Zestaw 13 Twierdzenie (Centralne twierdzenie graniczne). Niech ξ1

Zestaw 13
Twierdzenie (Centralne twierdzenie graniczne). Niech ξ1 , ..., ξn , ... będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o tych samych rozkładach takich, że Eξi = m, D2 ξi = σ 2 > 0 dla
i ∈ N. Określmy
n
∑
Sn − nm
Sn =
ξi ,
Zn = √
.
nσ
i=1
Wtedy
∫
x
t2
1
∀x ∈ R : FZn → √
e− 2 dt =: Φ(x)
2π −∞
przy czym zbieżnośc ta jest jednostajna ze względu na x.
Zad.1 Cztery firmy przewozowe A, B, C i D obsługują połaczenia autokarowe z Krakowa
do Paryża. Statystyka podaje, że miesięcznie łacznie 2000 pasażerów korzysta z usług tych
firm, w tym 30% wybiera firmę A, 20% wybeira firmę B, 15% - firmę C i 35% - firmę D. Ile
przejazdów powinna zorganizować firma A (która dysponuje autokarem z 40 miejscami), aby
prawdopodobieństwo
odesłania
klienta do konkurentów było mniejsze od 1% ?
√
√
Uwaga: 5 = 2, 23; 21 = 4, 58.
Zad.2 Wśród mieszkańców pewnego miasta 60% osób woli czekoladę gorzką od mlecznej.
Osoba organizująca przyjęcie dla 100 osób, z których każda ma otrzymać jako prezent pudełeczko
czekoladek, przygotowuje 70 pudełeczek z czekoladkami gorzkimi i 45 z mlecznymi. Jakie jest
prawdopodobieństwo, że każdy z gości będzie mógł sobie wybrać taki rodzaj czekoladek, jaki
mu odpowiada?
Wskazówka: √56 = 2, 04.
Zad.3 Otrzymaliśmy wiarygodną informację, że pewna moneta jest niesymetryczna, co
powoduje, że orzeł wypada z prawdopodobieństwem p mniejszym niż 0, 3. Ile należy wykonać
rzutów tą monetą, aby mieć 95% pewności, że uzyskane wyniki pozwolą wyliczyć prawdopodobieństwo wypadnięcia orła z dokładnością do 0, 01?
Zad.4 Dodajemy 10000 liczb, z których każda jest zaokrąglona z dokładnością do 0, 1.
Zakładając, że błedy zaokrąglenia są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie równomiernym na przedziele (−0, 05, +0, 05), znaleźć najmniejszy przedział postaci (−n, n), gdzie
n ∈ N, w którym z prawdopodobieństwem 0, 99 będzie się zawierał błąd sumy.
Zad.5 Prawdopodobieństwo wyprodukowania wadliwego detalu wynosi 0, 05. Ile detali powinna wyprodukować fabryka, aby z prawdopodobieństwem równym co najmniej 0, 9 przynajmniej 100 spośród nich nie było wybrakowanych.
a) Podaj oszacowanie w oparciu o nierówność Czebyszewa.
b) Podaj oszacowanie w oparciu o centralne twierdzenie graniczne.
Pomocnicza tabela: p = 0, 95, ζn = √np−100 :
np(1−p)
n 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115
ζn 0, 31 0, 73 1, 15 1, 56 1, 97 2, 37 2, 77 3, 17 3, 57 3, 96
W pozostałych zadaniach proszę korzystać z tabeli wartości dystrybuanty standardowego
rozkładu normalnego N (0, 1). Można ją znaleźć np. w książce prof. Ombacha ”Wstęp do rachunku prawdopodobiestwa” lub w innych podręcznikach z zakresu prawdopodobieństwa (np.
Jakubowski, Sztencel). Jest też dostępna w internecie.