1. K Krzywą na płaszczyźnie nazywamy zbiór punktów (x, y), który

1. Krzywe na płaszczyźnie
Krzywą na płaszczyźnie nazywamy zbiór punktów (x, y), który można opisać
równaniami x = x(t), y = y(t), t ∈ [a, b], gdzie x(t) i y(t) są funkcjami określonymi i ciągłymi na przedziale [a, b].
Przedstawienie powyższe nazywamy przedstawieniem parametrycznym krzywej lub równaniami parametrycznymi krzywej. Odwzorowanie γ : [a, b] → R2
postaci γ(t) = [x(t), y(t)], t ∈ [a, b] nazywamy parametryzacją krzywej.
Początkiem krzywej nazywamy punkt (x(a), y(a)), natomiast jej końcem punkt
(x(b), y(b)).
Jeśli krzywą można przedstawić jako zbiór punktów (x, y), gdzie y = f (x)
lub x = g(y) dla pewnych funkcji ciągłych f i g, to mówimy, że krzywa ta jest
wykresem funkcji.
Jeśli krzywa na płaszczyźnie jest zbiorem punktów (x, y) spełniających równanie H(x, y) = 0, to mówimy, że równanie to jest równaniem ogólnym krzywej.
Krzywą oznaczamy zazwyczaj literą Γ.
Przykład 1.1. Parabolę y = x2 na przedziale [−1, 1] można opisać:
(1) równaniami parametrycznymi: x(t) = t, y(t) = t2 , t ∈ [−1, 1], (parametryzacja γ(t) = (t, t2 ), t ∈ [−1, 1];
(2) równaniem ogólnym: H(x, y) = y − x2 = 0, x ∈ [−1, 1], y ∈ [0, 1];
(3) wykresem funkcji: f (x) = x2 , x ∈ [−1, 1].
Przykład 1.2. Okrąg jednostkowy o środku O(0, 0) możemy opisać za pomocą
parametryzacji postaci γ(t) = (cos t, sin t), t ∈ [0, 2π].
Równanie ogólne okręgu jest następujące
x2 + y 2 = 1.
Okrąg nie jest wykresem żadnej funkcji, ale ”lokalnie” jest wykresem. Na przy√
kład górny półokrąg jest wykresem funkcji f (x) = 1 − x2 , zaś lewy półokrąg
√
wykresem funkcji g(y) = − 1 − y 2 .
Łukiem Γ na płaszczyźnie nazywamy krzywą mającą parametryzację spełniającą następujące warunki:
(1) dla różnych t1 , t2 ∈ [a, b], punkty płaszczyzny (x(t1 ), y(t1 )) i (x(t2 ), y(t1 ))
są różne, tzn. nie istnieją punkty wielokrotne,
(2) funkcje x(t), y(t) mają ciągłe pochodne na przedziale [a, b],
(3) dla każdego t ∈ [a, b] wektor
0
0
0
Γ (t) = [x (t), y (t)]
jest niezerowy.
1
2
Warunek 1) oznacza, że łuk nie „przecina się”, warunek 3) zaś oznacza, że łuk
ma w każdym punkcie (x(t), y(t)) styczną.
Jeśli początkiem i końcem łuku Γ są odpowiednio punkty A i B, to zapisujemy
to ΓAB . Jeśli początek krzywej pokrywa się z jej końcem, to krzywą nazywamy
krzywą zamkniętą.
Krzywą regularną na płaszczyźnie nazywamy krzywą Γ o parametryzacji
takiej, że krzywą Γ można „podzielić” na skończoną liczbę łuków ΓA1 A2 , ΓA2 A3 ,
..., ΓAk−1 Ak , gdzie A1 = (x(a), y(a)), Ak = (x(b), y(b)).
Każda krzywa ma wiele parametryzacji.
Przykład 1.3. Parametryzacjami górnej części elipsy 9x2 + 4y 2 = 36 są, na
przykład
x(t) = 2 cos t, y(t) = 3 sin t, t ∈ [0, π]
oraz
π
t ∈ [0, ].
