Geometria różniczkowa 2016/2017 2. Geometria krzywych II 2.1

Geometria różniczkowa 2016/2017
2. Geometria krzywych II
2.1. Wykazać, że krzywą płaską o zadanej krzywiźnie κ(s) można zadać wzorem
Z s
cos θ(u)du,
γ(s) =
Z s
0
gdzie θ(u) =
Z u
sin θ(s)ds ,
0
κ(t)dt.
0
Znaleźć krzywe płaskie spełniające warunki:
(a) γ(0) = (0, 0), κ(s) = 2s.
1
(b) γ(0) = (0, 0), κ(s) =
.
1 + s2
2.2. Obwiednia rodziny rozmaitości różniczkowych (w szczególności rodziny krzywych lub powierzchni) jest rozmaitością w każdym swoim punkcie styczną do pewnego członka tej rodziny.
(a) Niech γp = {(x, y) F (x, y, p) = 0} będzie rodziną krzywych płaskich z parametrem p.
Udowodnić, że obwiednia dana jest następującym układem równań
(
F (x, y, p) = 0
.
∂F
(x, y, p) = 0
∂p
(b) Niech γp (t) będzie rodziną krzywych płaskich z parametrem p. Udowodnić, że wtedy
obwiednia dana jest równaniem
"
#
∂γp
∂γp
det
(t),
(t) = 0.
∂t
∂p
(c) Wyznaczyć obwiednię następującej rodziny krzywych:
i. okręgi o promieniu równym 1, których środki leżą na osi OX.
ii. odcinki o długości 1, które leżą w I ćwiartce układu współrzędnych i których obydwa
krańce leżą na różnych osiach wpółrzędnych.
2.3. Niech t 7→ γ(t) będzie krzywą. Załóżmy, że nić o długości C jest nawinięta na krzywą i
zaczepiona w punkcie l(tC ) = C, gdzie l jest długością łuku krzywej γ. Rozwijamy nić
tak, żeby była cały czas naprężona. Wtedy jej niezaczepiony koniec będzie znajdował się w
odległości l(t) od punktu γ(t) w kierunku −γ 0 (t). Krzywą, która zakreśla ten niezaczepiony
koniec nazywamy ewolwentą krzywej γ.
(a) Uzasadnić, że ewolwenta γ dana jest wzorem
γ 0 (t)
I(t) = γ(t) − l(t) · 0
.
kγ (t)k
(b) Wyznaczyć ewolwentę okręgu o promieniu r i środku (0, 0).
1
(c) Wyznaczyć ewelwentę linii śrubowej.
(d) Pokazać, że krzywizna ewolwenty krzywej γ dana jest wzorem
q
κI (t) =
κ2 (t) + τ 2 (t)
l(t)κ(t)
,
gdzie κ(t), τ (t) to odpowiednio krzywizna i torsja krzywej γ.
2.4. Płaską ewolutą krzywej płaskiej γ nazywamy krzywą, której ewolwentą jest γ.
(a) Wykazać, że ewoluta krzywej γ ma postać
E(t) = γ(t) +
1
· n(t).
κ(t)
(b) Wykazać, że ewoluta jest zarazem obwiednią rodziny normalnych krzywej γ.
(c) Znaleźć ewolutę płaską paraboli y = x2 .
(d) Znaleźć ewolutę płaską elipsy t 7→ (a cos t, b sin t).
2.5. Nierówność izoperymetryczna.
(a) Udowodnić nierówność Wirtingera.
Niech f (t) będzie kawałkami gładką, ciągłą, 2π - okresową funkcją o wartości średniej
równej 0. Wtedy
Z 2π
0
0
2
(f (t)) dt >
Z 2π
f 2 (t)dt,
0
i równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, kiedy f (t) = a cos t + b sin t dla pewnych a, b.
Wskazówka: Tożsamość Parservala dla szeregów Fouriera.
(b) Udowodnić nierówność izoperymetryczną.
Niech γ będzie prostą krzywą o długości L, ograniczającą obszar o polu A. Wtedy
zachodzi
L2 > 4πA,
i równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy krzywa jest okręgiem.
L
Wskazówka: Sparametryzować krzywą ze stałą prędkością 2π
i skorzystać z poprzedniego
podpunktu.
2.6. Dana jest gładka ściśle wypukła krzywa zamknięta płaska C. Niech O - punkt należący do
obszaru ogranicznego krzywą C. Ustalmy oś x1 o początku w O i rozważmy kąt skierowany θ od tej osi. Niech p(θ) będzie odległością pomiędzy O a styczną do krzywej C, która
jest prostopadła do ramienia kąta θ i przecina to ramię. Udowodnić, że krzywą C możemy
sparametryzować w następujący sposób
[0, 2π] 3 t 7→ γ(θ) = (p(θ) cos θ − p0 (θ) sin θ, p(θ) sin θ + p0 (θ) cos θ) .
Funkcja p nazywana jest podpierającą funkcją Minkowskiego i ma bardzo szerokie zastosowanie w geometrii wypukłej.
2
(a) Wyznaczyć wzory na pole styczne, normalne, krzywiznę, promień krzywizny, długość
krzywej L, A - pole obszaru ograniczonego krzywą, szerokość krzywej w zależności od θ
i p(θ).
(b) Posługując się rozwinięciem funkcji p w szereg Fouriera zapisać L i A w zależności od
współczynników rozwinięcia funkcji p w szereg Fouriera. Wywnioskować stąd nierówność
izoperymetryczną dla wypukłych krzywych gładkich.
(c) Udowodnić, że krzywa C jest krzywą o stałej szerokości wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie parzyste współczynniki w rozwinięciu funkcji p w szereg Fouriera są zerowe.
(d) Udowodnić twierdzenie Barbiera: Jeżeli krzywa C jest krzywą gładką o stałej szerokości
w, jej długość wynosi πw.
(e) Udowodnić twierdzenie. Jeżeli krzywa C jest krzywą gładką o stałej szerokości w, to
ρ(θ) + ρ(θ + π) = w.
2.7. Dana jest gładka krzywa C. Punkty a, b ∈ C nazywamy parą równoległą, jeżeli styczne do
C w a i b są równoległe. Kaustyką Wignera krzywej C nazywamy zbiór środków wszystkich
odcinków łączących pary równoległe krzywej C.
(a) Znaleźć parametryzację kaustyki Wignera C posługując sie funkcją podpierającą Minkowskiego krzywej C.
(b) Czy kaustyka Wignera jest regularna?
(c) Wyznaczyć zorientowane pole kaustyki Wignera w zależności od współczynników rozwinięcia funkcji podpierającej krzywej C w szereg Fouriera.
(d) Udowodnić następującą nierówność typu izoperymetrycznego dla gładkich ściśle wypukłych krzywych zamkniętych.
L2 > 4πA + 8π|A|,
gdzie A to zorientowane pole kaustyki Wignera i równość zachodzi wtedy i tylko wtedy,
gdy krzywa jest krzywą o stałej szerokości.
3