9n = ponieważ 4−0+0 = 4, 1+0+0 n n n n 1 1 2 4 → 0, → 0, → 0, → 0. 3 9 3 9 Odpowiedź: lim an = 4. n→∞ ZADANIE 6. Obliczyć granice˛ ciagu ˛ (an ) , n ∈ N1 , gdzie √ an = n 5n + 4 · 2n + 7. Rozwiazanie. ˛ Zauważmy, że dla każdej liczby naturalnej n ∈ N1 zachodza˛ nierówności: 5n ≤ 5n + 4 · 2n + 7 ≤ 5n + 4 · 5n + 7 · 5n , (5) 4 ponieważ 2n ≤ 5n i 1 ≤ 5n . Z nierówności (5) otrzymujemy kolejno nierówności: 5n ≤ 5n + 4 · 2n + 7 ≤ 12 · 5n , √ √ √ n n 5n ≤ n 5n + 4 · 2n + 7 ≤ 12 · 5n , √ √ n 5 ≤ n 5n + 4 · 2n + 7 ≤ 12 · 5, a ponieważ lim n→∞ √ n 12 = 1, wiec ˛ √ n lim 12 · 5 = 1 · 5 = 5. n→∞ Na mocy twierdzenia 2 (zob. tekst T5) otrzymujemy: √ 5 ≤ lim n 5n + 4 · 2n + 7 ≤ 5, n→∞ co oznacza, że lim n→∞ √ n 5n + 4 · 2n + 7 = 5. Odpowiedź: lim an = 5. n→∞ ZADANIE 7. Obliczyć granice˛ ciagu ˛ (an ) , n ∈ N1 , gdzie √ an = n2 + 1. Rozwiazanie. ˛ Oczywiście mamy nierówność: n2 < n2 + 1 a w takim razie także n= (n ∈ N1 ) , √ √ n2 < n2 + 1, czyli n < an dla każdej liczby n ∈ N1 . ˛ korzystajac ˛ z twierdzenia 2(a) (zob. tekst Ponieważ wiemy, że lim n = +∞, wiec n→∞ T6) stwierdzamy, że lim an = +∞. n→∞ Odpowiedź: lim an = +∞ (granica niewłaściwa). n→∞ 5 ZADANIE 8. Obliczyć granice˛ ciagu ˛ (an ) , n ∈ N1 , gdzie √ an = n2 + 2n + n. Rozwiazanie. ˛ Oczywiście mamy nierówność: n2 < n2 + 2n a w takim razie także n= (n ∈ N1 ) , √ √ n2 < n2 + 2n i dalej, n+n< √ n2 + 2n + n, czyli 2n < an dla każdej liczby n ∈ N1 . Ponieważ wiemy, że lim 2n = +∞, wiec ˛ korzystajac ˛ z twierdzenia 2(a) (zob. n→∞ tekst T6) stwierdzamy, że lim an = +∞. n→∞ Odpowiedź: lim an = +∞ (granica niewłaściwa). n→∞ ZADANIE 9. Obliczyć granice˛ ciagu ˛ (an ) , n ∈ N2 , gdzie √ an = n2 − 2n. Rozwiazanie. ˛ Wzór na n-ty wyraz ciagu ˛ przekształcimy w nastepuj ˛ acy ˛ sposób: √ 2 2 2 2 an = n − 2n = n 1 − =n 1− . n n Korzystajac ˛ z twierdzenia o działaniach na ciagach ˛ zbieżnych (zob. tekst T5) oraz z twierdzenia o działaniach na ciagach ˛ rozbieżnych (zob. tekst T6) otrzymujemy: 2 lim n · 1 − = +∞, n→∞ n ponieważ lim n = +∞, n→∞ natomiast lim n→∞ 1− 2 n = √ 1 − 0 = 1, 6 gdyż 2 → 0. n Odpowiedź: lim an = +∞ (granica niewłaściwa). n→∞ ZADANIE 10. Obliczyć granice˛ ciagu ˛ (an ) , n ∈ N1 , gdzie an = 3n4 − 2n5 − 3n6 . n4 + 3n3 − 5n2 − 3 (6) Rozwiazanie. ˛ Dzielac ˛ licznik i mianownik we wzorze (6) przez n w potedze ˛ o najwyższym wykładniku sposród wystepuj ˛ acych ˛ w mianowniku, czyli przez n4 , otrzymujemy: 4 5 6 3n − 2n − 3n 3n4 − 2n5 − 3n6 3 − 2n − 3n2 n4 n4 n4 = = = 4 3 2 n n4 + 3n3 − 5n2 − 3 1 + n3 − n52 − n34 + 3n − 5n − n34 n4 n4 n4 3 n2 n32 − n2 − 3 − n2 − 3 2 n2 = =n · . 1 + n3 − n52 − n34 1 + n3 − n52 − n34 Korzystajac ˛ z twierdzenia o działaniach na ciagach ˛ zbieżnych (zob. tekst T5) oraz z twierdzenia o działaniach na ciagach ˛ rozbieżnych (zob. tekst T6) otrzymujemy: 3 − n2 − 3 2 n2 lim n · = −∞, n→∞ 1 + n3 − n52 − n34 ponieważ lim n2 = +∞, n→∞ natomiast lim n→∞ gdyż 1 3 − n2 − 3 n2 + n3 − n52 − n34 = −3 = −3, 1 3 2 3 5 → 0, → 0, → 0, → 0, 2 n n n n2 Odpowiedź: lim an = −∞ (granica niewłaściwa). 3 → 0. n4 n→∞ ZADANIE 11. Obliczyć granice˛ ciagu ˛ (an ) , n ∈ N1 , gdzie an = 3 · 2n + 6 · 5n . 2 · 3n − 2n (7) 7 Rozwiazanie. ˛ Dzielac ˛ licznik i mianownik we wzorze (7) przez poteg ˛ e˛ liczby n o najwiekszej ˛ podstawie spośród wystepuj ˛ acych ˛ w mianowniku, czyli przez 3n , otrzymujemy: n n n 3·2n 3 23 + 6 53 + 6·5 3 · 2n + 6 · 5n 3n 3n 2 n = 2·3n 2n = = 2 · 3n − 2n − 2 − n n 3 3 3 5 n 2 n n 2 n 3 + 6 3 + 6 5 5 52 n n . = 3 = · 3 2− 3 2 − 23 Korzystajac ˛ z twierdzenia o działaniach na ciagach ˛ zbieżnych (zob. tekst T5) oraz z twierdzenia o działaniach na ciagach ˛ rozbieżnych (zob. tekst T6) otrzymujemy: n 3 25 + 6 5 n n lim · = +∞, n→∞ 3 2 − 23 ponieważ n 5 = +∞, lim n→∞ 3 natomiast n 3 25 + 6 3·0+6 2 n lim = = 3, n→∞ 2−0 2− 3 gdyż n 2 → 0, 5 n 2 → 0. 3 Odpowiedź: lim an = +∞ (granica niewłaściwa). n→∞