2
Pierwsza z nich opisuje górną część elipsy, po której poruszamy się od punktu
(2, 0) w kierunku przeciwnym do kierunku ruchu wskazówek zegara, druga z
nich opisuje górną część elipsy, po której poruszamy się dwa razy szybciej od
punktu (−2, 0) zgodnie z ruchem wskazówek zegara.
x(t) = −2 cos 2t,
y(t) = 3 sin 2t,
Zauważmy, że jeśli γ : [a, b] → R2 jest parametryzacją krzywej Γ oraz ϕ :
[c, d] → [a, b] jest funkcją ciągłą, to odwzorowanie γ ◦ ϕ : [c, d] → R2 jest inną
parametryzacją krzywej Γ.
Przykład 1.4. Niech γ(t) = (cos t, sin t), t ∈ [0, π], bedzię parametryzacją górnego półokręgu o promieniu 1. Wówczas, γ̃(t) = (cos 2t, sin 2t), t ∈ [0, π2 ] wyznacza
ten sam półokrąg. Mamy ponadto γ̃ = γ ◦ ϕ, gdzie ϕ : [0, π2 ] → [0, π] jest postaci
ϕ(t) = 2t.
Mówimy, że parametryzacje γ : [a, b] → R2 oraz γ̃ : [c, d] → R2 krzywej Γ są
zgodne, jeśli wyznaczają ten sam kierunek, tzn. jeśli istnieje funkcja rosnąca
3
ϕ : [a, b] → [c, d] taka, że
γ̃ = γ ◦ ϕ.
Powiemy, że krzywa Γ, γ(t) = (x(t), y(t)), t ∈ [a, b], jest klasy C k , k ∈ N, jeśli
każda współrzędna x : [a, b] → R i y : [a, b] → R jest funkcją klasy C k . Jeśli
krzywa Γ jest klasy C k dla każdego k ∈ N to mówimy, że γ jest klasy C ∞ lub,
że jest gładka.
Można pokazać, że jeśli krzywa Γ jest przynajmniej klasy C 1 , to jej obraz jest
zbiorem brzegowym na płaszczyźnie, tzn., że nie ma punktów wewnętrznych.
Wówczas wektor
γ 0 (t0 ) = [x0 (t0 ), y 0 (t0 )]
nazywamy wektorem stycznym do krzywej γ w chwili t0 . Długość wektora
stycznego w chwili t0 nazywamy prędkością w chwili t0 , tzn. prędkością nazywamy następującą liczbę
kγ 0 (t0 )k =
q
x0 (t0 )2 + y 0 (t0 )2 .
Niech Γ będzie łukiem o parametryzacji γ(t) = (x(t), y(t)), t ∈ [a, b]. Wektorem stycznym jednostkowym nazywamy wektor T (t) postaci T (t) = kγ .1(t)k γ . (t).
Wektor, który jest prostopadły do wektora stycznego do krzywej Γ, nazywamy
wektorem normalnym. Jeśli założymy dodatkowo, że funkcje x(t) i y(t) mają
ciągłe drugie pochodne, to wektor
jest wektorem normalnym do łuku Γ w chwili t.
Mówimy, że krzywa regularna zamknięta Γ o parametryzacji γ jest zorientowana dodatnio, jeśli – „wędrując po krzywej” zgodnie z jej parametryzacją –
obszar, który ogranicza, leży po lewej stronie (poruszamy się po krzywej w kierunku przeciwnym do kierunku ruchu wskazówek zegara). Precyzyjniej, niech
4
N (t) = [Nx (t), Ny (t)] będzie wektorem prostopadłym jednostkowym do krzywej Γ w chwili t skierowanym do wewnątrz obszaru, który ogranicza. Wówczas
krzywa Γ jest zorientowana dodatnio, jeśli wyznacznik |T (t)N (t)| jest nieujemny w każdej chwili t.
