Potencjal zespolony -
Transkrypt
Potencjal zespolony -
Granica na płaszczyźnie zespolonej w0 = lim f (z) z→z0 pełny tekst — A.L – MMF1 Potencjał zespolony – dipol Granica na płaszczyźnie zespolonej w0 = lim f (z) z→z0 pełny tekst — A.L – MMF1 Potencjał zespolony – dipol Granica na płaszczyźnie zespolonej w0 = lim f (z) z→z0 f (z) −−→ pełny tekst — A.L – MMF1 Potencjał zespolony – dipol Granica na płaszczyźnie zespolonej w0 = lim f (z) z→z0 f (z) −−→ pełny tekst — A.L – MMF1 Potencjał zespolony – dipol Granica na płaszczyźnie zespolonej w0 = lim f (z) z→z0 f (z) −−→ pełny tekst — A.L – MMF1 Potencjał zespolony – dipol Granica na płaszczyźnie zespolonej w0 = lim f (z) z→z0 f (z) −−→ f (z) −−→ pełny tekst — A.L – MMF1 Potencjał zespolony – dipol Granica na płaszczyźnie zespolonej w0 = lim f (z) z→z0 f (z) −−→ f (z) −−→ pełny tekst — A.L – MMF1 Potencjał zespolony – dipol Granica funkcji – proste twierdzenia pełny tekst — A.L – MMF1 Potencjał zespolony – dipol Granica funkcji – proste twierdzenia 1 Jeżeli dwie funkcje f (z) i F (z) mają – dla z → z0 – granice, odpowiednio równe lim f (z) = f0 , z→z0 pełny tekst — A.L – MMF1 Potencjał zespolony – dipol Granica funkcji – proste twierdzenia 1 Jeżeli dwie funkcje f (z) i F (z) mają – dla z → z0 – granice, odpowiednio równe lim f (z) = f0 , z→z0 lim F (z) = F0 z→z0 to zachodzi pełny tekst — A.L – MMF1 Potencjał zespolony – dipol Granica funkcji – proste twierdzenia 1 Jeżeli dwie funkcje f (z) i F (z) mają – dla z → z0 – granice, odpowiednio równe lim f (z) = f0 , z→z0 lim F (z) = F0 z→z0 to zachodzi lim [f (z) + F (z)] = f0 + F0 , z→z0 pełny tekst — A.L – MMF1 Potencjał zespolony – dipol Granica funkcji – proste twierdzenia 1 Jeżeli dwie funkcje f (z) i F (z) mają – dla z → z0 – granice, odpowiednio równe lim f (z) = f0 , z→z0 lim F (z) = F0 z→z0 to zachodzi lim [f (z) + F (z)] = f0 + F0 , z→z0 lim [f (z) · F (z)] = f0 · F0 z→z0 oraz – jeżeli F0 6= 0 – pełny tekst — A.L – MMF1 Potencjał zespolony – dipol Granica funkcji – proste twierdzenia 1 Jeżeli dwie funkcje f (z) i F (z) mają – dla z → z0 – granice, odpowiednio równe lim f (z) = f0 , z→z0 lim F (z) = F0 z→z0 to zachodzi lim [f (z) + F (z)] = f0 + F0 , z→z0 lim [f (z) · F (z)] = f0 · F0 z→z0 oraz – jeżeli F0 6= 0 – lim z→z0 pełny tekst — A.L – MMF1 f (z) f0 = . F (z) F0 Potencjał zespolony – dipol Granica funkcji – proste twierdzenia 1 Jeżeli dwie funkcje f (z) i F (z) mają – dla z → z0 – granice, odpowiednio równe lim f (z) = f0 , z→z0 lim F (z) = F0 z→z0 to zachodzi lim [f (z) + F (z)] = f0 + F0 , z→z0 lim [f (z) · F (z)] = f0 · F0 z→z0 oraz – jeżeli F0 6= 0 – lim z→z0 2 f (z) f0 = . F (z) F0 Warunkiem koniecznym i wystarczającym istnienia granicy lim f (z) = f0 = u0 + iv0 z→z0 jest pełny tekst — A.L – MMF1 Potencjał zespolony – dipol Granica funkcji – proste twierdzenia 1 Jeżeli dwie funkcje f (z) i F (z) mają – dla z → z0 – granice, odpowiednio równe lim f (z) = f0 , z→z0 lim F (z) = F0 z→z0 to zachodzi lim [f (z) + F (z)] = f0 + F0 , z→z0 lim [f (z) · F (z)] = f0 · F0 z→z0 oraz – jeżeli F0 6= 0 – lim z→z0 2 f (z) f0 = . F (z) F0 Warunkiem koniecznym i wystarczającym istnienia granicy lim f (z) = f0 = u0 + iv0 z→z0 jest lim u(x, y) = u0 , x → x0 y → y0 pełny tekst — A.L – MMF1 lim v(x, y) = v0 . x → x0 y → y0 Potencjał zespolony – dipol Funkcja zmiennej zespolonej – proste przykłady Funkcja w = f (z) = az + b i jej funkcja odwrotna Funkcja w = f (z) = z 2 i jej funkcja odwrotna Dyskusja f (x) jest ciągła, jednoznaczna i określona dla wszystkich z. N.B. f (∞) = ∞. Stałe a i b to stałe zespolone, a 6= 0. Jej funkcja odwrotna φ(w) = z = 1 b w − ≡ a1 w + b1 a a ma te same własności co f (z), → f (z) jest f. jednowartościową. Geometria: ξ = az → ξ = |a||z|ei(θz +θa ) Czyli wydłużenie (skrócenie o |a|); obrót o kąt θa = arg a; 3 przesunięcie o b albo dylatacja + rotacja + translacja wektora, reprezentującego z. 1 2 pełny tekst — A.L – MMF1 Potencjał zespolony – dipol Funkcja zmiennej zespolonej – proste przykłady Funkcja w = f (z) = az + b i jej funkcja odwrotna Funkcja w = f (z) = z 2 i jej funkcja odwrotna Dyskusja f (x) = z 2 jest ciągła, jednoznaczna i określona dla wszystkich z. N.B. f (∞) = ∞. Jeżeli użyć reprezentacji biegunowej dla obu liczb to w ≡ R = eiψ = z 2 ≡ reiφ 2 R = r2 , ψ = 2φ, a stąd wniosek że obszary Cz 0 ¬ φ < π oraz π ¬ φ < 2π () odwzorowują się (oba!) w ten sam obszar płaszczyzny Cw — 0 ¬ ψ < 2π, a konkretnie – punkty z0 i −z0 w ten sam punkt w0 . Funkcja jest dwuwartościowa – jej funkcja odwrotna (pierwiastek kwadratowy) jest niejednoznaczną. pełny tekst — A.L – MMF1 Potencjał zespolony – dipol