1 r ©2 r2 (a) Ppx, yq ¡y 2ztp0,0quq. D R , D tpx, yq: x 0u, p p2,1q, q

Analiza matematyczna II.1
Zadania – część 19
1. Rozważając miarę powierzchni wstęgi Möbiusa powstałej z prostokąta o wymiarach
1 2π, wyprowadzić wzór:
»π »1 c
2
r
cos θ
2
1
0
1
r2
dr dθ
16
2π.
2. Sprawdzić wzór Greena dla następujących par funkcji:
y
(a) P px, y q x2
(b) P px, y q x2
y2
, Qpx, y q x2
y2
, Qpx, y q x2
x
x
y2
,
y
y2
w kole o promieniu 1 i środku w punkcie p0, 0q. Jeżeli w którymś z tych przypadków
wzór nie zachodzi, wytłumaczyć, które z założeń nie jest spełnione i w którym momencie
dowód twierdzenia Greena przestaje działać. W obydwu przypadkach rozstrzygnąć, czy
pP px, yq, Qpx, yqq jest gradientem pewnej funkcji należącej do C 2pR2ztp0, 0quq.
3. Wykazać, że każda z poniższych 1-form jest różniczką zupełną w danym obszarze
D € R2 . Wyznaczyć jej postać, a następnie obliczyć całkę z danej 1-formy po (dowolnej)
krzywej w D łączącej zadane punkty p i q:
(a)
y dx x dy
, D
x2
tpx, yq : x  0u ,
(b)
x dx
x2
R2ztp0, 0qu ,
(c)
1
y dy
, D
y2
y2
y
cos
2
x
x
dx
p p2, 1q, q
p p1, 0q, q
p1, 2q;
p6, 8q;
y
y
cos
dy , D tpx, y q : x  0u ,
x
x
p p1, 0q, q p2, π q.
y
sin
x
4. Rozstrzygnąć, jakie są możliwe wartości całki krzywoliniowej
‰
y dx x dy ,
x2 y 2
γ
gdzie γ jest krzywą zamkniętą zawartą w obszarze R2 ztp0, 0qu. Wyjaśnić w jakiej sytuacji
jest przyjmowana każda z wartości. Następnie, obliczając odpowiednią całkę krzywoliniową, wyprowadzić wzór
»2π
ab
a2 cos2 t
0
b2 sin2 t
dt 2π
pa, b ¡ 0q.
5. Obliczyć całkę
‰
γ
y 3 dx xy 2 dy
px2 y2q2 ,
gdzie γ jest elipsą o równaniu b2 x2 a2 y 2 a2 b2 . Następnie, podobnie jak wyżej, wyprowadzić wzór
»2π
ab3 sin2 t
pa2 cos2 t b2 sin2 tq2 dt π pa, b ¡ 0q.
0
Wskazówka: Użyć podobnej metody, jak w rozwiązaniu zadania 4, zauważając tym razem,
że pole wektorowe odpowiadające rozważanej 1-formie można zapisać jako
y 3 xy 2
,
r4 r4
21 ∇
xy
r2
θ
,
gdzie r2 x2 y 2 , a θ oznacza (co prawda, niejednoznacznie wyznaczony) argument
liczby zespolonej.
6. Korzystając z twierdzenia Greena, uzasadnić, że jeżeli K jest brzegiem obszaru D
normalnego względem obu osi, to
‰
‰
1
y dx x dy.
λ2 pDq x dy 2
€ R2
K
K
Opierając się na tej obserwacji, obliczyć pola następujących obszarów:
(a) elipsy o danych półosiach a i b,
(b) obszaru leżącego w półpłaszczyźnie x ¬ 0 i ograniczonego krzywą o równaniu
x3 x2 y 2 0,
(c) obszaru leżącego w pierwszej ćwiartce, ograniczonego fragmentem krzywej o równaniu x3 y 3 3xy 0 (nazywanej liściem Kartezjusza),
(d) obszaru leżącego w czwartej ćwiartce, ograniczonego fragmentem krzywej o równaniu x4 y 3 xy 2 0,
(e) obszaru ograniczonego krzywą x4 x2 y 2 0 (nazywaną lemniskatą Gerona).