2. Całka krzywoliniowa nieskierowana płaska
Niech Γ będzie łukiem na płaszczyźnie wyznaczonym przez parametryzację
γ(t) = (x(t), y(t)), t ∈ [a, b]. Niech f = f (x, y) będzie funkcją określoną i ciągłą
na tym łuku. Całką krzywoliniową nieskierowaną płaską funkcji f wzdłuż łuku
Γ nazywamy liczbę
Z b
Z b
0
f (γ(t))kγ (t)kdt =
a
a
i oznaczamy
Uwaga:
q
f (x(t), y(t)) (x0 (t))2 + (y 0 (t))2 dt
R
Γ
f (x, y)dl.
(1) Całka krzywoliniowa nieskierowana płaska nie zależy od wyboru parametryzacji krzywej.
(2) Całka krzywoliniowa nieskierowana płaska mierzy pole powierzchni
wyznaczonej przez łuk Γ i wykres funkcji f
R
(3) Długość łuku Γ jest równa Γ 1dl.
Zadanie 2.1. Obliczyć całkę krzywoliniową Obliczyć całkę krzywoliniową nieR
skierowaną Γ 1dl gdzie Γ jest okręgiem x2 + y 2 = r2 , r > 0.
Zadanie 2.2. Obliczyć całki krzywoliniowe nieskierowane
(1)
1
dl,
+ y2 + 4
gdzie Γ = {(x, y) : y = 2x, 0 ¬ x ¬ 1}.
Z
Γ x2
(2)
Z
y 2 dl,
Γ
gdzie Γ jest łukiem cykloidy o parametryzacji γ(t) = (a(t − sin t), a(1 −
cos t), a > 0, t ∈ [0, 2π].
(3)
Z
(x2 + y 2 )dl,
Γ
gdzie Γ jest okręgiem o równaniu x2 + y 2 = r2 , r > 0.
(4)
Z
L
2
ydl,
gdzie L jest łukiem paraboli y = 4x, odciętym przez parabolę x2 = 4y.
5
3. Całka krzywoliniowa skierowana płaska
Niech Γ będzie łukiem na płaszczyźnie wyznaczonym przez parametryzację
γ(t) = (x(t), y(t)), t ∈ [a, b]. Niech P = P (x, y), Q = Q(x, y) będzie układem
funkcji określonych i ciągłych na tym łuku. Całką krzywoliniową skierowaną
płaską układu funkcji P i Q wzdłuż łuku Γ nazywamy liczbę
Z b
0
0
P (x(t), y(t))x (t) + Q(x(t), y(t))y (t)dt
a
i oznaczamy
R
Γ
P (x, y)dx + Q(x, y)dy lub
R
Γ
P dx + Qdy
Zauważmy, że funkcje P i Q możemy traktować jako współrzędne pola wektorowego F wzdłuż krzywej regularnej Γ, tzn. F (x, y) = [P (x, y), Q(x, y)], (x, y) ∈
Γ. Wówczas całkę krzywoliniową skierowaną płaską możemy wtedy zapisać w
postaci
Z
P (x, y)dx + Q(x, y)dy =
F (t) ◦ γ . (t)dt,
a
Γ
0
Z b
0
gdzie γ . (t) = [x (t), y (t)] jest wektorem stycznym do krzywej Γ w chwili t, a
znak „ ◦ ” oznacza iloczyn skalarny.
Niech F = [P, Q] będzie ciągłym polem wektorowym na zbiorze otwartym G.
Funkcję f nazywamy potencjałem pola wektorowego F , jeśli F = ∇f , tzn.,
jeśli ∂f
(x, y) = P (x, y) oraz ∂f
(x, y) = Q(x, y), (x, y) ∈ G. Nie każde pole
∂x
∂y
wektorowe ma potencjał. Jeśli pole wektorowe ma potencjał, to nazywamy je
polem wektorowym potencjalnym. Zauważmy, że jeżeli F jest potencjalnym
polem klasy C 1 to ∂Q
(x, y) = ∂P
(x, y)
∂x
∂y
6