7. Niech D € R2 będzie takim obszarem, jak w założeniach twierdzenia Greena i niech
f P C 2 pU q, g P C 1 pU q, gdzie U jest zbiorem otwartym zawierającym domknięcie D.
Przyjmijmy także oznaczenia:
2
2
BBxf2 BByf2 (laplasjan),
Bf Bf cospx, nq Bf sinpx, nq ∇f n (pochodna normalna),
•
Bn Bx
By
gdzie n to wersor o kierunku normalnej do B D, skierowanej na zewnątrz D, zaś x to
• ∆f
wersor osi Ox. Używając wzoru Greena, udowodnić, że
¼
g∆f dxdy
D
¼
D
Bf Bg Bf Bg dxdy
Bx Bx By By
2
»
g
BD
Bf dσ ,
Bn 1
gdzie ostatnia całka to całka krzywoliniowa nieskierowana. W szczególności mamy więc
¼
»
∆f dxdy
BBnf dσ1.
BD
D
8. Udowodnić wersję reguły Pappusa-Guldina dla miary powierzchniowej. Mianowicie,
niech K będzie krzywą gładką leżącą w półpłaszczyźnie tpx, y q : y ¡ 0u i niech M € R3
będzie powierzchnią (dwuwymiarową rozmaitością) powstałą w wyniku obrotu K wokół
osi Ox. Zakładając,
że krzywa K ma określony środek ciężkości (do czego wystarczy, aby
³
σ1 pK q 8 i K p|x| |y |q dσ1 px, y q 8), wykazać, że prawdziwy jest wzór
σ2 pM q τ σ1 pK q,
gdzie τ jest długością okręgu zakreślonego przez środek ciężkości krzywej K.
9. Załóżmy, że Γ € R3 jest krzywą gładką (rozmaitością 1-wymiarową), która nie przechodzi przez punkt p0, 0, 0q i spełnia warunki:
• jeżeli pxn q8
n1
€ Γ i x P Γ oraz xn{}xn} Ñ x{}x}, to xn Ñ x;
• jeżeli x P Γ, to prosta x
prostej Rx.
Tx Γ styczna do Γ w punkcie x nie jest równoległa do
Zdefiniujmy S tλx : 0 λ 1u. Wykazać, że S jest rozmaitością 2-wymiarową oraz
zachodzi następujący wzór na miarę powierzchniową na S:
σ2 pS q 1
2
»
}x ^ sx} dσ1pxq,
Γ
gdzie sx jest wersorem stycznym do Γ w punkcie x, a symbol ^ oznacza iloczyn wektorowy.
10. Niech K będzie tym fragmentem liścia Kartezjusza (opisanego równaniem x3 y 3 3xy 0), który jest brzegiem pewnego ograniczonego obszaru na płaszczyźnie Oxy. Obliczyć pole powierzchni powstałej w wyniku obrotu krzywej K w przestrzeni R3 wokół osi
Oy.
11. Wyznaczyć równanie asymptoty liścia Kartezjusza opisanego równaniem x3 y 3 3xy 0, a następnie obliczyć pole (nieograniczonego) obszaru zawartego między krzywą
a tą asymptotą.
12. Niech G € Rm będzie zbiorem otwartym oraz ϕ1 , . . . , ϕn
P C 2pGq. Wykazać, że
dpdϕ1 ^ . . . ^ dϕn q 0.
Wykorzystując ten fakt, pokazać, że dla każdych dwóch funkcji ϕ1 , ϕ2 klasy C 2 na pewnym
otwartym podzbiorze R3 zachodzi tożsamość
B Bpϕ1, ϕ2q B Bpϕ1, ϕ2q B Bpϕ1, ϕ2q 0.
Bx1 Bpx2, x3q Bx2 Bpx3, x1q Bx3 Bpx1, x2q
13. Udowodnić analogon pierwszej tezy zadania 12 dla dowolnych form różniczkowych
Ωi P F2ki pGq (i 1, 2, . . . , n).
3